圓的一般方程教案
教學目標
1．討論並掌握圓的一般方程的特點，並能將圓的一般方程化為圓的標準方程，從而求出圓心的座標和半徑．
2．通過對圓的一般方程的特點的討論，培養學生嚴密的邏輯思維和嚴謹的科學態度；通過例題的分析講解，培養學生分析問題的能力．
教學重點與難點
圓的一般方程的探求過程及其特點是教學重點；根據具體條件選用圓的一般方程為教學難點．
教學過程
一、複習並引入新課
師：請大家說出圓心在點(a，b)，且半徑是r的圓的方程．
生：(x-a)2+(y-b)2=r2．
師：以前學習過直線，直線方程有哪幾種？
生：直線方程有點斜式、斜截式、兩點式、截距式和一般式．
師：直線方程的一般式是ax+by+c=0嗎？
生a：是的．
生b：缺少條件a2+b2≠0．
師：好！那麼圓的方程有沒有類似「直線方程的一般式」那樣的「一般方程」呢？(書寫課題：「圓的一般方程」的探求)
二、新課
師：圓是否有一般方程？這是個未解決的問題，我們來探求一下．大家知道，我們認識一般的東西，總是從特殊入手．如探求直線方程的一般形式就是通過把特殊的公式(點斜式，兩點式……)展開整理而得到的．想求圓的一般方程，怎麼辦？
生：可仿照直線方程試一試！把標準形式展開，整理得
x2+y2-2ax-2by+a2+b2-r2=0．令d=-2a，e=-2b，f=a2+b2-r2，有：x2+y2+dx+ey+f=0．(*)
師：從(*)式的得來過程可知，只要是圓的方程就可以寫成(*)的形式．那麼能否下結論：x2+y2+dx+ey+f=0就是圓的方程？
生a：不一定．還得考慮：x2+y2+dx+ey+f=0能否寫成標準形式．
生b：也可以像直線方程一樣，要有一定條件．
師：那麼考慮考慮怎樣去尋找條件？
生：配方．
師：請大家動手做，看看能否配成標準形式？
(放手讓同學討論，教師適當指導，然後由同學說，教師板書．)
1．當d2+e2-4f＞0時，比較(△)式和圓的標準方程知：(*)式表示
3．當d2+e2-4f＜0時，(*)式沒有實數解，因而它不表示任何圖形．
教師總結：當d2+e2-4f＞0時，方程x2+y2+dx+ey+f=0叫圓的一般方程．
師：圓的一般方程有什麼特點？
生a：是關於x、y的二元二次方程．
師：剛才生a的說法對嗎？
生b：不全對．它是關於x、y的特殊的二元二次方程．
師：特殊在什麼地方？
(通過爭論與舉反例後，由教師總結)
師：1．x2，y2係數相同，且不等於零．
2．沒有xy這樣的二次項．
(追問)：這兩個條件是「方程ax2+by2+dx+ey+f=0表示圓」的什麼條件？
生：必要條件．
師：還缺什麼？
生：d2+e2-4f＞0．
練習：判斷以下方程是否是圓的方程：
三、應用舉例
師：先請大家比較一下圓的標準方程(x-a)2+(y-b)2=r2與一般方程x2+y2+dx+ey+f=0在應用上各有什麼優點？
生：標準方程的幾何特徵明顯——能看出圓心、半徑；一般方程的優點是能從一般的二元二次方程中找出圓的方程．
師：怎樣判斷用「一般方程」表示的圓的圓心、半徑．
生b：不用死記，配方即可．
師：兩種形式的方程各有特點，我們應對具體情況作具體分析、選擇．
例1求過三點o(0，0)，m1(1，1)，m2(4，2)的圓的方程，並求圓心和半徑．
分析標準方程需定a，b，r；一般方程需定：o，e，f，顯然在沒有告訴半徑或圓心的情況下選一般方程，解d，e，f時較為簡單．
解法：設出一般方程，用待定係數法．
例2乙個等腰三角形底邊上的高等於5，底邊兩端點的座標是(-4，0)和(4，0)，求它的外接圓方程．
解法一設出一般方程，用待定係數法．(由三角形性質知：頂點為(0，5))
解法二設出標準式x2+(y-b)2=r2．(由三角形性質知：頂點為(0，5)，且圓心在y軸上)．
四、小結
注意一般式的特點：1°x2，y2係數相等且不為零；2°沒有xy這樣的項；3°d2+e2-4f＞0．
另外，大家考慮：d2+e2-4f有點像什麼？像判別式，它正是方程x2+y2+dx+ey+f=0是否是圓的方程的判別式．如d、e確定了，則與f的變化有關．
五、作業：
1．求下列各圓的一般方程：
①過點a(5，1)，圓心在點c(8，-3)；
②過三點a(-1，5)，b(5，5)，c(6，-2)．
2．求下列各圓的圓心座標和半徑：
3．求證：兩圓x2+y2-4x-6y+9=0和x2+y2+12x+6y-19=0相外切．
設計思想
這是一節介紹新知識的課，而且這節課還非常有利於展現知識的形成過程．因此，在設計這節課時，力求「過程、結論並重；知識、能力、思想方法並重」．
在展現知識的形成過程中，盡量避免學生被動接受，而採用討論式，引導學生探索，重視探索過程．一方面，把直線一般方程探求過程進行回顧，模擬，學生從中領會探求方法；另一方面，「把標準方程展開—→認識一般方程」這一過程充分運用了「通過特殊認識一般」的科學思想方法．
同時，通過模擬進行條件的探求——「d2+e2-4f」與「δ」(判別式)模擬．
在整個探求過程中充分利用了「舊知識」及「舊知識的形成過程」，並用它探求新知識．這樣的過程，既是學生獲得新知識的過程，更是培養學生能力的過程．
圓的一般方程教案
教學目標 1 討論並掌握圓的一般方程的特點，並能將圓的一般方程化為圓的標準方程，從而求出圓心的座標和半徑 2 能分析題目的條件選擇圓的一般方程或標準方程解題，解題過程中能分析和運用圓的幾何性質 3 通過對圓的一般方程的特點的討論，培養學生嚴密的邏輯思維和嚴謹的科學態度 通過例題的分析講解，培養學生分...
圓的一般方程
學習目標 我們想去的地方！重點難點 圓的一般方程應用 自學指導 認真閱讀第79 80頁，理解並記憶知識點，6分鐘後完成下面內容。基本知識 鳥欲高飛先振翅，人求上進先讀書！1 對於方程，1 當時，表示以為圓心為半徑的圓。2 當時，方程表示乙個 3 當時，方程沒有實數解，因此它不表示任何圖形。綜上所述，...
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