2023年普通高等學校夏季招生全國統一考試數學理工農醫類
(湖南卷)
一、選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．
1．(2013湖南，理1)複數z＝i·(1＋i)(i為虛數單位)在復平面上對應的點位於( )．
a．第一象限 b．第二象限
c．第三象限 d．第四象限
2．(2013湖南，理2)某學校有男、女學生各500名，為了解男、女學生在學習興趣與業餘愛好方面是否存在顯著差異，擬從全體學生中抽取100名學生進行調查，則宜採用的抽樣方法是( )．
a．抽籤法 b．隨機數法
c．系統抽樣法 d．分層抽樣法
3．(2013湖南，理3)在銳角△abc中，角a，b所對的邊長分別為a，b.若2asin b＝b，則角a等於( )．
a． b． c． d．
4．(2013湖南，理4)若變數x，y滿足約束條件則x＋2y的最大值是( )．
a． b．0 c． d．
5．(2013湖南，理5)函式f(x)＝2ln x的圖象與函式g(x)＝x2－4x＋5的圖象的交點個數為( )．
a．3 b．2 c．1 d．0
6．(2013湖南，理6)已知a，b是單位向量，a·b＝0，若向量c滿足|c－a－b|＝1，則|c|的取值範圍是( )．
a．[，] b．[，]
c．[1d．[1，]
7．(2013湖南，理7)已知稜長為1的正方體的俯檢視是乙個面積為1的正方形，則該正方體的正檢視的面積不可能等於( )．
a．1 b． c． d．
8．(2013湖南，理8)在等腰直角三角形abc中，ab＝ac＝4，點p為邊ab上異於a，b的一點，光線從點p出發，經bc，ca反射後又回到點p.若光線qr經過△abc的重心，則ap等於( )．
a．2 b．1 c． d．
二、填空題：本大題共8小題，考生作答7小題，每小題5分，共35分．
(一)選做題(請考生在第9,10,11三題中任選兩題作答，如果全做，則按前兩題記分)
9．(2013湖南，理9)在平面直角座標系xoy中，若直線l： (t為引數)過橢圓c： (φ為引數)的右頂點，則常數a的值為
10．(2013湖南，理10)已知a，b，c∈r，a＋2b＋3c＝6，則a2＋4b2＋9c2的最小值為
11．(2013湖南，理11)如圖，在半徑為的o中，弦ab，cd相交於點p，pa＝pb＝2，pd＝1，則圓心o到弦cd的距離為
(二)必做題(12～16題)
12．(2013湖南，理12)若x2dx＝9，則常數t的值為
13．(2013湖南，理13)執行如圖所示的程式框圖，如果輸入a＝1，b＝2，則輸出的a的值為
14．(2013湖南，理14)設f1，f2是雙曲線c： (a＞0，b＞0)的兩個焦點，p是c上一點．若|pf1|＋|pf2|＝6a，且△pf1f2的最小內角為30°，則c的離心率為
15．(2013湖南，理15)設sn為數列的前n項和，sn＝(－1)nan－，n∈n*，則
(1)a3
(2)s1＋s2＋…＋s100
16．(2013湖南，理16)設函式f(x)＝ax＋bx－cx，其中c＞a＞0，c＞b＞0.
(1)記集合m＝，則(a，b，c)∈m所對應的f(x)的零點的取值集合為
(2)若a，b，c是△abc的三條邊長，則下列結論正確的是寫出所有正確結論的序號)
①x∈(－∞，1)，f(x)＞0；
②x∈r，使ax，bx，cx不能構成乙個三角形的三條邊長；
③若△abc為鈍角三角形，則x∈(1,2)，使f(x)＝0.
三、解答題：本大題共6小題，共75分．解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．
17．(2013湖南，理17)(本小題滿分12分)已知函式，g(x)＝2.
(1)若α是第一象限角，且f(α)＝，求g(α)的值；
(2)求使f(x)≥g(x)成立的x的取值集合．
18．(2013湖南，理18)(本小題滿分12分)某人在如圖所示的直角邊長為4公尺的三角形地塊的每個格點(指縱、橫直線的交叉點以及三角形的頂點)處都種了一株相同品種的作物．根據歷年的種植經驗，一株該種作物的年收穫量y(單位：kg)與它的「相近」作物株數x之間的關係如下表所示：
這裡，兩株作物「相近」是指它們之間的直線距離不超過1公尺．
(1)從三角形地塊的內部和邊界上分別隨機選取一株作物，求它們恰好「相近」的概率；
(2)從所種作物中隨機選取一株，求它的年收穫量的分布列與數學期望．
19．(2013湖南，理19)(本小題滿分12分)如圖，在直稜柱abcd－a1b1c1d1中，ad∥bc，∠bad＝90°，ac⊥bd，bc＝1，ad＝aa1＝3.
