滾動檢測(二)
一、選擇題(每小題6分，共60分)
1．(2014河南省六市第二次聯考)若全集u＝，p＝，則up等於( )
a．c． d．
解析：p＝，∴up＝．故選a.
答案：a
2．(2014哈爾濱市第三中學模擬)△abc中，m＝(cos a，sin a)，n＝(cos b，－sin b)，若m·n＝，則角c為( )
a. b.
c. d.
解析：m·n＝cos acos b－sin asin b＝，即cos(a＋b)＝，所以a＋b＝，所以c＝.故選b.
答案：b
3．(2014銀川、吳忠聯考)下列結論正確的是( )
a．若p∨q為真命題，則p∧q為真命題
b．「x＝5」是「x2－4x－5＝0」的充分不必要條件
c．命題「若x＜－1，則x2－2x－3＞0」的否命題為「若x＜－1，則x2－2x－3≤0」
d．已知命題p：x∈r，使得x2＋x－1＜0，則綈p：x∈r，使得x2＋x－1＞0
解析：對於a，「p真q假」時，p∨q為真命題，但p∧q為假命題，即a錯；對於b，x＝5時x2－4x－5＝0，當x2－4x－5＝0時x＝－1或5，即b正確；對於c，否命題應為「若x≥－1，則x2－2x－3≤0」，即c錯；對於d，綈p應為「x∈r，使得x2＋x－1≥0」，即d錯．故選b.
答案：b
4．(2014河南省六市第二次聯考)設a＝20.3，b＝0.32，c＝logx(x2＋0.3)(x＞1)，則a，b，c的大小關係是( )
a．a＜b＜c b．b＜a＜c
c．c＜b＜a d．b＜c＜a
解析：∵x＞1，∴c＝logx(x2＋0.3)＞logxx2＝2，
又∵1＜a＜2,0＜b＜1，∴b＜a＜c.故選b.
答案：b
5．(2014唐山模擬)已知α∈(0，π)，cos（α＋）＝，則tan 2α等於( )
a. b．－
c. d．－
解析：∵cos（α＋）＝，α∈(0，π)，
∴α＋＝，解得α＝.
∴tan 2α＝tan＝.故選a.
答案：a
6．已知f(x)＝cos的圖象與y＝1的圖象的兩相鄰交點間的距離為π，要得到y＝f(x)的圖象，只需把y＝sin ωx的圖象( )
a．向左平移π個單位長度
b．向右平移π個單位長度
c．向左平移π個單位長度
d．向右平移π個單位長度
解析：依題意y＝f(x)的最小正週期為π，故ω＝2，
因為y＝cos＝sin
＝sin
＝sin，
所以把y＝sin 2x的圖象向左平移個單位長度即可得到y＝cos的圖象．故選a.
答案：a
7．在△abc中，，若點d滿足，則等於( )
a. b＋c b. c－b
c. b－c d. b＋c
解析：如圖所示，
＝c＋(b－c)＝b＋c，
故選a.
答案：a
8．(2014鄭州市第二次質檢)函式f(x)＝x－ex在r上的零點個數是( )
a．0 b．1
c．2 d．3
解析：f′(x)＝1－ex，令f′(x)＞0得x＜0，令f′(x)＜0得x＞0，即f(x)在(－∞，0)上是增函式，在(0，＋∞)上是減函式，f(x)max＝f(0)＝－1＜0，因此f(x)不存在零點．故選a.
答案：a
9．(2023年高考福建卷)在四邊形abcd中，＝(1,2)，＝(－4,2)，則該四邊形的面積為( )
a. b．2
c．5 d．10
解析：因為 ＝(1,2)·(－4,2)
＝1×(－4)＋2×2＝0，
所以，且＝＝，
＝＝2，
所以s四邊形abcd＝＝××2＝5.故選c.
答案：c
10．(2023年高考遼寧卷)在△abc中，內角a，b，c的對邊分別為a，b，c.若asin bcos c＋csin bcos a＝b，且a>b，則∠b等於( )
a. b.
c. d.
解析：由asin bcos c＋csin bcos a＝b得
sin asin bcos c＋sin csin bcos a＝sin b，
因為sin b≠0，
所以sin acos c＋cos asin c＝，
即sin(a＋c)＝，sin b＝，
又a>b，則∠b＝.故選a.
答案：a
二、填空題(每小題5分，共20分)
11．若向量a＝(－1，x)與b＝(－x,2)共線且方向相同，則x
解析：∵a∥b，∴－1×2＋x2＝0，∴x＝±，
∵a與b同向，∴a·b＞0，即－1×(－x)＋2x＞0，
∴x＞0，因此x＝.
答案：12．已知函式y＝f(x)的圖象在點m(1，f(1))處的切線方程是y＝x＋2，則f(1)＋f′(1
解析：點m在切線上，∴f(1)＝×1＋2＝.
又f′(1)＝k＝，∴f(1)＋f′(1)＝＋＝3.
答案：3
13.(2023年高考福建卷)如圖，在△abc中，已知點d在bc邊上，ad⊥ac，sin∠bac＝，ab＝3，ad＝3，則bd的長為________．
解析：因為ad⊥ac，
所以∠bad＝∠bac－90°，
所以cos∠bad＝cos(∠bac－90°)＝sin∠bac＝，
在△abd中，由餘弦定理得，
bd＝＝.
