【金版新學案】2014-2015學年高中數學第一章導數及其應用章末質量評估新人教a版選修2-2
一、選擇題(本大題共12小題．每小題5分，共60分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的)
1．若曲線y＝x2＋ax＋b在點(0，b)處的切線方程是x－y＋1＝0，則( )
a．a＝1，b＝1b．a＝－1，b＝1
c．a＝1，b＝－1 d．a＝－1，b＝－1
解析： ∵y′＝2x＋a，∴曲線y＝x2＋ax＋b在(0，b)處的切線方程的斜率為a，
切線方程為y－b＝ax，即ax－y＋b＝0.∴a＝1，b＝1.
答案： a
2．函式y＝x2cos x的導數為( )
a．y′＝2xcos x－x2sin x b．y′＝2xcos x＋x2sin x
c．y′＝x2cos x－2xsin x d．y′＝xcos x－x2sin x
解析： 利用求導法則運算．
答案： a
3．設f(x)＝xln x，若f′(x0)＝2，則x0＝( )
a．e2 b．e
c． d．ln 2
解析： f′(x)＝(xln x)′＝ln x＋1，
f′(x0)＝ln x0＋1＝2x0＝e.
答案： b
4．函式f(x)的圖象如圖所示，下列數值的排序正確的是( )
a．0b．0c．0d．0解析： 由f′(2)，f′(3)的幾何意義知f′(2)>f′(3)>0，
設a(2，f(2))，b(3，f(3))，
則kab＝，
由圖象知0答案： b
5．過曲線y＝(x>0)上橫座標為1的點的切線方程為( )
a．3x＋y－1＝0 b．3x＋y－5＝0
c．x－y＋1＝0 d．x－y－1＝0
解析： ∵y′＝＝，
∴該切線的斜率k＝y′|x＝1＝－3，
則所求的切線方程為y－2＝－3(x－1)，即3x＋y－5＝0，故選b.
答案： b
6．若函式f(x)在r上可導，且f(x)＝x2＋2f′(2)x＋3，則( )
a．f(0)c．f(0)>f(6) d．無法確定
解析： f′(x)＝2x＋2f′(2)f′(2)＝4＋2f′(2)f′(2)＝－4.
從而f(x)＝x2－8x＋3，其對稱軸為x＝4，則f(0)>f(6)．
答案： c
7．函式f(x)的定義域為r，f(－1)＝2，對任意x∈r，f′(x)>2，則f(x)>2x＋4的解集為( )
a．(－1,1) b．(－1，＋∞)
c．(－∞，－1) d．(－∞，＋∞)
解析： 設m(x)＝f(x)－(2x＋4)，
則m′(x)＝f′(x)－2>0，
∴m(x)在r上是增函式．
∵m(－1)＝f(－1)－(－2＋4)＝0，
∴m(x)>0的解集為，
即f(x)>2x＋4的解集為(－1，＋∞)．
答案： b
8．若函式f(x)的導函式f′(x)＝x2－4x＋3，則函式f(x＋1)的單調遞減區間是( )
a．(2,4) b．(－3，－1)
c．(1,3) d．(0,2)
解析： 由f′(x)＝x2－4x＋3＝(x－1)(x－3)知，當x∈(1,3)時，f′(x)<0，函式f(x)在(1,3)上為減函式，函式y＝f(x＋1)的圖象是由函式y＝f(x)的圖象向左平移1個單位長度得到的，所以(0,2)為函式y＝f(x＋1)的單調遞減區間．故選d.
答案： d
9．函式f(x)＝x3－3x的極大值為m，極小值為n，則m＋n為( )
a．0 b．1
c．2 d．4
解析： f(x)＝x3－3xf′(x)＝3x2－3＝0x＝±1，不難判斷m＝f(－1)＝(－1)3＋3＝2，
n＝f(1)＝13－3＝－2，m＋n＝0.
