一對一個性化學案
核心要點突破
要點考向1：利用導數研究曲線的切線
考情聚焦：1．利用導數研究曲線的切線是導數的重要應用，為近幾年各省市高考命題的熱點。
2．常與函式的圖象、性質及解析幾何知識交匯命題，多以選擇、填空題或以解答題中關鍵一步的形式出現，屬容易題。
考向鏈結：1．導數的幾何意義
函式在處的導數的幾何意義是：曲線在點處的切線的斜率（瞬時速度就是位移函式對時間的導數）。
2．求曲線切線方程的步驟：
（1）求出函式在點的導數，即曲線在點處切線的斜率；
（2）在已知切點座標和切線斜率的條件下，求得切線方程為。
注：①當曲線在點處的切線平行於軸（此時導數不存在）時，由切線定義可知，切線方程為；
②當切點座標未知時，應首先設出切點座標，再求解。
例1：（2010 ·海南高考·理科t3）曲線在點處的切線方程為（ ）
（a） （b） （c） （d）
【命題立意】本題主要考查導數的幾何意義，以及熟練運用導數的運算法則進行求解.
【思路點撥】先求出導函式，解出斜率，然後根據點斜式求出切線方程.
【規範解答】選a.因為 ，所以，在點處的切線斜率，所以，切線方程為，即，故選a.
要點考向2：利用導數研究導數的單調性
考情聚焦：1．導數是研究函式單調性有力的工具，近幾年各省市高考中的單調性問題，幾乎均用它解決。
2．常與函式的其他性質、方程、不等式等交匯命題，且函式一般為含引數的高次、分式或指、對數式結構，多以解答題形式考查，屬中高檔題目。
考向鏈結：利用導數研究函式單調性的一般步驟。
（1）確定函式的定義域；
（2）求導數；
（3）①若求單調區間（或證明單調性），只需在函式的定義域內解（或證明）不等式＞0或＜0。
②若已知的單調性，則轉化為不等式≥0或≤0在單調區間上恆成立問題求解。
例2：（2010·山東高考文科·ｔ21）已知函式
（1）當時，求曲線在點處的切線方程；
（2）當時，討論的單調性.
【命題立意】本題主要考查導數的概念、導數的幾何意義和利用導數研究函式性質的能力.考查分類討論思想、數形結合思想和等價變換思想.
【思路點撥】(1)根據導數的幾何意義求出曲線在點處的切線的斜率；（2）直接利用函式與導數的關係討論函式的單調性,同時應注意分類標準的選擇.
【規範解答】（1） 當
所以因此， ,即曲線
又所以曲線
（2）因為,所以 ,令
當時，所以
當時，>0，此時，函式單調遞減；
當時，<0，此時，函式單調遞增.
當時，由，
即 ，解得.
① 當時， ， 恆成立，此時，函式在（0，+∞）上單調遞減;
② 當時， ，
時，,此時,函式單調遞減
時，<0,此時,函式單調遞增
時，，此時，函式單調遞減
③ 當時，由於,
時，,此時,函式單調遞減：
時，<0,此時,函式單調遞增.
綜上所述：
當時，函式在上單調遞減;函式在上單調遞增
當時,函式在上單調遞減
當時，函式在上單調遞減；函式在上單調遞增；
函式在上單調遞減.
考向鏈結：1．利用導數研究函式的極值的一般步驟：
（1）確定定義域。（2）求導數。（3）①或求極值，則先求方程=0的根，再檢驗在方程根左右值的符號，求出極值。（當根中有引數時要注意分類討論）
②若已知極值大小或存在情況，則轉化為已知方程=0的根的大小或存在情況，從而求解。
2．求函式的極值與端點處的函式值比較，其中最大的乙個是最大值，最小的乙個是最小值。
例3：（2010·天津高考理科·ｔ2１）已知函式
（ⅰ）求函式的單調區間和極值；
（ⅱ）已知函式的圖象與函式的圖象關於直線對稱，證明當時，
（iii）如果，且，證明
【命題立意】本小題主要考查導數的應用，利用導數研究函式的單調性與極值等基礎知識，考查運算能力及用函式思想分析解決問題的能力。
【思路點撥】利用導數及函式的性質解題。
【規範解答】
（ⅰ）解：f』，令f』(x)=0,解得x=1，
當x變化時，f』(x)，f(x)的變化情況如下表
所以f(x)在()內是增函式，在()內是減函式。
函式f(x)在x=1處取得極大值f(1)且f(1)=
（ⅱ）證明：由題意可知g(x)=f(2-x),得g(x)=(2-x)
令f(x)=f(x)-g(x),即[**:z*xx*
於是當x>1時，2x-2>0,從而』(x)>0,從而函式f（x）在[1,+∞)是增函式。
又f(1)=f(x)>f(1)=0,即f(x)>g(x).
