課時作業(五十二) 第52講圓錐曲線中的熱點問題
時間：45分鐘分值：100分
1．2011·山東實驗中學二模過拋物線y＝2x2的焦點的直線與拋物線交於a(x1，y1)，b(x2，y2)，則x1x2＝( )
a．－2 b．－ c．－4 d．－
2．2011·銀川一中二模雙曲線－＝1(a>0，b>0)的離心率為2，則的最小值為( )
a. b. c．2 d．1
3．2011·福州模擬已知p為拋物線y2＝4x上乙個動點，q為圓x2＋(y－4)2＝1上乙個動點，那麼點p到點q的距離與點p到拋物線的準線距離之和的最小值是( )
a．5 b．8
c.－1 d.＋2
4．2011·廣東六校聯考過點p(－3,0)的直線l與雙曲線－＝1交於點a，b，設直線l的斜率為k1(k1≠0)，弦ab的中點為m，om的斜率為k2(o為座標原點)，則k1·k2＝( )
a. b. c. d．16
5．2011·哈九中月考拋物線y＝4x2上一點到直線y＝4x－5的距離最短，則該點的座標是( )
a．(1,2) b．(0,0)
c. d．(1,4)
6．2011·浙江五校聯考已知點f是雙曲線－＝1(a>0，b>0)的左焦點，點e是該雙曲線的右頂點，過f且垂直於x軸的直線與雙曲線交於a，b兩點．若△abe是銳角三角形，則該雙曲線的離心率e的取值範圍是( )
a．(1，＋∞) b．(1,2)
c．(1,1＋) d．(2,1＋)
7．2011·開封模擬已知直線l1：4x－3y＋6＝0和直線l2：x＝－1，拋物線y2＝4x上一動點p到直線l1和直線l2的距離之和的最小值是( )
a．2 b．3 c. d.
8．若ab為過橢圓＋＝1中心的弦，f1為橢圓的左焦點，則△f1ab面積的最大值為( )
a．6 b．12 c．24 d．48
9．設p為雙曲線x2－＝1右支上的一點，f1、f2是該雙曲線的左、右焦點．若△pf1f2的面積為12，則∠f1pf2等於( )
a. b. c. d.
10．2011·銀川一中二模若a為拋物線y＝x2的頂點，過拋物線焦點的直線交拋物線於b、c兩點，則·等於________．
11．2011·龍巖模擬已知曲線－＝1與直線x＋y－1＝0相交於p、q兩點，且·＝0(o為原點)，則－的值為________．
12．以雙曲線的實軸為虛軸，虛軸為實軸的雙曲線叫做原雙曲線的共軛雙曲線．若一條雙曲線與它的共軛雙曲線的離心率分別是e1，e2，則當它們的實軸，虛軸都在變化時，e＋e的最小值是________．
13．2011·重慶卷設圓c位於拋物線y2＝2x與直線x＝3所圍成的封閉區域(包含邊界)內，則圓c的半徑能取到的最大值為________．
14．(10分)2011·合肥高三質檢已知拋物線y2＝4x，過點m(0,2)的直線l與拋物線交於a、b兩點，且直線l與x軸交於點c.
(1)求證：|ma|、|mc|、|mb|成等比數列；
(2)設＝α，＝β，試問α＋β是否為定值．若是，求出此定值；若不是，請說明理由．
15．(13分)2011·山東實驗中學二模已知橢圓e：＋＝1(a>b>0)的左、右焦點分別為f1，f2，離心率e＝，點d(0,1)在橢圓e上．
(1)求橢圓e的方程；
(2)設過點f2且不與座標軸垂直的直線交橢圓e於a、b兩點，線段ab的垂直平分線與x軸交於點g(t,0)，求點g橫座標t的取值範圍．
(3)試用t表示△gab的面積，並求△gab面積的最大值．
16．(12分)2011·山東卷已知動直線與橢圓c：＋＝1交於p、q兩不同點，且△opq的面積s△opq＝，其中o為座標原點．
(1)證明x＋x和y＋y均為定值；
(2)設線段pq的中點為m，求|om|·|pq|的最大值；
(3)橢圓c上是否存在點d，e，g，使得s△ode＝s△odg＝s△oeg＝？若存在，判斷△deg的形狀；若不存在，請說明理由．
課時作業(五十二)
【基礎熱身】
1．d 解析拋物線的焦點座標是，設直線ab的方程為y＝kx＋，代入拋物線方程得2x2－kx－＝0，根據韋達定理得x1x2＝－.
2．b 解析根據基本不等式≥，只要根據雙曲線的離心率是2，求出的值即可．由於已知雙曲線的離心率是2，故2＝＝＝，解得＝，所以的最小值是.
3．c 解析點p到拋物線的準線距離等於點p到拋物線焦點f(1,0)的距離．圓心座標是(0,4)，圓心到拋物線焦點的距離為，即圓上的點q到拋物線焦點的距離的最小值是－1，即點p到q的距離與點p到拋物線的準線距離之和的最小值為－1.
4．a 解析 a設a(x1，y1)，b(x2，y2)，則ab的中點m的座標是，ab的斜率k1＝，om的斜率k2＝，故k1·k2＝，根據雙曲線方程y2＝(x2－16)，故y－y＝(x－x)，故k1·k2＝.
【能力提公升】
5．c 解析拋物線上的點到直線y＝4x－5的距離是d＝＝＝，顯然這個函式當x＝時取得最小值，此時y＝1.
