【考點一】導數運算及幾何意義的應用
1.（2012高考廣東卷，理12）曲線在點處的切線方程為 .
【考查知識點】導數的運算及幾何意義
【分析】利用幾何性質確定曲線在某點處的切線斜率，進而解決曲線的切線問題.
【答案】
【解析】由已知，得，又當時，，此時，
故切線方程為，即.
【點評】利用導數求曲線過點的切線應注意p點是否在曲線上，若p點在曲線上，可利用三個關係，即p點的座標適合曲線方程，p點座標適合切線方程，p點處的切線斜率為.
2.（2011高考全國ⅱ卷，理8）曲線在點處的切線與直線和圍成的三角形的面積為（ ）
abcd.1
【考查知識點】導數的運算及幾何意義
【答案】a
【解析】由已知，得，
故曲線在點處的切線方程為，
易得切線與直線和圍成的三角形的面積為.
3.（2012高考安徽卷，理19）設.
（）求在上的最小值；
（）設曲線在點處的切線方程為，求的值.
【考查知識點】函式、導數的基礎知識，運用導數研究函式性質等基本方法
【分析】利用導數判斷函式的單調性，總而求出函式的最值；利用三個關係，即p點的座標適合曲線方程，p點座標適合切線方程，p點處的切線斜率為。列方程組求解出變數的值.
【解析】（）由題，得，
由及，得，
令，得，即，
解得，即，
①當時，，此時在上單調遞增，
故最小值為；
②當時，，
此時在上單調遞減，在上單調遞增，
故最小值為.
（），由題意得：.
【反思總結】求函式的最值時，先判斷函式的單調性，同時注意函式的定義域.
【考點二】利用導數討論函式的性質（單調性、極值、最值、零點）
1.（2012高考廣東卷，理21）
設，集合，，.
（1）求集合d（用區間表示）；
（2）求函式在d內的極值點．
【考查知識點】集合、二元一次不等式的相關知識及利用導數求函式極值
【分析】（1）求集合d時，首先求出集合b，再找a與b的交集；
（2）求極值點時，要在第一問的基礎上進行，故也分為3種情況，其次是討論極值點和區間的位置關係，即極值點是否在所討論的區間內.
【解析】（1）記，則
①當，即時，，此時
②當，即時，
，又，故
當時，當時，（2）由得或，
因，所以函式在和上單調遞增，在上單調遞減，
①當時，，
故函式在d內有乙個極大值點a，有乙個極小值點1；
②當時，，∵∴
∴在d內有乙個極大值點a，無極小值點；
③當時，，則
又∵∴在d內無極值點.
【反思總結】（1）解一元二次不等式時，通常有以下幾個步驟：①判斷的正負，本題在此處進行分類討論；②當時，根據對應二次函式開口的方向及不等式中不等號即可求出解集；當時，求出對應二次函式的根，並判斷兩個根的大小關係，當根之間的大小關係確定時可求解，當根之間的大小關係不確定時，此處還需要進行分類討論；
（2）對於本題，求函式在區間內的極值時，有以下幾個步驟：①求導數，令導數為0，求出方程的根（當方程的根不能直接求出時，首先也應該討論的正負），②判斷根之間的大小關係，並確定函式的單調區間（根之間的大小關係不確定時也需要分類討論）③討論方程的根和區間之間的位置關係（不確定方程的根和區間之間位置關係的時候進行分類討論，本題即是在此處進行的討論）；④最終求出極值點.通過以上幾個步驟求極值點時可能需要討論的地方有三處，需要引起注意.
2.（2012高考北京卷，理18）已知函式，，
（1）若曲線與曲線在它們的交點處有公共切線，求a，b的值；
（2）當時，求函式的單調區間，並求其在區間上的最大值.
【考查知識點】導數的運算及幾何意義，利用導數求函式的最值
【分析】（1）對於第一問，利用滿足和，同時與在處的切線斜率相同即能求解；
（2）利用導數的正負情況判斷單調性，再利用單調性求出最值.