答案： a
10．若函式f(x)＝的圖象如圖所示，則m的範圍為( )．
a．(－∞，－1b．(－1,2c．(1,2d．(0,2)
答案：c．
詳解: f 『(x)＝＝
由圖知m－2＜0，且m＞0，故0＜m＜2，
又＞1，∴m＞1，因此1＜m＜2，選c．
11．對於r上可導的任意函式f(x)，若滿足(x－1)f′(x)≥0，則必有( )
a．f(0)＋f(2)<2f(1) b．f(0)＋f(2)≤2f(1)
c．f(0)＋f(2)≥2f(1) d．f(0)＋f(2)>2f(1)
解析： 當1≤x≤2時，f′(x)≥0，則f(2)≥f(1)；
而當0≤x≤1時，f′(x)≤0，則f(1)≤f(0)，
從而f(0)＋f(2)≥2f(1)．
答案： c
12．已知二次函式f(x)＝ax2＋bx＋c的導數為f′(x)，f′(0)>0，對於任意實數x都有f(x)≥0，則的最小值為( )
a．3 b．
c．2 d．
解析： f′(x)＝2ax＋b，有f′(0)>0b>0.由於對於任意實數x都有f(x)≥0，從而得c>0，從而＝＝1＋≥1＋≥1＋＝2，當且僅當a＝c時取等號．
答案： c
二、填空題(本大題共4小題，每小題5分，共20分．請把正確答案填在題中橫線上)
13．函式f(x)＝x3＋ax－2在區間[1，＋∞)內是增函式，則實數a的取值範圍是________．
解析： f′(x)＝3x2＋a≥0在x∈[1，＋∞)上恆成立，
即a≥－3x2在x∈[1，＋∞)上恆成立．
而－3x2的最大值為－3，故只需a≥－3即可．
答案： a≥－3
14．過點(2,0)且與曲線y＝相切的直線的方程為________．
解析： 設所求切線與曲線的切點為p(x0，y0)，
∵y′＝－，∴y′|x＝x0＝－，所求切線的方程為
y－y0＝－(x－x0)．
∵點(2,0)在切線上，
∴0－y0＝－(2－x0)，∴xy0＝2－x0
又x0y0＝1
由①②解得
∴所求直線方程為x＋y－2＝0.
答案： x＋y－2＝0
15．已知函式f(x)＝x3＋ax2＋bx＋a2在x＝1處取極值10，則f(2
答案：18．
詳解: f 『(x)＝3x2＋2ax＋b，
由題意即得a＝4或a＝－3．
但當a＝－3時，f 『(x)＝3x2－6x＋3≥0，故不存在極值，∴a＝4，b＝－11，f(2)＝18．
16．設函式f(x)＝xm＋ax的導數為f′(x)＝2x＋1，則數列(n∈n*)的前n項和是________．
解析： f′(x)＝mxm－1＋a＝2x＋1
則f(x)＝x2＋x，＝＝－，其和為
＋＋＋…＋＝1－＝.
答案：三、解答題(本大題共6小題，共70分．解答時應寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟)
17．(本小題滿分10分)已知函式f(x)＝x3＋x－16.
(1)求曲線y＝f(x)在點(2，－6)處的切線方程；
(2)直線l為曲線y＝f(x)的切線，且經過原點，求直線l的方程及切點座標．
解析： (1)∵f′(x)＝(x3＋x－16)′＝3x2＋1，
∴f(x)在點(2，－6)處的切線的斜率為k＝f′(2)＝13，
∴切線的方程為y＝13(x－2)＋(－6)，
即y＝13x－32.
(2)方法一：設切點為(x0，y0)，
則直線l的斜率為f′(x0)＝3x＋1，
∴直線l的方程為
y＝(3x＋1)(x－x0)＋x＋x0－16，
又∵直線l過點(0,0)，
∴0＝(3x＋1)(－x0)＋x＋x0－16，
整理得，x＝－8，∴x0＝－2，
∴y0＝(－2)3＋(－2)－16＝－26，
k＝3×(－2)2＋1＝13.