答案：14．(2014山西康傑中學模擬)設f為拋物線y2＝4x的焦點，a、b、c為該拋物線上三點，若＝0，則
解析：設a(x1，y1)，b(x2，y2)，c(x3，y3)，
∵＝0且f(1,0)，∴(x1－1，y1)＋(x2－1，y2)＋(x3－1，y3)＝(0,0)．
∴x1＋x2＋x3＝3.
∴＝x1＋x2＋x3＋3＝3＋3＝6.
答案：6
三、解答題(共70分)
15．(本小題滿分10分)
已知sin α＝，α∈，tan β＝.
(1)求tan α的值；
(2)求tan(α＋2β)的值．
解：(1)∵sin α＝，α∈，
∴cos α＝＝＝.
∴tan α＝＝＝.
(2)法一 ∵tan β＝，
∴tan 2β＝＝＝，
∴tan(α＋2β)＝＝＝2.
法二 ∵tan β＝，
∴tan(α＋β)＝＝＝1，
∴tan(α＋2β)＝＝＝2.
16．(本小題滿分12分)
已知o為座標原點，向量＝(sin α，1)，＝(cos α，0)，＝(－sin α，2)，點p滿足.
(1)記函式f(α)＝，α∈，求函式f(α)的值域；
(2)若o、p、c三點共線，求|oa―→＋ob―→|的值．
解：(1) ＝(cos α－sin α，－1)，設＝(x，y)，
則＝(x－cos α，y)．
由得x＝2cos α－sin α，y＝－1，
故＝(2cos α－sin α，－1)．
＝(sin α－cos α，1)，＝(2sin α，－1)，
f(α)＝＝(sin α－cos α，1)·(2sin α，－1)＝
2sin2α－2sin αcos α－1＝－(sin 2α＋cos 2α)＝
－sin，
又α∈，
故0<2α＋<，
所以sin∈，
故函式f(α)的值域為[－，1)．
(2)由(1)知＝(2cos α－sin α，－1)，＝(－sin α，2)，
由o、p、c三點共線可得
(－1)×(－sin α)＝2×(2cos α－sin α)，
得tan α＝.
sin 2α＝＝＝.
∴＝＝＝.
17．(本小題滿分12分)
(2014蘭州市第三次診斷)已知△abc中，角a，b，c所對的邊分別是a，b，c，且2(a2＋b2－c2)＝3ab.
(1)求sin2；
(2)若c＝2，求△abc面積的最大值．
解：(1)∵a2＋b2－c2＝ab，∴cos c＝＝，∵a＋b＝π－c，
∴sin2＝＝＝.
(2)∵a2＋b2－c2＝ab，且c＝2，∴a2＋b2－4＝ab，又∵a2＋b2≥2ab，∴ ab≥2ab－4，
∴ab≤8，當且僅當a＝b時取等號．
∵cos c＝，∴sin c＝＝＝.
∴s△abc＝absin c≤，
即△abc面積的最大值為.
18．(本小題滿分12分)
(2014哈師大附中模擬)在△abc中，角a，b，c所對的邊分別為a，b，c，向量m＝cos，1，n＝(－1，sin(a＋b))，且m⊥n.
(1)求角c的大小；
(2)若＝，且a＋b＝4，求c.
解：(1)∵m⊥n，∴m·n＝0，
∴－cos＋sin(a＋b)＝0，
∴－cos＋sin c＝0，∴－cos＋2sin cos＝0，
且0＜c＜π，∴0＜＜，
∴cos≠0，∴sin＝，∴＝，∴c＝.
(2)∵ca―→·cb―→＝abcos c＝ab＝，
∴ab＝3.
又∵a＋b＝4，
∴c2＝a2＋b2－2abcos c＝(a＋b)2－2ab－ab＝16－9＝7，∴c＝.
19．(本小題滿分12分)
已知向量m＝(sin x,1)，n＝，函式f(x)＝(m＋n)·m.
(1)求函式f(x)的最小正週期t及單調遞增區間；
(2)已知a、b、c分別為△abc內角a、b、c的對邊，a為銳角，a＝2，c＝4，且f(a)是函式f(x)在上的最大值，求△abc的面積s.
解：(1)f(x)＝(m＋n)·m
＝sin2 x＋1＋sin xcos x＋
＝＋1＋sin 2x＋
＝sin 2x－cos 2x＋2
＝sin＋2.
因為ω＝2，
所以t＝＝π.
由2kπ－≤2x－≤2kπ＋(k∈z)，
得kπ－≤x≤kπ＋(k∈z)．
故所求單調遞增區間為(k∈z)．
(2)由(1)知f(a)＝sin＋2，
又a∈，∴－ <2a－<.
∴當2a－＝，
即a＝時，f(x)取得最大值3.
由餘弦定理，a2＝b2＋c2－2bccos a.
可得12＝b2＋16－2×4b×，
∴b＝2.
從而s＝bcsin a＝×2×4×sin＝2.
20．(本小題滿分12分)
(2014德陽市一診)已知函式f(x)＝a＋ln x＋－x(a＞0)．
(1)求f(x)的極值；
(2)若曲線y＝f(x)上總存在不同兩點p(x1，f(x1))，q(x2，f(x2))，使得曲線y＝f(x)在p、q兩點處的切線互相平行，證明x1＋x2＞2.
(1)解：f′(x)＝a＋－－1
＝－＝－(x＞0)．
當a＞1時，0＜＜a，f(x)的單調遞減區間是0，，(a，＋∞)，單調遞增區間是，a.
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