【解析】（1）由，則，，
由，則，，
由為公共切點，可得①
又，，，即，代入①式可得：．
（2），設
則，令，解得：，；
，，原函式在和上單調遞增，在單調遞減，
①若，即時，最大值為；
②若，即時，最大值為
③若時，即時，最大值為．
綜上所述：當時，最大值為；
當時，最大值為．
【反思總結】求函式的最值時，首先應求出極值，再和端點值進行比較；而求極值時，注意討論方程有無根，根之間的大小關係以及極值點和區間的位置關係.
3.（2012高考新課標卷，理21）已知函式滿足；
（1）求的解析式及單調區間；
（2）若，求的最大值.
【考查知識點】導數的運算，利用導數求單調區間，利用導數解決恆成立問題及最值問題
【分析】（1）求解析式的關鍵是求出及，所以根據及列兩個方程求解即可；
（2）求單調區間相當於求和的解集，而此題中，無法直接求出不等式的解集，但注意到，此題轉化為判斷與的大小關係，故將看成新的函式，通過的單調性判斷即可；
（3）屬於恆成立問題，首先轉化為，故，從而轉化為最值問題；求解最值時，針對於根的情況進行分類討論得到時，，，因此求的最大值轉化為求的最大值.
【解析】（1）由，得，
令得又由，得，故
因此，則
又，故在上單調遞增，
而，故當時，，函式單調遞增，
當時，，函式單調遞減，
綜上，的解析式為
且單調遞增區間為，單調遞減區間為
（2）得，
，①當時，在上單調遞增，
時，與矛盾
②當時，，，
故當時，
則，令，則，
又，，故當時，
當時，的最大值為.
【反思總結】此題具有典型性，尤其是第二問，注意轉化思想的考查，通常將恆成立問題轉化為最值問題.
4.（2012高考江蘇卷，18）若函式在處取得極大值或極小值，則稱為函式的極值點.
已知是實數，1和是函式的兩個極值點．
（1）求和的值；
（2）設函式的導函式，求的極值點；
（3）設，其中，求函式的零點個數．
【考查知識點】函式的概念和性質，導數的應用
【分析】（1）求出的導數，根據1和是函式的兩個極值點代入列方程組求解即可.
（2）由（1）得，，求出，令，求解討論即可.
（3）比較複雜，先分和討論關於的方程根的情況；再考慮函式的零點.
【解析】（1）由，得.
∵1和是函式的兩個極值點，
∴，，解得.
（2）∵ 由（1）得， ，
∴，解得.
∵當時，；當時，，
∴是的極值點.
∵當或時，，∴不是的極值點.
∴的極值點是－2.
（3）令，則.
先討論關於的方程根的情況（），
當時，由（2）可知，的兩個不同的根為1 和-2 ，
注意到是奇函式，∴的兩個不同的根為-1和2.
當時，∵， ，
∴-2 ，－1，1 ，2 都不是的根.
由（1）知.
① 當時， ，
於是是單調增函式，從而.
此時在無實根.
② 當時．，於是是單調增函式.
又∵，，的圖象不間斷，
∴在內有唯一實根.
同理，在內有唯一實根.
③ 當時，，於是是單調減函式.
又∵，，的圖象不間斷，
∴在內有唯一實根.
因此當時，有兩個不同的根滿足；
當時，有三個不同的根，滿足.
現考慮函式的零點：
（ⅰ）當時，有兩個根，滿足.
而有三個不同的根，有兩個不同的根，
故有5個零點.
（ⅱ）當時，有三個不同的根，滿足.
而有三個不同的根，故有9個零點.
綜上所述，當時，函式有5個零點；
當時，函式有9個零點.
【反思總結】利用導數求函式的零點的方法是先判斷函式的單調性；當函式單調時，根據其端點值情況判斷；當函式不單調時，根據其區間內的極值點和端點值情況判斷.
5.（2012高考福建卷，理20）已知函式，，
（ⅰ）若曲線在點處的切線平行於x軸，求函式的單調區間；
（ⅱ）試確定a的取值範圍，使得曲線上存在唯一的點p，曲線在該點處的切線與曲線只有乙個公共點p.