∴直線l的方程為y＝13x，切點座標為(－2，－26)．
方法二：由題意知，直線l的斜率存在．
設直線l的方程為y＝kx，切點為(x0，y0)，
則k＝＝，
又∵k＝f′(x0)＝3x＋1，
∴＝3x＋1，
解之得x0＝－2，
∴y0＝(－2)3＋(－2)－16＝－26，
k＝3×(－2)2＋1＝13.
∴直線l的方程為y＝13x，切點座標為(－2，－26)．
18．(本小題滿分12分) 已知函式f(x)＝x3＋mx2＋nx－2的圖象過點(－1，－6)，且函式g(x)＝f ′(x)＋6x的圖象關於y軸對稱．
(1)求m、n的值及函式y＝f (x)的單調區間；
(2)若a＞0，求函式y＝f (x)在區間(a－1，a＋1)內的極值
詳解：(1)由函式f (x)圖象過點(－1，－6)，得m－n＝－3．①
由f (x)＝x3＋mx2＋nx－2，得f ′(x)＝3x2＋2mx＋n，
則g(x)＝f ′(x)＋6x＝3x2＋(2m＋6)x＋n．
而g(x)圖象關於y軸對稱，所以－＝0．
所以m＝－3，代入①得n＝0．
於是f ′(x)＝3x2－6x＝3x(x－2)．由f ′(x)＞0得x＞2或x＜0，
故f (x)的單調遞增區間是(－∞，0), (2，＋∞)；
由f ′(x)＜0得0＜x＜2，故f (x)的單調遞減區間是(0, 2)．
(2)由(1)得f ′(x)＝3x(x－2)，令f ′(x)＝0得x＝0或x＝2，
當x變化時，f ′(x)、f (x)的變化情況如下表：
由此可得：
當0＜a＜1時，f (x)在(a－1，a＋1)內有極大值f (0)＝－2，無極小值；
當a＝1時，f (x)在(a－1，a＋1)內無極值；
當1＜a＜3時，f (x)在(a－1，a＋1)內有極小值f (2)＝－6，無極大值；
當a ≥ 3時，f (x)在(a－1，a＋1)內無極值．
綜上得：當0＜a＜1時，f (x)有極大值－2，無極小值；
當1＜a＜3時，f (x)有極小值－6，無極大值；
當a＝1或a ≥ 3時，f (x)無極值
19．(本小題滿分12分)某電視生產廠家有a，b兩種型號的電視機參加家電下鄉活動．若廠家投放a，b型號電視機的價值分別為p，q萬元，農民購買電視機獲得的補貼分別為p， ln q萬元．已知廠家把總價值為10萬元的a，b兩種型號電視機投放市場，且a，b兩型號的電視機投放金額都不低於1萬元，請你制訂乙個投放方案，使得在這次活動中農民得到的補貼最多，並求出其最大值．(精確到0.1，參考資料：ln 4≈1.4)
導數及其應用
知識 方法點撥 導數的應用極其廣泛，是研究函式性質 證明不等式 研究曲線的切線和解決一些實際問題的有力工具，也是提出問題 分析問題和進行理性思維訓練的良好素材。同時，導數是初等數學與高等數學緊密銜接的重要內容，體現了高等數學思想及方法。1 重視導數的實際背景。導數概念本身有著豐富的實際意義，對導數概...
選修2 2第一章導數及其應用
班級姓名評分 一 選擇題 在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的 每小題5分，共40分 1 下列函式中,在上為增函式的是 abcd 2 a 在 單調增加 b 在 單調減少 c 在 1，1 單調減少，其餘區間單調增加 d 在 1，1 單調增加，其餘區間單調減少 3 當x 0時，有不等式 4...
導數及其應用 3 2導數的應用 學生
響水二中高三數學 理 一輪複習學案第三編導數及其應用主備人張靈芝總第13期 3.2 導數的應用 班級姓名等第 基礎自測 1.函式y f x 的圖象過原點且它的導函式g f x 的圖象是如圖所示的一條直線，則y f x 圖象的頂點在第象限.2.已知對任意實數x,有f x f x g x g x 且x ...