圓的定義：平面內與定點的距離等於定長的點的集合（軌跡）叫做圓。
圓的方程：
（1）圓的標準方程：，其中為圓心座標，圓心可以確定圓的位置，r為圓的半徑，圓的半徑可以確定圓的大小。
特別地，當a=b=0時，即圓心在座標原點時，圓的標準方程是
求圓的方程可先設出方程，然後用待定係數法求a，b，r，共計需要三個獨立條件。
（1） 圓的一般方程
圓的標準方程展開，得，其外形符合
，稱為圓的一般方程。配方得=
，可見當時，上式表示圓心在，
半徑為的圓。當，上式表示的點，
當，上式不表示任何圖象。
於是，方程是表示圓的必要不充分條件。
其外形特點為：①項係數相等且不為0
無這樣的二次項
故二元二次方程表示圓的充要條件是
（2） 圓的引數方程
圓的引數方程為其中的幾何意義為圓心角。
圓的引數方程為
圓的引數方程給出了圓上動點座標的一種設法（即三角換元），是三角換元解題的依據，在函式值域、最值問題中有著廣泛的應用。
（3） 以定點為直徑端點的圓的方程為+
=0（向量點積為0）
例1：已知圓的方程為
求：，，，（引數方程和考慮數型結合兩種方法）
例2：已知對於圓上任一點，不等式恆成立，求實數m的取值範圍。
（方法1、線性規劃，方法（2）引數方程）
解題方法指導：
例1：試寫出滿足下列條件的圓的方程：
①圓心在原點；②過原點；③圓心在x軸上；④圓心在y軸上；⑤圓心在x軸上且過原點；⑥圓心在y軸上且過原點；⑦與x軸相切；⑧與y軸相切；⑨與兩座標軸都相切
解：為比較特點，將答案列表給出
例：圓心為且與直線相切的圓的方程是？
例：圓關於直線對稱的圓的方程
例：若曲線關於直線的對稱曲線是其本
身，則實數為？（）
例：求經過點且圓心在y軸上的圓的方程
例：求經過點且圓心在直線上的圓的方程
例：求過點圓心在直線上，且與直線相切的圓的方程
或例：求圓心在直線上，並且與直線相切於點的圓的方程？（方法（1）求出過圓心與切點的直線方程在與直線l聯立求出圓心）
例：求經過，且與直線相切於點的圓的方程。
分析：法（1）求出線段ab的垂直平分線所在的直線方程，在求出過b點與直線l垂直的直線方程，聯立兩條直線方程求出交點，交點既為圓心
圓心與切點的距離為圓的半徑，近而求出圓的方程。
方法（2）一般方法
例：乙個三角形的三邊所在直線的方程分別為，，，求這個三角形外接圓的方程。
（求出交點設圓的一般方程）
例：實數a取何值時，方程表示圓？
例：如果方程（）所表示的曲線關於對稱，則必有（d=f）
例：已知方程的圖形是圓
（1）求t的取值範圍；（）
（2）求其中面積最大的圓的方程；
（3）若點恆在所給圓內，求t的取值範圍；
1、點與圓的位置關係
點與圓有三種位置關係：
點在圓外
點在圓上
點在圓內
點與圓有三種位置關係：
點在圓外
點在圓上
點在圓內
（1）點在圓外的題型：
一、 求過圓外一點與圓相切的直線方程
方法（1）：用圓到直線距離等於圓的半徑求直線的斜率，從而用點斜式寫出切線的方程，注意有時兩條切線有一條斜率不存在。
（2）將直線與圓的方程連立，用求得斜率，從而求出切線方程。
上述兩種方法中，法1簡單易行，是解決切線問題重要方法，法2是
解決直線與其它圓錐曲線關係都適用的一般方程。
（3）已知切線的斜率求圓的切線方程
用幾何圖形可知此題有兩條切線方程。解法同上。
特別地，圓的斜率為k的切線方程為
設直線方程的斜率為k，利用點斜式求出直線方程，因為直線與相切，所以圓心到直線的距離為圓的半徑r，進而求出直線的斜率k，所以求出過圓外一點與圓相切的直線方程。（注意的是過圓外一點與圓的切線方程一定有兩條）
例1：從圓外一點向這個圓引切線，求切線方程。
例2：求過點引圓的切線方程。
解：判斷點p在圓外或圓上，設出切線的點斜式方程求斜率即可。
解法（1）∵ ∴在圓外
設切線方程
即又∵ 解得，
兩條切線方程為或
方法（2）設切線方程與聯立，消去y整理得
，由相切條件
即： 有，解得，
所以兩條切線方程為或
解法（3）設切點（
