2023年普通高等學校招生全國統一考試（安徽卷）
數學（理科）
第卷（選擇題共50分）
一、選擇題：本大題共10個小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。
（1）i是虛數單位，若（a、b∈r），則乘積ab的值是
（a）-15b）-3 （c）3 （d）15
（2）若集合a=｛x｜︱2x-1︱＜3｝，b=｛x｜＜0｝,則a∩b是
（a）｛x｜-1＜x＜或2＜x＜3b）｛x｜2＜x＜3｝
（c）｛x｜＜x＜2d）｛x｜-1＜x＜｝
（3）下列曲線中離心率為的是
（ab）
（cd）
（4）下列選項中，是的必要不充分條件的是
（a），
（b的影象不過第二象限
（c（d在上為增函式
（5）已知為等差數列，，。以表示的前n項和，則使得達到最大值的n是
（a）21b）20c）19d）18
（6）設，函式的影象可能是
（7）若不等式組所表示的平面區域被直線分為面積相等的兩
w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
部分，則k的值是
（abcd）
（8）已知函式，的影象與直線的兩個相鄰交點的距離等於，則的單調遞增區間是
（a） （b）
（cd）
（9）已知函式在r上滿足，則曲線在點處的切線方程是
（a） （b） （c） （d）
（10）考察正方體6個面的中心，甲從這6個點中任意選兩個點連成直線，乙也從這6個點種任意選兩個點連成直線，則所得的兩條直線相互平行但不重合的概率等於
（abcd）
（在此卷上答題無效）
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數學（理科）
第ⅱ卷（非選擇題共100分）
考生注意事項：
請用0.5公釐黑色墨水簽字筆在答題卡上作答，在試題卷上答題無效.
二. 填空題：本大題共5小題，每小題5分，共25分，把答案填在答題卡的相應位置.
（11）若隨機變數x~n（μ，σ2），則p（x
（12）以直角座標系的原點為極點，x軸的正半軸為極軸，w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
並在兩種座標系中取相同的長度單位，已知直線的
極座標方程為，它與曲線
為引數）相交於兩點a和b，則
|ab|= .
（13）程式框圖（即演算法流程圖）如圖所示，其輸出結果是
（14）給定兩個長度為1的平面向量和，它們的夾
角為120°.如圖所示，點c在以o為圓心的圓弧
上變動.若，其中，則x+y
的最大值是 .
（15）對於四面體abcd，下列命題正確的是
（寫出所有正確命題的編號）.
①相對稜ab與cd所在的直線異面；
②由頂點a作四面體的高，其垂足是△bcd三條高線的交點；
③若分別作△abc和△abd的邊ab上的高，則這兩條高所在的直線異面；
④分別作三組相對稜中點的連線，所得的三條線段相交於一點；
⑤最長稜必有某個端點，由它引出的另兩條稜的長度之和大於最長稜.
三、解答題：本大題共6小題，共75分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟，解答寫在答題卡上的指定區域內。
（16）（本小題滿分12分）
在△abc中，sin(c-a)=1,sinb=.
(ⅰ)求sina的值；
(ⅱ)設ac=，求△abc的面積. w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
(17)(本小題滿分12分)
某地有a、b、c、d四人先後感染了甲型h1n1流感，其中只有a到過疫區，b肯定是受a感染的。對於c,因為難以判定他是受a還是受b感染的，於是假定他受a和受b感染的概率都是1/2.同樣也假設d受a、b和c感染的概率都是1/3.
在這種假定之下，b、c、d中直接受a感染的人數x就是乙個隨機變數。寫出x的分布列（不要求寫出計算過程），並求x的均值（即數學期望）。
（18）（本小題滿分13分）
如圖，四稜椎f-abcd的底面abcd是菱形，其對角線ac=2,bd=.ae、cf都與平面abcd垂直，ae=1,cf=2.
(ⅰ) 求二面角b-af-d的大小；
(ⅱ) 求四稜錐e-abcd與四稜錐f-abcd公共部分的體積。w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
第（18）題圖
（19）（本小題滿分12分）
已知函式w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
(20)(本小題滿分13分)
點p（x0,y0）在橢圓1(a>b>0)上，x0=, y0=. 直線與直線： 垂直，o為座標原點，直線op的傾斜角為，直線的傾斜角為.