(1)證明：ac⊥b1d；
(2)求直線b1c1與平面acd1所成角的正弦值．
20．(2013湖南，理20)(本小題滿分13分)在平面直角座標系xoy中，將從點m出發沿縱、橫方向到達點n的任一路徑稱為m到n的一條「l路徑」．如圖所示的路徑mm1m2m3n與路徑mn1n都是m到n的「l路徑」．某地有三個新建的居民區，分別位於平面xoy內三點a(3,20)，b(－10,0)，c(14,0)處．現計畫在x軸上方區域(包含x軸)內的某一點p處修建乙個文化中心．
(1)寫出點p到居民區a的「l路徑」長度最小值的表示式(不要求證明)：
(2)若以原點o為圓心，半徑為1的圓的內部是保護區，「l路徑」不能進入保護區，請確定點p的位置，使其到三個居民區的「l路徑」長度之和最小．
21．(2013湖南，理21)(本小題滿分13分)過拋物線e：x2＝2py(p＞0)的焦點f作斜率分別為k1，k2的兩條不同直線l1，l2，且k1＋k2＝2，l1與e相交於點a，b，l2與e相交於點c，d，以ab，cd為直徑的圓m，圓n(m，n為圓心)的公共弦所在直線記為l.
(1)若k1＞0，k2＞0，證明：·＜2p2；
(2)若點m到直線l的距離的最小值為，求拋物線e的方程．
22．(2013湖南，理22)(本小題滿分13分)已知a＞0，函式f(x)＝.
(1)記f(x)在區間[0,4]上的最大值為g(a)，求g(a)的表示式；
(2)是否存在a，使函式y＝f(x)在區間(0,4)內的圖象上存在兩點，在該兩點處的切線互相垂直？若存在，求a的取值範圍；若不存在，請說明理由．
參***
1答案：b
解析：z＝i＋i2＝－1＋i，對應點為(－1,1)，故在第二象限，選b．
2. 答案：d
解析：看男、女學生在學習興趣與業餘愛好是否存在明顯差異，應當分層抽取，故宜採用分層抽樣
3. 答案：d
解析：由2asin b＝b得2sin asin b＝sin b，故sin a＝，故a＝或.又△abc為銳角三角形，故a＝.
4. 答案：c
解析：約束條件表示的可行域為如圖陰影部分．
令x＋2y＝d，即，
由線性規劃知識可得最優點為，所以dmax＝.
5. 答案：b
解析：設f(x)與g(x)圖象的交點座標為(x，y)，
則y＝2ln x，y＝x2－4x＋5，聯立得2ln x＝x2－4x＋5，令h(x)＝x2－4x＋5－2ln x(x＞0)，
由h′(x)＝2x－4－＝0得x1＝，x2＝(舍)．
當h′(x)＜0時，即x∈(0,)時，h(x)單調遞減；
當h′(x)＞0，即x∈(，＋∞)時，h(x)單調遞增．
又∵h(1)＝2＞0，h(2)＝1－2ln 2＜0，h(4)＝5－2ln 4＞0，
∴h(x)與x軸必有兩個交點，故答案為b．
6. 答案：a
解析：由題意，不妨令a＝(0,1)，b＝(1,0)，c＝(x，y)，由|c－a－b|＝1得(x－1)2＋(y－1)2＝1，|c|＝可看做(x，y)到原點的距離，而點(x，y)在以(1,1)為圓心，以1為半徑的圓上．如圖所示，當點(x，y)在位置p時到原點的距離最近，在位置p′時最遠，而po＝，p′o＝，故選a．
7. 答案：c
解析：根據三檢視中正檢視與俯檢視等長，故正檢視中的長為cos θ，如圖所示．
故正檢視的面積為s＝cos θ(0≤θ≤)，
∴1≤s≤，
而，故面積不可能等於.
8. 答案：d
解析：以a為原點，ab為x軸，ac為y軸建立直角座標系如圖所示．
則a(0,0)，b(4,0)，c(0,4)．
設△abc的重心為d，則d點座標為.
設p點座標為(m,0)，則p點關於y軸的對稱點p1為(－m,0)，因為直線bc方程為x＋y－4＝0，所以p點關於bc的對稱點p2為(4,4－m)，根據光線反射原理，p1，p2均在qr所在直線上，
∴，即，
解得，m＝或m＝0.
當m＝0時，p點與a點重合，故捨去．
∴m＝.
9. 答案：3
解析：由題意知在直角座標系下，直線l的方程為y＝x－a，橢圓的方程為，所以其右頂點為(3,0)．由題意知0＝3－a，解得a＝3.
10. 答案：12
解析：由柯西不等式得(12＋12＋12)(a2＋4b2＋9c2)≥(a＋2b＋3c)2，
即a2＋4b2＋9c2≥12，當a＝2b＝3c＝2時等號成立，所以a2＋4b2＋9c2的最小值為12.
11．答案：
解析：如圖所示，取cd中點e，鏈結oe，oc．
由圓內相交弦定理知pd·pc＝pa·pb，
所以pc＝4，cd＝5，則ce＝，oc＝.
所以o到cd距離為oe＝.
12. 答案：3
解析：∵＝x2，
∴x2dx＝x3＝t3－0＝9，∴t＝3.
13. 答案：9
解析：輸入a＝1，b＝2，不滿足a＞8，故a＝3；
a＝3不滿足a＞8，故a＝5；
a＝5不滿足a＞8，故a＝7；
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