(ⅲ)證明：（1）
若（2）若
根據（1）（2）得
由（ⅱ）可知，>,則=，所以》,從而》.因為，所以，又由（ⅰ）可知函式f(x)在區間（-∞，1）內是增函式，所以》,即》2。
【高考真題**】
1.（2010·全國高考卷ⅱ文科·ｔ7）若曲線在點處的切線方程是，則
（ab)
(cd)
【命題立意】本題考查了導數的幾何意義和曲線的切線方程知識。
【思路點撥】由題意知，曲線在點處的切線的斜率為1，根據導數的幾何意義得y在x=0
處的導數為1，再把（0，b）代入切線方程可以解出a 、b的值。
【規範解答】 選a，, 在點處的切線方程是。
斜率為1，所以,所以.
2．（2010·全國高考卷ⅱ文科·ｔ10）若曲線在點處的切線與兩個座標圍成的三角形的面積為18，則
（a）64 （b）32 （c）16 （d）8
【命題立意】本題主要考查了導數的幾何意義，曲線的切線方程求法，考查考生的運算求解能力．
【思路點撥】先求出切線方程，然後表示出切線與兩個座標圍成的三角形的面積。
【規範解答】選a，所以曲線在點處的切線：
所以，【方法技巧】利用導數解決切線問題有兩種型別：（1）「在」曲線上一點處的切線問題，先對函式求導，代入點的橫座標得到斜率。（2）「過」曲線上一點的切線問題，此時該點未必是切點，
故應先設切點，再求切點座標。
4．（2010·北京高考理科·ｔ１8）已知函式()=in(1+)-+， (≥0)。
(ⅰ)當=2時，求曲線=()在點(1，(1))處的切線方程；
(ⅱ)求()的單調區間。
【命題立意】本題考查了導數的應用，考查利用導數求切線方程及單調區間。解決本題時乙個易錯點是忽視定義域。
【思路點撥】（1）求出，再代入點斜式方程即可得到切線方程；（2）由討論的正負，從而確定單調區間。
【規範解答】（i）當時，，
由於，，
所以曲線在點處的切線方程為
即（ii），.
當時，.
所以，在區間上，；在區間上，.
故的單調遞增區間是，單調遞減區間是.
當時，由，得，
所以，在區間和上，；在區間上，
故的單調遞增區間是和，單調遞減區間是.
當時，故的單調遞增區間是.
當時，，得，.
所以在區間和上，；在區間上，
故得單調遞增區間是和，單調遞減區間是
【方法技巧】
（1）過的切線方程為。
（2）求單調區間時要在定義域內討論內的正負。
5．（2010·全國高考卷ⅱ理科·ｔ22）設函式．
（ⅰ）證明：當時，；
（ⅱ）設當時，，求a的取值範圍．
【命題立意】本題考查了導數的單調性、極值等知識，結合不等式考查推理論證能力、運算求解能力，
考查分類討論思想、化歸與轉化思想。
【思路點撥】（ⅰ）可以建構函式，利用導數單調性，求當時的最值證明不等式成立，
（ⅱ）可結合（ⅰ）的結論和方法證明，要注意對a分類討論.
【規範解答】（ⅰ）當時，當且僅當
令 ， 則
當時， 是增函式； 當時，是減函式；
於是g(x)在x=0處達到最小值，因而當時，即
所以當x>-1時，
（ⅱ）由題設 ，此時
當a<0時，若，則不成立；
當a0時， 令 h(x)=axf(x)+f(x)-x ，則.當且僅當
⑴當時，由（ⅰ）知
=(2a-1)f(x)
h(x)在是減函式，即
⑵當a>時，由⑴知x
當時，所以h(x)>h(0)=0，即
綜上，a的取值範圍是[0,.
【跟蹤模擬訓練】
一、選擇題（共6小題，每小題6分，總分36分）
1.若函式在r上可導，且，則（c）
a． b． c． d．無法確定
2．函式在定義域內可導，若，且當時，，設，，，則（d）
a． b． c． d．
3．設函式在上可導，且，則當時有(a)
a． b．
cd．4．設f '(x)是函式f(x)的導函式，y=f '(x)的影象如右圖所示，則y=f(x)的影象最有可能的是（c）
5． 在區間上的最大值是（ c ）
a． b．0 c．2 d．4
6．如圖，函式的圖象在點p處的切線是，則=（ c ）．
a． b．0 c． d．不確定
二、填空題（共3小題，每小題6分，總分18分）
7．過原點作函式的影象的切線，則切點座標是
8．函式y=x2(x>0)的影象在點(ak,ak2)處的切線與x軸的交點的橫座標為ak+1,，若a1=16，則a1+a3+a5的值是________
9．函式的單調減區間為
三、解答題（10、11小題各15分，12題16分）
10．已知函式f(x)=x3-3ax-1,a≠0.
(1)求f(x)的單調區間;
(2)若f(x)在x=-1處取得極值,直線y=m與y=f(x)的圖象有三個不同的交點，求m的取值範圍.
11．（2010·安徽安慶高三二模（文））已知函式.
⑴當時，求函式的最小值；
⑵若在上是單調函式，求的取值範圍.
12．（2010屆·北京市朝陽區高三一模（文））已知函式，．
（ⅰ）若函式在處取得極值，試求的值，並求在點處的切線方程；
（ⅱ）設，若函式在上存在單調遞增區間，求的取值範圍．
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