在解析幾何中，符合特定條件的某些圓構成乙個圓系，乙個圓系所具有的共同形式的方程稱為圓系方程。常用的圓系方程有如下幾種：
⑴以為圓心的同心圓系方程
⑵過直線與圓的交點的圓系方程
⑶過兩圓和圓的交點的圓系方程
此圓系方程中不包含圓 ，直接應用該圓系方程，必須檢驗圓是否滿足題意，謹防漏解。
當時，得到兩圓公共弦所在直線方程
為了避免利用上述圓系方程時討論圓 ，可等價轉化為過圓和兩圓公共弦所在直線交點的圓系方程
在遇到過直線與圓，圓與圓交點的圓有關問題時，靈活選取上述各種圓系方程，可簡化繁雜的解題過程。現不妨舉兩例簡要說明。
例1：已知圓與直線相交於兩點， 為座標原點，若 ，求實數的值。
分析：此題最易想到設出 ，由得到 ，利用設而不求的思想，聯立方程，由根與係數關係得出關於的方程，最後驗證得解。倘若充分挖掘本題的幾何關係 ，不難得出在以為直徑的圓上。
而剛好為直線與圓的交點，選取過直線與圓交點的圓系方程，可極大地簡化運算過程。
解：過直線與圓的交點的圓系方程為：
，即依題意， 在以為直徑的圓上，則圓心（ ）顯然在直線上，則 ，解之可得
又滿足方程①，則
故例2：求過兩圓和的交點且面積最小的圓的方程。
分析：本題若先聯立方程求交點，再設所求圓方程，尋求各變數關係，求半徑最值，雖然可行，但運算量較大。自然選用過兩圓交點的圓系方程簡便易行。
為了避免討論，先求出兩圓公共弦所在直線方程。則問題可轉化為求過兩圓公共弦及圓交點且面積最小的圓的問題。
解：圓和的公共弦方程為
，即過直線與圓的交點的圓系方程為
，即依題意，欲使所求圓面積最小，只需圓半徑最小，則兩圓的公共弦必為所求圓的直徑，圓心必在公共弦所在直線上。即 ，則
代回圓系方程得所求圓方程
總之，在求解過直線與圓，圓與圓交點的圓有關問題時，若能巧妙使用圓系方程，往往能優化解題過程，減少運算量，收到事半功倍的效果。
圓的方程總結
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