則切線方程 ③
將代入上式得 ①
又 ② 聯立①②解得，
分別代入③式可得切線方程為或
點評：求切線大體上有三種方法：第一種，設切點，求出切點，利用圓上的點的切線公式寫出切線方程；第二種，設切線斜率，用判別式法；第三種，設切線的斜率，用圓心到切線距離為半徑法；用後兩種方法時，應注意斜率不存在的情況。
例3：若過定點且斜率為k的直線與圓在第一象線內的部分有交點，則k取值範圍是（）
例3：已知點（0，1）的直線中，圓，
求①圓上的點到點（0，1）的最大值和最小值
②過點（0，1）且被圓截得的弦長最長時的直線方程
（）二、過圓外一點引圓的切線
當圓為標準形式時，切線長為：
當圓為一般形式時，切線長為：
例1：已知和直線的交點分別為p、q，o是座標原點則
？（5）
三、會求符合條件的p點的軌跡方程：
例1：自圓外一點作圓的兩條切線和，若
（），則動點的軌跡方程？（為定值）
例2：已知圓，從圓外一點p向圓引一條切線，切點為m，o為座標原點，且有，求動點的軌跡方程和的最小值。
（動點的軌跡方程，的最小值為）
例3：已知p是直線上的動點，pa，pb是圓++1=0
的兩條切線，a，b是切點，c是圓心，那麼四邊形pacb的面積的最小值。（）2、求過圓上一點與圓相切的直線方程當圓為標準形式
當圓為標準形式時，切線方程為：
特別的時，切線方程為：
當圓為一般形式時，切線方程為：
例1：已知圓，過點p（2，-1）作圓的切線，切點分別為a，b，則直線ab的方程為：（）
解：方法（1）設a（），則過a，b的切線方程分別為：
又因為均過點p（2，-1），所以，
說明點a（），均在直線
所以直線ab的方程為
方法（2）思路：求過定點p與已知圓的切線長，近而求出以定點p為圓心以切線長為半徑的圓，所以ab所在的直線就是這兩個圓的相交弦，兩個圓相減就得出ab所在的直線方程。
方法（3）思路：其中一條切線為，這個切點為（2，0），直線ab與
直線op垂直，所以，既，所以直線ab的方程。
歸納出此題的規律：已知圓，過點p（，）作圓的切線，切點分別為a，b，則直線ab的方程為：（）此結論也適合其它的圓錐曲線。
3．點在圓內
例：已知點p（0，-1）的直線中，圓，求過點p且與圓相交弦中最小的直線方程。
2，直線與圓的位置關係
直線與圓的位置關係一：相交，相切，相離。
直線方程，圓的方程：
圓心到直線的距離
幾何方法代數方法
例：已知直線，圓，試問k為何值時，直線與圓c相離、相切、相交。
解：圓c的圓心為c（1，0），半徑r=1，設直線圓心c的距離為d，那麼
當，即時，直線與圓c相離；
當，即時，直線與圓c相切；
當，即時，直線與圓c相交；
例：已知對於圓上任一點，不等式恆成立，求實數m的取值範圍。
3、兩圓的位置關係
設圓，圓
兩圓心距
圓與圓的標準方程教案
2.1 圓的標準方程 江西省南康中學吳銘 教學目標 知識與技能 1 掌握圓的標準方程，能根據圓心 半徑寫出圓的標準方程。2 會用待定係數法求圓的標準方程。過程與方法 進一步培養學生能用解析法研究幾何問題的能力，滲透數形結合思想，通過圓的標準方程解決實際問題的學習，注意培養學生觀察問題 發現問題和解決...
圓的標準方程教案
4.1.1 圓的標準方程 預計授課時間 10月29日實際授課時間 10月29日課型 新授課課時 第一課時 授課地點 高二 1 班授課教師 吾買爾艾力 高中部 一 教學目標 1 知識與技能 1 掌握圓的標準方程，能根據圓心 半徑寫出圓的標準方程 2 會用待定係數法求圓的標準方程.2 過程與方法 進一步...
圓的標準方程教案
課題 圓的標準方程 江蘇省海州高階中學鮑建山 教學目標 1 回顧與分析確定圓的幾何要素，在直角座標系中，探索並掌握圓的標準方程。2 培養運用座標法研究幾何的能力，熟練運用待定係數法求圓的方程。3 通過實際問題的學習，知道理論 於實際，又服務於實際的道理。4 知道圓上的點與圓方程的解的關係，體會圓的 ...