【考查知識點】本題主要考查函式導數的應用、二次函式的性質、函式零點的存在性定理等基礎知識，考查推理論證能力、基本運算能力、抽象概括能力，以及分類與整合思想、數形結合思想、化歸與轉化思想
【分析】（1）利用導數的運算及幾何意義求解；（2）將切線與曲線有乙個公共點轉化為函式只有乙個零點，通過判斷函式的單調性及其極值情況討論.
【解析】（ⅰ）由於，故在點處的切線斜率為，
所以，則，
此時，由，得，
當時，，當時，，
所以的單調遞減區間為，單調遞增區間為.
（ⅱ）設點，
則曲線在點p處的切線方程為，
令，故在點p處的切線與曲線只有乙個公共點等價於有唯一零點，
因，且，
①若，當時，，則時，，
當時，，則時，，
故只有唯一零點，
但由於點p的任意性，與題中要求唯一的點p矛盾，故不符合題意；
②若，令，則，，
令，得，記，
則當時，，從而在內單調遞減；
當時，，從而在內單調遞增，
（ⅰ）若，由時，，
時，，知在r上單調遞增，
所以函式在r上有且只有乙個零點；
（ⅱ）若，由於在內單調遞增，且，
則當時，有，故，
任取，有，
又當時，易知
其中，，
由於，則必存在，使得，
所以，故在內存在零點，
即在r上至少有兩個零點；
（ⅲ）若，仿照（ⅱ）並利用，
可證函式在r上至少有兩個零點.
綜上所述，當時，曲線存在唯一的點，
曲線在該點處的切線與曲線只有乙個公共點p.
【考點三】恆成立及存在性問題
1.（2011高考北京卷，理18）已知函式.
（1）求的單調區間；
（2）若對，都有，求k的取值範圍.
【考查知識點】導數的運算、運用導數求函式的單調區間及最值
【分析】（1）求導後，通過導數的正負求出單調區間；（2）將「，都有」轉化為「當時，」.
【解析】（1）由已知，得，
令，得，
當時，在和上單調遞增，在上單調遞減，
當時，在和上單調遞減，在上單調遞增.
（2）當時，，所以不可能對，都有；
當時，由（1）知在上的最大值為，
所以對，都有，等價於，解得，
故對，都有時，k的取值範圍為.
【反思總結】利用導數求單調區間的步驟是：求函式的定義域、求導、求解和、寫出函式的單調區間；
涉及到恆成立問題時，通常轉化為最值問題，一般先將涉及到的不等式兩側的某一側化為常數或0，然後將「在d上恆成立轉化為」，將「在d上恆成立轉化為」.
2.（2011高考湖南卷，文22）設函式
（i）討論的單調性；
（ii）若有兩個極值點，記過點的直線的斜率為k，問：是否存在，使得若存在，求出的值，若不存在，請說明理由．
05專題五導數及其應用
一 選擇題 1 已知曲線的一條切線的斜率為，則切點的橫座標為 a 3b 2c 1d 2 函式f x cos2x 2cos2的乙個單調增區間是 abcd 3 函式f x 的定義域為開區間 a,b 導函式是 a,b 內的圖象如圖所示，則函式f x 在開區間 a,b 內有極小值點 a 1個b 2個c 3個...
導數及其應用
知識 方法點撥 導數的應用極其廣泛，是研究函式性質 證明不等式 研究曲線的切線和解決一些實際問題的有力工具，也是提出問題 分析問題和進行理性思維訓練的良好素材。同時，導數是初等數學與高等數學緊密銜接的重要內容，體現了高等數學思想及方法。1 重視導數的實際背景。導數概念本身有著豐富的實際意義，對導數概...
導數及其應用 3 2導數的應用 學生
響水二中高三數學 理 一輪複習學案第三編導數及其應用主備人張靈芝總第13期 3.2 導數的應用 班級姓名等第 基礎自測 1.函式y f x 的圖象過原點且它的導函式g f x 的圖象是如圖所示的一條直線，則y f x 圖象的頂點在第象限.2.已知對任意實數x,有f x f x g x g x 且x ...