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2023年普通高等學校招生全國統一考試
數學（理）（北京卷）
本試卷共5頁，150分。考試時間長120分鐘。考生務必將答案答在答題卡上，在試卷上作答無效。考試結束後，將本試卷和答題卡一併交回。
第一部分（選擇題共40分）
一、選擇題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題列出的四個選項中，選出符合題目要求的一項。
（1）已知集合p=｛x︱x2≤1｝,m=｛a｝.若p∪m=p,則a的取值範圍是
（a）(-∞, -1] （b）[1, +∞） （c）[-1，1] （d）（-∞，-1] ∪[1，+∞）
（2）複數
（a）ib）-icd）
（3）在極座標系中，圓ρ=-2sinθ的圓心的極座標系是
(abc) (1,0d)(1，)
（4）執行如圖所示的程式框圖，輸出的s值為
（a）-3
（b）-
（c）（d）2
（5）如圖，ad，ae，bc分別與圓o切於點d，e，f，延長af與圓o交於另一點g。給出下列三個結論：
ad+ae=ab+bc+ca；
af·ag=ad·ae
③△afb ～△adg
其中正確結論的序號是
（ab）②③
（cd）①②③
（6）根據統計，一名工作組裝第x件某產品所用的時間（單位：分鐘）為（a，c為常數）。已知工人組裝第4件產品用時30分鐘，組裝第a件產品用時15分鐘，那麼c和a的值分別是
（a）75，25 （b）75，16 （c）60，25 （d）60，16
(7)某四面體的三檢視如圖所示，該四面體四個面的面積中，最大的是
(a) 8 (b) (c)10 (d)
（8）設,，,.記為平行四邊形abcd內部（不含邊界）的整點的個數，其中整點是指橫、縱座標都是整數的點，則函式的值域為
（ab）
（cd）
第二部分 （非選擇題共110分）
二、填空題共6小題，每小題5分，共30分。
（9）在中。若b=5，，tana=2，則sinaa
（10）已知向量a=（，1），b=（0，-1），c=（k，）。若a-2b與c共線，則k
（11）在等比數列中，a1=，a4=-4，則公比q
(12)用數字2,3組成四位數，且數字2,3至少都出現一次，這樣的四位數共有個。（用數字作答）
(13)已知函式若關於x 的方程f(x)=k有兩個不同的實根，則數k的取值範圍是_______
（14）曲線c是平面內與兩個定點f1（-1，0）和f2（1，0）的距離的積等於常數 2( >1)的點的軌跡.給出下列三個結論：
① 曲線c過座標原點；
② 曲線c關於座標原點對稱；
③若點p在曲線c上，則△fpf的面積大於a。
其中，所有正確結論的序號是
三、解答題共6小題，共80分，解答應寫出文字說明，演算步驟或證明過程。
（15）（本小題共13分）
已知函式。
（ⅰ）求的最小正週期：
（ⅱ）求在區間上的最大值和最小值。
（16）（本小題共14分）
如圖，在四稜錐中， 平面，底面是菱形，.
(ⅰ)求證：平面
（ⅱ）若求與所成角的余弦值；
（ⅲ）當平面與平面垂直時，求的長.
（17）本小題共13分
以下莖葉圖記錄了甲、乙兩組個四名同學的植樹棵樹。乙組記錄中有乙個資料模糊，無法確認，在圖中以x表示。
（ⅰ）如果x=8,求乙組同學植樹棵樹的平均數和方差；
（ⅱ）如果x=9，分別從甲、乙兩組中隨機選取一名同學，求這兩名同學的植樹總棵樹y的分布列和數學期望。
（注：方差，其中為，，……的平均數）
（18）（本小題共13分）
已知函式。
（ⅰ）求的單調區間；
（ⅱ）若對於任意的，都有≤，求的取值範圍。
（19）（本小題共14分）
已知橢圓.過點（m,0）作圓的切線i交橢圓g於a，b兩點.
（i）求橢圓g的焦點座標和離心率；
（ii）將表示為m的函式，並求的最大值.
(20)(本小題共13分)
若數列滿足，數列為數列，記=.
（ⅰ）寫出乙個滿足，且〉0的數列；
（ⅱ）若，n=2000，證明：e數列是遞增數列的充要條件是=2011；
（ⅲ）對任意給定的整數n（n≥2），是否存在首項為0的e數列，使得=0？如果存在，寫出乙個滿足條件的e數列；如果不存在，說明理由。
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