教學目標
1．討論並掌握圓的一般方程的特點，並能將圓的一般方程化為圓的標準方程，從而求出圓心的座標和半徑．
2．能分析題目的條件選擇圓的一般方程或標準方程解題，解題過程中能分析和運用圓的幾何性質．
3．通過對圓的一般方程的特點的討論，培養學生嚴密的邏輯思維和嚴謹的科學態度；通過例題的分析講解，培養學生分析問題的能力．
教學重點與難點
圓的一般方程的探求過程及其特點是教學重點；根據具體條件選用圓的方程為教學難點．
教學過程
一、複習並引入新課
師：請大家說出圓心在點(a，b)，且半徑是r的圓的方程．
生：(x－a)2+(y－b)2=r2．
師：以前學習過直線，直線方程有哪幾種？
生：直線方程有點斜式、斜截式、兩點式、截距式和一般式．
師：直線方程的一般式是ax+by+c=0嗎？
生a：是的．
生b：缺少條件a2+b2≠0．
師：好！那麼圓的方程有沒有類似「直線方程的一般式」那樣的「一般方程」呢？
(書寫課題：「圓的一般方程」的探求)
二、新課
師：圓是否有一般方程？這是個未解決的問題，我們來探求一下．大家知道，我們認識一般的東西，總是從特殊入手．如探求直線方程的一般形式就是通過把特殊的公式(點斜式，兩點式……)展開整理而得到的．想求圓的一般方程，怎麼辦？
生：可仿照直線方程試一試！把標準形式展開，整理得
x2+y2－2ax－2by+a2+b2－r2=0．令d=－2a，e=－2b，f=a2+b2－r2，有：x2+y2+dx+ey+f=0．(*)
師：從(*)式的得來過程可知，只要是圓的方程就可以寫成(*)的形式．那麼能否下結論：x2+y2+dx+ey+f=0就是圓的方程？
生a：不一定．還得考慮：x2+y2+dx+ey+f=0能否寫成標準形式．
生b：也可以像直線方程一樣，要有一定條件．
師：那麼考慮考慮怎樣去尋找條件？
生：配方．
師；請大家動手做，看看能否配成標準形式？
(放手讓同學討論，教師適當指導，然後由同學說，教師板書．)
1．當d2+e2－4f＞0時，比較(△)式和圓的標準方程知：(*)式表示以
2．3．當d2+e2－4f＜0時，(*)式沒有實數解，因而它不表示任何圖形．
教師總結：當d2+e2－4f＞0時，方程x2+y2+dx+ey+f=0叫圓的一般方程．
師：圓的一般方程有什麼特點？
生a：是關於x、y的二元二次方程．
師：剛才生a的說法對嗎？
生b：不全對．它是關於x、y的特殊的二元二次方程．
師：特殊在什麼地方？
(通過爭論與舉反例後，由教師總結)
師：1．x2，y2係數相同，且不等於零．
2．沒有xy這樣的二次項．
(追問)：這兩個條件是「方程ax2+by2+dx+ey+f=0表示圓」的什麼條件？
生：必要條件．
師：還缺什麼？
生：d2+e2－4f＞0．
練習：判斷以下方程是否是圓的方程：
①x2+y2－2x+4y－4=0
②2x2+2y2－12x+4y=0
③x2+2y2－6x+4y－1=0
④x2+y2－12x+6y+50=0
⑤x2+y2－3xy+2y+5y=0
⑥x2+y2－12x+6y+f=0
三、應用舉例
師：先請大家比較一下圓的標準方程(x－a)2+(y－b)2=r2與一般方程x2+y2+dx+ey+f=0在應用上各有什麼優點？
生：標準方程的幾何特徵明顯——能看出圓心、半徑；一般方程的優點是能從一般的二元二次方程中找出圓的方程．
師：怎樣判斷用「一般方程」表示的圓的圓心、半徑．
生：生b：不用死記，配方即可．
師：兩種形式的方程各有特點，我們應對具體情況作具體分析、選擇．
四．例題講解
例1．求過三點的圓的方程；
分析：由於不在同一條直線上，因此經過三點有唯一的圓．
解：法一：設圓的方程為，
∵三點都在圓上，
∴三點座標都滿足所設方程，把代入所設方程，
得： 解之得：
所以，所求圓的方程為．
法二：也可以求和中垂線的交點即為圓心，圓心到的距離就是半徑也可以求的圓的方程：．
法三：也可以設圓的標準方程：將點的座標代入後解方程組也可以解得
例2．已知線段的端點的座標是，端點在圓上運動，求線段中點的座標中滿足的關係？並說明該關係表示什麼曲線？
解：設點的座標是，由於點的座標是，且是的中點，所以（＊）
於是，有
因為點在圓上運動，所以點的座標滿足方程，即（＊＊）
將（＊）式代入（＊＊），得，
整理得所以滿足的關係為：
其表示的曲線是以為圓心，１為半徑的圓．
說明：該圓就是點的運動的軌跡；所求得的方程就是點的軌跡方程：點的軌跡方程就是指點的座標滿足的關係式．
五、小結
注意一般式的特點：1°x2，y2係數相等且不為零；2°沒有xy這樣的項；
3°d2+e2－4f＞0．
另外，大家考慮：d2+e2－4f有點像什麼？像判別式，它正是方程x2+y2+dx+ey+f=0是否是圓的方程的判別式．如d、e確定了，則與f的變化有關．
六、作業：
1．求下列各圓的一般方程：
①過點a(5，1)，圓心在點c(8，－3)；
②過三點a(－1，5)，b(5，5)，c(6，－2)．
2．求下列各圓的圓心座標和半徑：
①x2+y2－2x－5=0
②x2+y2+2x－4y－4=0
③x2+y2+2ax＝0
④x2+y2－2by－2b2＝0
設計思想
這是一節介紹新知識的課，而且這節課還非常有利於展現知識的形成過程．因此，在設計這節課時，力求「過程、結論並重；知識、能力、思想方法並重」
在整個探求過程中充分利用了「舊知識」及「舊知識的形成過程」，並用它探求新知識．這樣的過程，既是學生獲得新知識的過程，更是培養學生能力的過程．
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