1．橢圓的概念
在平面內與兩定點f1、f2的距離的和等於常數(大於|f1f2|)的點的軌跡叫________．這兩定點叫做橢圓的________，兩焦點間的距離叫做橢圓的________．
集合p＝，|f1f2|＝2c，其中a>0，c>0，且a，c為常數：
(1)若________，則集合p為橢圓；
(2)若________，則集合p為線段；
(3)若________，則集合p為空集．
2．橢圓的標準方程和幾何性質
[難點正本疑點清源]
橢圓方程中的a、b、c、e與座標系無關，而焦點座標、頂點座標等與座標系有關．因此確定橢圓方程需要三個條件，兩個定形條件：a、b；乙個定位條件：焦點座標．
(1)橢圓中有乙個十分重要的三角形of1b2(如右圖)，它的三邊長分別為a、b、c．易見c2=a2-b2，且若記∠of1b2=θ，則cos θ==e．
(2)橢圓的定義中應注意常數大於|f1f2|．因為當平面內的動點與定點f1、f2的距離之和等於|f1f2|時，其動點軌跡就是線段f1f2；當平面內的動點與定點f1、f2的距離之和小於|f1f2|時，其軌跡不存在．
1．如果橢圓＋＝1上一點p到焦點f1的距離等於6，那麼點p到另乙個焦點f2的距離等於______．
2．若中心在座標原點，對稱軸為座標軸的橢圓經過兩點(4,0)和(0,2)，則該橢圓的離心率等於________．
3．已知f1、f2是橢圓c的左、右焦點，點p在橢圓上，且滿足|pf1|＝2|pf2|，∠pf1f2＝30°，則橢圓的離心率為
4．已知f1，f2是橢圓＋＝1的兩焦點，過點f2的直線交橢圓於a，b兩點．在△af1b中，若有兩邊之和是10，則第三邊的長度為
a．6b．5c．4d．3
5． 「－3a．充分不必要條件b．必要不充分條件
c．充要條件d．既不充分也不必要條件
h5 橢圓及其幾何性質
21．、、、[2014·重慶卷] 如圖15，設橢圓＋＝1(a＞b＞0)的左、右焦點分別為f1，f2，點d在橢圓上，df1⊥f1f2，＝2，△df1f2的面積為.
(1)求該橢圓的標準方程．
(2)是否存在圓心在y軸上的圓，使圓在x軸的上方與橢圓有兩個交點，且圓在這兩個交點處的兩條切線相互垂直並分別過不同的焦點？若存在，求出圓的方程；若不存在，請說明理由．
圖1519．[2014·北京卷] 已知橢圓c：x2＋2y2＝4.
(1)求橢圓c的離心率；
(2)設o為原點，若點a在直線y＝2上，點b在橢圓c上，且oa⊥ob，求線段ab長度的最小值．
20．、[2014·廣東卷] 已知橢圓c：＋＝1(a>b>0)的乙個焦點為(，0)，離心率為.
(1)求橢圓c的標準方程；
(2)若動點p(x0，y0)為橢圓c外一點，且點p到橢圓c的兩條切線相互垂直，求點p的軌跡方程．
20．、、[2014·湖南卷] 如圖15所示，o為座標原點，雙曲線c1：－＝1(a1＞0，b1＞0)和橢圓c2：＋＝1(a2＞b2＞0)均過點p，且以c1的兩個頂點和c2的兩個焦點為頂點的四邊形是面積為2的正方形．
(1)求c1，c2的方程．
(2)是否存在直線l，使得l與c1交於a，b兩點，與c2只有乙個公共點，且|＋|＝|ab| ？證明你的結論.
圖1517．、[2014·江蘇卷] 如圖15所示，在平面直角座標系xoy中，f1，f2分別是橢圓＋＝1(a>b>0)的左、右焦點，頂點b的座標為(0，b)，連線bf2並延長交橢圓於點a，過點a作x軸的垂線交橢圓於另一點c，連線f1c.