（ⅰ）證明：點p是橢圓與直線的唯一交點；
（ⅱ）證明：tan,tan,tan構成等比數列。
（21）（本小題滿分13分）
首項為正數的數列{}滿足.
(ⅰ)證明：若為奇數，則對一切， 都是奇數；
(ⅱ)若對一切，都有，求的取值範圍。
w數學（理科）試題第4頁（共4頁）w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
2023年普通高等學校招生全國統一考試（安徽卷）
數學（理科）
一. 選擇題
1-10. bdbab cacad
1、[解析] ，∴，選b。
2、[解析]集合，∴選d
3、[解析]由得，選b
4、[解析]：由＞b且c＞d＞b+d，而由＞b+d ＞b且c＞d，可舉反例。選a
5、[解析]：由++=105得即，由=99得即，∴，，由得，選b
6、[解析]：，由得，∴當時，取極大值0，當時取極小值且極小值為負。故選c。
或當時，當時，選c w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
7、[解析]：不等式表示的平面區域如圖所示陰影部分△abc
由得a（1，1），又b（0，4），c（0，）
∴△abc=，設與的
交點為d，則由知，∴
∴選a。
8. [解析]：，由題設的週期為，∴，
由得，，故選c
9、[解析]：由得，
即，∴∴，∴切線方程為
，即選a
10、[解析] 如圖，甲從這6個點中任意選兩個點連成直線，乙也從這
6個點中任意選兩個點連成直線，共有
種不同取法，其中所得的兩條直線相互平行但不重合有
共12對，所以所求概率為，選d
二. 填空題
11、[解析]
12、[解析] 直線的普通方程為，曲線的普通方程
∴13、[解析] 由程式框圖知，迴圈體被執行後的值依次為3、7、15、31、
63、127，故輸出的結果是127。
14、[解析]設 ，即∴
15、[解析]①④⑤
三．解答題
16、解：（ⅰ）由，且，∴，∴，
∴，又，∴
（ⅱ）如圖，由正弦定理得
∴，又∴
17、解：隨機變數x的分布列是
x的均值為w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
附：x的分布列的一種求法
共有如下6種不同的可能情形，每種情形發生的概率都是：
在情形①和②之下，a直接感染了乙個人；在情形③、④、⑤之下，a直接感染了兩個人；在情形⑥之下，a直接感染了三個人。
18、解：（i）（綜合法）連線ac、bd交於菱形的中心o，過o作ogaf，
g為垂足。連線bg、dg。由bdac，bdcf得bd平面acf，故bdaf。
於是af平面bgd，所以bgaf，dgaf， bgd為二面角b－af－d 的平面角。
由，，得，
由，得（向量法）以a為座標原點，、、方向分別為x軸、y軸、z軸的正方向建立空間直角座標系（如圖）
設平面abf的法向量，則由得
令，得，
同理，可求得平面adf的法向量。w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
由知，平面abf與平面adf垂直，
二面角b-af-d的大小等於。
（ii）連eb、ec、ed，設直線af與直線ce相交於點h，則四稜錐e-abcd與四稜錐f-abcd的公共部分為四稜錐h-abcd。
過h作hp⊥平面abcd，p為垂足。
因為ea⊥平面abcd，fc⊥平面abcd，，所以平面acfe⊥平面abcd，從而
由得。又因為
故四稜錐h-abcd的體積w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
19、解：的定義域是(0,+),
設,二次方程的判別式.
1 當，即時，對一切都有,此時在上是增函式。
2 當,即時，僅對有,對其餘的都有,此時在上也是增函式。
3 當，即時，w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
方程有兩個不同的實根, ,.
此時在上單調遞增, 在是上單調遞減, 在上單調遞增.
20、解：本小題主要考查直線和橢圓的標準方程和引數方程，直線和曲線的幾何性質，等比數列等基礎知識。考查綜合運用知識分析問題、解決問題的能力。本小題滿分13分。
解：（i）（方法一）由得代入橢圓,
得.將代入上式,得從而
因此,方程組有唯一解,即直線與橢圓有唯一交點p. w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
(方法二)顯然p是橢圓與的交點，若q是橢圓與的交點，代入的方程，得
即故p與q重合。
（方法三）在第一象限內，由可得
橢圓在點p處的切線斜率
切線方程為即。
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