絕密★啟用前
2023年普通高等學校招生全國統一考試(江蘇卷)
數學i參考公式：
（1）樣本資料的方差,其中
（2）直柱體的側面積，其中為底面周長，是高
（3）柱體的體積公式，其中為底面面積，是高
一、填空題：本大題共14小題，每小題5分，共70分。請把答案填寫在答題卡相應位置上。
1、已知集合則
答案：2、函式的單調增區間是
答案：3、設複數i滿足（i是虛數單位），則的實部是_________
答案：1
4、根據如圖所示的偽**，當輸入分別為2，3時，最後輸出的m的值是________
答案：3
5、從1，2，3，4這四個數中一次隨機取兩個數，則其中乙個數是另乙個的兩倍的概率是______
答案：6、某老師從星期一到星期五收到信件數分別是10，6，8，5，6，則該組資料的方差
解析：可以先把這組數都減去6再求方差，
7、已知則的值為
解析：8、在平面直角座標系中，過座標原點的一條直線與函式的圖象交於p、q兩點，則線段pq長的最小值是________
解析：4，設交點為，，則
9、函式是常數，的部分圖象如圖所示，則
解析：由圖可知：
10、已知是夾角為的兩個單位向量， 若，則k的值為
解析：由得：k=2
11、已知實數，函式，若，則a的值為________
解析：，
12、在平面直角座標系中，已知點p是函式的圖象上的動點，該圖象在p處的切線交y軸於點m，過點p作的垂線交y軸於點n，設線段mn的中點的縱座標為t，則t的最大值是
解析：設則，過點p作的垂線
， ，所以，t在上單調增，在單調減，。
13、設，其中成公比為q的等比數列，成公差為1的等差數列，則q的最小值是________
解析：由題意：，
，而的最小值分別為1，2，3；。
14、設集合, ,
若則實數m的取值範圍是
解析：當時，集合a是以（2，0）為圓心，以為半徑的圓，集合b是在兩條平行線之間， ，因為此時無解；當時，集合a是以（2，0）為圓心，以和為半徑的圓環，集合b是在兩條平行線之間，必有.又因為
二、解答題：本大題共6小題，共90分。請在答題卡指定區域內作答，解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。
15、（本小題滿分14分）在△abc中，角a、b、c所對應的邊為
（1）若求a的值；
（2）若，求的值.
解析：（1）
（2）由正弦定理得：，而。（也可以先推出直角三角形）
16、（本小題滿分14分）如圖，在四稜錐中，平面pad⊥平面abcd，
ab=ad，∠bad=60°，e、f分別是ap、ad的中點
求證：（1）直線ef‖平面pcd；
（2）平面bef⊥平面pad
解析：（1）因為e、f分別是ap、ad的中點，
又直線ef‖平面pcd
（2）f是ad的中點，
又平面pad⊥平面abcd，
所以，平面bef⊥平面pad。
17、請你設計乙個包裝盒，如圖所示，abcd是邊長為60cm的正方形硬紙片，切去陰影部分所示的四個全等的等腰直角三角形，再沿虛線折起，使得四個點重合於圖中的點p，正好形成乙個正四稜柱形狀的包裝盒，e、f在ab上是被切去的等腰直角三角形斜邊的兩個端點，設ae=fb=xcm
（1）若廣告商要求包裝盒側面積s（cm）最大，試問x應取何值？
（2）若廣告商要求包裝盒容積v（cm）最大，試問x應取何值？並求出此時包裝盒的高與底面邊長的比值。
p解析：（1）（0（2），所以，
當時，，所以，當x=20時，v最大。
此時，包裝盒的高與底面邊長的比值為
18、（本小題滿分16分）如圖，在平面直角座標系中，m、n分別是橢圓的頂點，過座標原點的直線交橢圓於p、a兩點，其中p在第一象限，過p作x軸的垂線，垂足為c，連線ac，並延長交橢圓於點b，設直線pa的斜率為k
（1）當直線pa平分線段mn時，求k的值；
（2）當k=2時，求點p到直線ab的距離d；
（3）對任意k>0，求證：pa⊥pb
解析：（1）m(-2,0),n(0,),m、n的中點座標為(-1,),所以
（2）由得，，ac方程：即：
所以點p到直線ab的距離
（3）法一：由題意設，
a、c、b三點共線，又因為點p、b在橢圓上，
，兩式相減得：
法二：設,