(1)若點c的座標為，且bf2＝，求橢圓的方程；
(2)若f1c⊥ab，求橢圓離心率e的值．
圖1514．[2014·江西卷] 設橢圓c：＋＝1(a>b>0)的左右焦點分別為f1，f2，過f2作x軸的垂線與c相交於a，b兩點，f1b與y軸相交於點d.若ad⊥f1b，則橢圓c的離心率等於________．
20．、、[2014·遼寧卷] 圓x2＋y2＝4的切線與x軸正半軸、y軸正半軸圍成乙個三角形，當該三角形面積最小時，切點為p(如圖15所示)．
圖15(1)求點p的座標；
(2)焦點在x軸上的橢圓c過點p，且與直線l：y＝x＋交於a，b兩點，若△pab的面積為2，求c的標準方程．
9．[2014·全國卷] 已知橢圓c：＋＝1(a＞b＞0)的左、右焦點為f1，f2，離心率為，過f2的直線l交c於a，b兩點．若△af1b的周長為4，則c的方程為( )
a.＋＝1 b.＋y2＝1
c.＋＝1 d.＋＝1
20．[2014·新課標全國卷ⅱ] 設f1，f2分別是橢圓c：＋＝1(a＞b＞0)的左、右焦點，m是c上一點且mf2與x軸垂直．直線mf1與c的另乙個交點為n.
(1)若直線mn的斜率為，求c的離心率；
(2)若直線mn在y軸上的截距為2，且|mn|＝5|f1n|，求a，b.
21．，，[2014·山東卷] 在平面直角座標系xoy中，橢圓c：＋＝1(a>b>0)的離心率為，直線y＝x被橢圓c截得的線段長為.
(1)求橢圓c的方程．
(2)過原點的直線與橢圓c交於a，b兩點(a，b不是橢圓c的頂點)．點d在橢圓c上，且ad⊥ab，直線bd與x軸、y軸分別交於m，n兩點．
(i)設直線bd，am的斜率分別為k1，k2，證明存在常數λ使得k1＝λk2，並求出λ的值；
(ii)求△omn面積的最大值．
20．、[2014·陝西卷] 已知橢圓＋＝1(a＞b＞0)經過點(0，)，離心率為，左、右焦點分別為f1(－c，0)，f2(c，0)．
(1)求橢圓的方程；
(2)若直線l：y＝－x＋m與橢圓交於a，b兩點，與以f1f2為直徑的圓交於c，d兩點，且滿足＝，求直線l的方程．
圖1520．、[2014·四川卷] 已知橢圓c：＋＝1(a＞b＞0)的左焦點為f(－2，0)，離心率為.
(1)求橢圓c的標準方程；
(2)設o為座標原點，t為直線x＝－3上一點，過f作tf的垂線交橢圓於p，q.當四邊形optq是平行四邊形時，求四邊形optq的面積．
18．、[2014·天津卷] 設橢圓＋＝1(a＞b＞0)的左、右焦點分別為f1，f2，右頂點為a，上頂點為b.已知|ab|＝|f1f2|.
(1)求橢圓的離心率；
(2)設p為橢圓上異於其頂點的一點，以線段pb為直徑的圓經過點f1，經過點f2的直線l與該圓相切於點m，|mf2|＝2，求橢圓的方程．
1．雙曲線的概念
平面內動點p與兩個定點f1、f2(|f1f2|＝2c>0)的距離之差的絕對值為常數2a (2a<2c)，則點p的軌跡叫這兩個定點叫雙曲線的________，兩焦點間的距離叫________．
集合p＝，|f1f2|＝2c，其中a、c為常數且a>0，c>0：
(1)當________時，p點的軌跡是雙曲線；
(2)當a＝c時，p點的軌跡是
(3)當________時，p點不存在．
2．雙曲線的標準方程和幾何性質
[難點正本疑點清源]
1．雙曲線中a，b，c的關係
雙曲線中有乙個重要的rt△oab(如右圖)，
它的三邊長分別是a、b、c．易見c2＝a2＋b2，
若記∠aob＝θ，則e＝＝．
2．雙曲線的定義用代數式表示為||mf1|－|mf2||＝2a，其中2a<|f1f2|，這裡要注意兩點：
(1)距離之差的絕對值．
(2)2a<|f1f2|．
這兩點與橢圓的定義有本質的不同：
①當|mf1|－|mf2|＝2a時，曲線僅表示焦點f2所對應的一支；
②當|mf1|－|mf2|＝－2a時，曲線僅表示焦點f1所對應的一支；
③當2a＝|f1f2|時，軌跡是一直線上以f1、f2為端點向外的兩條射線；
④當2a>|f1f2|時，動點軌跡不存在．
9 圓錐曲線學生版
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