2023年普通高等學校招生全國統一考試
【福建卷】（理科數學）
本試卷分第ⅰ卷（選擇題）和第ⅱ卷（非選擇題）兩部分，第ⅰ卷第1至第2頁，第ⅱ卷第3頁至第4頁．全卷滿分150分，考試時間120分鐘．
第ⅰ卷（選擇題共60分）
一、選擇題：（每小題5分，共60分）
【2011福建理，1】1．是虛數單位，若集合，則( )．
abcd．
【答案】b．
【解析】．故選b．
【2011福建理，2】2．若，則是的( )．
a．充分而不必要條件b．必要而不充分條件
c．充要條件d．既不充分又不必要條件
【答案】a．
【解析】 當時，，所以是的充分條件，
但是時，或，所以不是的必要條件．故選a．
【2011福建理，3】3．若，則的值等於( )．
a．2b．3c．4d．6
【答案】d．
【解析】 ．故選d．
【2011福建理，4】4．如圖，矩形中，點為邊的中點，若在矩形內部隨機取乙個點，則點取自內部的概率等於( )．
abcd．
【答案】c．
【解析】因為，則點取自內部的概率．故選c．
【2011福建理，5】5．等於( )．
a．1bcd．
【答案】c．
【解析】 ．故選c．
【2011福建理，6】6． 的展開式中，的係數等於( )．
a．80b．40c．20d．10
【答案】b．
【解析】 ，令，則的係數等於．故選b．
【2011福建理，7】7．設圓錐曲線的兩個焦點分別為，，若曲線上存在點滿足：： ，則曲線的離心率等於( )．
abcd．
【答案】a．
【解析】 因為，所以設，，．
若為橢圓，則 ， 所以．
若為雙曲線，則 ， 所以．故選a．
【2011福建理，8】8．已知是座標原點，點若點為平面區域上的乙個動點，則的取值範圍是( )．
a．[-1.0b．[0.1c．[0.2d．[-1.2]
【答案】c．
【解析】 設．
作出可行域，如圖．直線，即經過
時，最小，，
經過時，最大，，
所以的取值範圍是．故選c．
解析二：
【2011福建理，9】9．對於函式(其中，，)，選取的一組值計算和，所得出的正確結果一定不可能是( )．
a．4和6 b．.3和1c．2和4d．1和2
【答案】d．
【解析】 ，因為，
則為偶數，四個選項中，只有ｄ，不是偶數．故選d．
【2011福建理，10】10．已知函式，對於曲線上橫座標成等差數列的三個點a,b,c，給出以下判斷：
①△abc一定是鈍角三角形；
②△abc可能是直角三角形；
③△abc可能是等腰三角形；
④△abc不可能是等腰三角形．
其中，正確的判斷是 ( )．
abcd．②④
【答案】b．
【解析】設．首先證明．
，當且僅當時等號成立，由於，所以等號不成立，於是，
設點，，，且成等差數列，．
由是上的增函式，則
如圖，為的中點，過作軸的垂線，垂足依次為．
因為，所以在直線上，作交於，作交於．
因為，，
由①式，，，
，，由②，，所以點在的內部，
因而，又，所以一定是鈍角三角形．結論①正確．
若是等腰三角形，因為為的中點，則，因而軸，這是不可能的，所以不是等腰三角形．結論④正確；
所以結論①，④正確．故選ｂ．
第ⅱ卷（非選擇題共90分）
二、填空題：（每小題4分，共16分）
【2011福建理，11】11．執行如圖所示的程式，輸出的結果是
【答案】 3．
【解析】 ．所以輸出的結果是．
【2011福建理，12】12．三稜錐中，⊥底面，，底面是邊長為2的正三角形，則三稜錐的體積等於
【答案】．
【解析】 ．
【2011福建理，13】13．盒中裝有形狀、大小完全相同的5個球，其中紅色球3個，黃色球2個．若從中隨機取出2個球，則所取出的2個球顏色不同的概率等於
【答案】．
【解析】所取出的2個球顏色不同的概率．
【2011福建理，14】14．如圖，中，，，點在邊上，
，則的長度等於
【答案】．
【解析】解法1：由餘弦定理
,所以.