a、c、b三點共線，又因為點a、b在橢圓上,
,兩式相減得：,
,19、（本小題滿分16分）已知a，b是實數，函式和是的導函式，若在區間i上恆成立，則稱和在區間i上單調性一致
（1）設，若函式和在區間上單調性一致,求實數b的取值範圍；
（2）設且，若函式和在以a，b為端點的開區間上單調性一致，求|a-b|的最大值。
解析：（1）因為函式和在區間上單調性一致，所以，即
即（2）當時，因為，函式和在區間（b,a）上單調性一致，所以，
即， 設，考慮點(b,a)的可行域，函式的斜率為1的切線的切點設為
則；當時，因為，函式和在區間（a, b）上單調性一致，所以，
即， 當時，因為，函式和在區間（a, b）上單調性一致，所以，
即而x=0時，不符合題意，
當時，由題意：
綜上可知，。
20、（本小題滿分16分）設m為部分正整數組成的集合，數列的首項，前n項和為，已知對任意整數k屬於m，當n>k時，都成立。
（1）設m=｛1｝，，求的值；（2）設m=｛3，4｝，求數列的通項公式。
解析：（1）即：
所以，n>1時，成等差，而，
（2）由題意：，
當時，由（1）（2）得：
由（3）（4）得：
由（1）（3）得：
由（2）（4）得：
由（7）（8）知：成等差，成等差；設公差分別為：
由（5）（6）得：
由（9）（10）得： 成等差，設公差為d,
在（1）（2）中分別取n=4,n=5得：
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2023年普通高等學校招生全國統一考試(江蘇卷)
數學ii（附加題）
21.【選做題】本題包括a、b、c、d四小題，請選定其中兩題，並在答題卡指定區域內作答，
若多做，則按作答的前兩題評分。解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.
a． 選修4-1：幾何證明選講（本小題滿分10分）
如圖，圓與圓內切於點，其半徑分別為與，
圓的弦交圓於點（不在上），
求證：為定值。
證明：由弦切角定理可得
b． 選修4-2：矩陣與變換（本小題滿分10分）
已知矩陣，向量，求向量，使得．
設，由得：，
c．選修4-4：座標系與引數方程（本小題滿分10分）
在平面直角座標系中，求過橢圓（為引數）的右焦點且與直線（為引數）平行的直線的普通方程。
解析：橢圓的普通方程為右焦點為（4，0），直線（為引數）的普通方程為，斜率為：；所求直線方程為：
d．選修4-5：不等式選講（本小題滿分10分）
解不等式：
解析：原不等式等價於：，解集為
【必做題】第22題、第23題，每題10分，共計20分.請在答題卡指定區域內作答，解答時應寫出
文字說明、證明過程或演算步驟。
22. （本小題滿分10分）
如圖，在正四稜柱中，，點是的中點，點在上，設二面角的大小為。
（1）當時，求的長；
（2）當時，求的長。
解析：以d為原點，da為x軸正半軸，dc為y軸正半軸，dd1為z軸正半軸，
建立空間直角座標系，則a(1,0,0),a1(1,0,2),n(,1,0),c(0,1,0) )，設m(0，1,z),
面mdn的法向量，
設面a1dn的法向量為，則
取即(1)由題意：取
（2）由題意：即取
23．（本小題滿分10分）
設整數，是平面直角座標系中的點，其中
（1）記為滿足的點的個數，求；
（2）記為滿足是整數的點的個數，求
解析：（1）因為滿足的每一組解構成乙個點p,所以。
（2）設，則
對每乙個k對應的解數為：n-3k,解數一共有：
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一 集合與簡易邏輯 一選擇題 1.陝西1.設全集為r,函式的定義域為m,則為 a 1,1 b 1,1 c d 答案 d 2.新課標 1 已知集合a x x2 2x 0 b x x 則a a b b a b r c bad ab 解析 故選b.3.新課標ii 1 已知集合，則 a 0,1，2 b 1,...
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