6．b 解析根據對稱性，只要∠aef《即可．直線ab：x＝－c，代入雙曲線方程得y2＝，取點a，則|af|＝，|ef|＝a＋c，只要|af|<|ef|就能使∠abf<，即1，故17．a 解析點p到直線l2的距離等於到焦點f的距離，故所求的線段之和的最小值就是焦點f到直線l1的距離，即＝2.
8．b 解析設ab的方程為x＝my，代入橢圓方程得16m2y2＋25y2＝400y＝±，
所以s△abf1＝c|y1－y2|＝·2≤3·4＝12.
9．c 解析 f1(－，0)，f2(，0)，|f1f2|＝2，設p(x0，y0)，則△pf1f2的面積s＝×2|y0|＝12，故y＝，代入雙曲線方程得x＝，根據對稱性取點p，此時
|pf1|＝
＝＝＝6，根據雙曲線定義可得|pf2|＝|pf1|－2a＝4，即三角形∠f1pf2是三邊長分別是6,4,2，由於62＋42＝(2)2，故∠f1pf2＝.
10．－3 解析拋物線方程為x2＝4y，其頂點是座標原點，焦點座標是(0,1)．設直線bc的方程為y＝kx＋1，代入拋物線方程整理得x2－4kx－4＝0，設b(x1，y1)，c(x2，y2)，則·＝x1x2＋y1y2＝(1＋k2)x1x2＋k(x1＋x2)＋1，根據韋達定理代入得結果是－3.
11．2 解析將y＝1－x代入－＝1得，(b－a)x2＋2ax－(a＋ab)＝0.設p(x1，y1)，q(x2，y2)，則x1＋x2＝，x1x2＝.·＝x1x2＋y1y2＝x1x2＋(1－x1)(1－x2)＝2x1x2－(x1＋x2)＋1.
所以－＋1＝0，即2a＋2ab－2a＋a－b＝0，即b－a＝2ab，所以－＝2.
12．4 解析 e＝，e＝，則e＋e＝＋＝2＋＋≥2＋2＝4.
13.－1 解析由題意知，半徑取得最大值的圓的圓心必在x軸上．
設圓心c(a,0)(0＜a＜3)，則半徑為3－a，於是圓的方程為(x－a)2＋y2＝(3－a)2，
將拋物線方程y2＝2x代入圓的方程得
(x－a)2＋2x＝(a－3)2，即x2－2(a－1)x＋6a－9＝0，
由δ＝4(a－1)2－4(6a－9)＝0，即a2－8a＋10＝0，解得a＝4±，
∵0＜a＜3，∴a＝4－.
故圓c的半徑能取到的最大值為3－a＝－1.
14．解答 (1)證明：設直線l的方程為：y＝kx＋2(k≠0)，
聯立方程：得
k2x2＋(4k－4)x＋4＝0，①
設a(x1，y1)，b(x2，y2)，c，
則x1＋x2＝－，x1x2＝，②
|ma|·|mb|＝|x1－0|·|x2－0|＝，
而|mc|2＝2＝，
∴|mc|2＝|ma|·|mb|≠0，
即|ma|、|mc|、|mb|成等比數列．
(2)由＝α，＝β得，
(x1，y1－2)＝α，
(x2，y2－2)＝β，
即得α＝，β＝，
則α＋β＝，
由(1)中②代入得α＋β＝－1，
故α＋β為定值，且定值為－1.
15．解答 (1)b＝1，e2＝＝＝，∴a2＝2，a＝，
∴橢圓e的方程為＋y2＝1.
解法一：(2)設直線ab的方程為y＝k(x－1)(k≠0)，
代入＋y2＝1，
整理得(1＋2k2)x2－4k2x＋2k2－2＝0.
∵直線ab過橢圓的右焦點f2，
∴方程有兩個不等實根．
記a(x1，y1)，b(x2，y2)，ab中點n(x0，y0)，
則x1＋x2＝，x1x2＝，
x0＝(x1＋x2)＝，y0＝k(x0－1)＝－，
∴ab垂直平分線ng的方程為y－y0＝－(x－x0)．
令y＝0，得
t＝x0＋ky0＝－＝＝－.
∵k≠0，∴0∴t的取值範圍為.
(3)s△gab＝·|f2g|·|y1－y2|＝|f2g||k|·|x1－x2|.
而|x1－x2|＝＝，
0可得k2＝，k2＋1＝，2k2＋1＝.
所以|x1－x2|＝2 (1－2t).
又|f2g|＝1－t，
所以s△gab＝(1－t)·2 (1－2t)＝.
令f(t)＝t(1－t)3，
則f′(t)＝(1－t)2(1－4t)．
可知f(t)在區間上單調遞增，在區間上單調遞減．
所以，當t＝時，f(t)有最大值f＝.
所以，當t＝時，△gab的面積有最大值.
解法二：(2)設直線ab的方程為x＝my＋1，
由可得(m2＋2)y2＋2my－1＝0，
記a(x1，y1)，b(x2，y2)，ab中點n(x0，y0)，
則y1＋y2＝，y1y2＝－.
可得y0＝＝，
x0＝my0＋1＝.
∴ab垂直平分線ng的方程為y－y0＝－m(x－x0)．
令y＝0，得
t＝x0＋＝－＝.
∵m≠0，∴0∴t的取值範圍為.
(3)s△gab＝·|f2g|·|y1－y2|，
而|y1－y2|＝＝，
由t＝，而得m2＋2＝.
所以|y1－y2|＝＝.
又|f2g|＝1－t，
所以s△mpq＝.
所以△mpq的面積為.
下同解法一．
【難點突破】
16．解答 (1)(i)當直線l的斜率不存在時，p，q兩點關於x軸對稱，所以x2＝x1，y2＝－y1.
因為p(x1，y1)在橢圓上，因此＋＝1.①
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