再由正弦定理
，即，所以．
解法2：作於，因為，所以為的
中點，因為，則．
於是，因為為有一角為的直角三角形．且，所以．
【2011福建理，15】15．設是全體平面向量構成的集合，若對映滿足：對任意向量以及任意，均有則稱對映具有性質．
先給出如下對映：
① ；
② ；
③ ．
其中，具有性質的對映的序號為寫出所有具有性質的對映的序號）
【答案】①③．
【解析】設，，則
．對於①，
，所以成立，①是具有性質的對映；
對於②，
，顯然，不是對任意，成立，
所以②不是具有性質的對映；
對於③，
，所以成立，③是具有性質的對映．
因此，具有性質的對映的序號為①、③．
三、解答題：（本大題共6小題，共80分）
【2011福建理，16】16．（本小題滿分13分）已知等比數列的公比，前3項和s3=．
(ⅰ) 求數列的通項公式；
(ⅱ) 若函式在處取得最大值，且最大值為，求函式的解析式．
【解析】本小題主要考查等比數列、三角函式等基礎知識，考查運算求解能力，考查函式與方程思想．
（ⅰ）由，得，解得．
所以．（ⅱ）由（ⅰ），，所以函式的最大值為，於是．
又因為函式在處取得最大值，
則，因為，所以．
函式的解析式為．
【2011福建理，17】17．（本小題滿分13分）已知直線，．
(ⅰ) 若以點為圓心的圓與直線相切與點，且點在軸上，求該圓的方程；
(ⅱ) 若直線關於軸對稱的直線為，問直線與拋物線是否相切？說明理由．
【解析】本小題主要考查直線、圓、拋物線等基礎知識，考查運算求解能力，考查函式與方程思想、數形結合思想、化歸與轉化思想、分類與整合思想．
（ⅰ）解法1：由題意，點的座標為．
因為以點為圓心的圓與直線相切與點，
所以．，所以．
點的座標為．
設圓的方程為，
則，所以，所求的圓的方程為．
解法2：設圓的方程為，
因為以點為圓心的圓與直線相切與點，
所以解得
所以，所求的圓的方程為．
（ⅱ）解法1：因為直線，且
直線與直線關於軸對稱，則．
由得，，解得．
所以，當時，，直線與拋物線相切，當時，，直線與拋物線不相切．
解法2：因為直線，且直線與直線關於軸對稱，則．
設直線與拋物線相切的切點為，
由得，則，，．
所以切點為，竊電在拋物線上，則，．
所以，當時，直線與拋物線相切，當時，直線與拋物線不相切．
【2011福建理，18】18．（本小題滿分12分）某商場銷售某種商品的經驗表明，該商品每日的銷售量（單位：千克）與銷售**（單位：元/千克）滿足關係式，其中，為常數，已知銷售**為5元/千克時，每日可售出該商品11千克．
(ⅰ) 求的值；
(ⅱ) 若該商品的成品為3元/千克，試確定銷售**的值，使商場每日銷售該商品所獲得的利潤最大．
【解析】本小題主要考查函式、導數等基礎知識，考查運算求解能力、應用意識，考查函式與方程思想、數形結合思想、化歸與轉化思想．
（ⅰ）因為時，，由函式式
得 ，所以．
（ⅱ）因為，所以該商品每日的銷售量為，．
每日銷售該商品所獲得的利潤為，．．
於是，當變化時，，的變化情況如下表：
由上表可以看出，是函式在區間內的極大值點，也是最大值點．
所以，當時，函式取得最大值．
因此當銷售**為元/千克時，商場每日銷售該商品所獲得的利潤最大．
【2011福建理，19】19．（本小題滿分13分）某產品按行業生產標準分成8個等級，等級係數依次為1,2，……，8，其中為標準，為標準，已知甲廠執行標準生產該產品，產品的零售價為6元/件；乙廠執行標準生產該產品，產品的零售價為4元/件，假定甲、乙兩廠得產品都符合相應的執行標準．
(ⅰ) 已知甲廠產品的等級係數的概率分布列如下所示：
且的數字期望，求的值；
(ⅱ) 為分析乙廠產品的等級係數，從該廠生產的產品中隨機抽取30件，相應的等級係數組成乙個樣本，資料如下：
3 5 3 3 8 5 5 6 3 4
6 3 4 7 5 3 4 8 5 3
8 3 4 3 4 4 7 5 6 7
用這個樣本的頻率分布估計總體分布，將頻率視為概率，求等級係數的數學期望．
(ⅲ) 在(ⅰ)、(ⅱ)的條件下，若以「價效比」為判斷標準，則哪個工廠的產品更具可購買性？說明理由．
注：（1）產品的「價效比」=；
（2）「價效比」大的產品更具可購買性．
【解析】本小題主要考查概率、統計等基礎知識，考查資料處理能力、運算求解能力、應用意識，考查函式與方程思想、必然與或然思想、分類與整合思想．
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