2023年普通高等學校招生全國統一考試（福建卷）
數學（文史類）
第i卷（選擇題共60分）
一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分，在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.
1．若（是虛數單位），則的值分別等於（ ）
a． b． c． d．
【答案】a
【解析】
試題分析：由已知得，所以，選a．
考點：複數的概念．
2．若集合，，則等於（ ）
a． b． c． d
【答案】d
考點：集合的運算．
3．下列函式為奇函式的是( )
a． b． c． d．
【答案】d
【解析】
試題分析：函式和是非奇非偶函式； 是偶函式；是奇函式，故選d．
考點：函式的奇偶性．
4．閱讀如圖所示的程式框圖，閱讀相應的程式．若輸入的值為1，則輸出的值為（ ）
a．2 b．7 c．8 d．128
【答案】c
【解析】
試題分析：由題意得，該程式表示分段函式，則，故選c．
考點：程式框圖．
5．若直線過點，則的最小值等於（ ）
a．2 b．3 c．4 d．5
【答案】c
考點：基本不等式．
6．若，且為第四象限角，則的值等於（ ）
a． b． c． d．
【答案】d
【解析】
試題分析：由，且為第四象限角，則，則
，故選d．
考點：同角三角函式基本關係式．
7．設，，．若，則實數的值等於（ ）
a． b． c． d．
【答案】a
考點：平面向量數量積．
8．如圖，矩形中，點在軸上，點的座標為．且點與點在函式
的影象上．若在矩形內隨機取一點，則該點取自陰影部分的概率等於（ ）
a． b． c． d．
【答案】b
考點：古典概型．
9．某幾何體的三檢視如圖所示，則該幾何體的表面積等於（ ）
a． b． c． d．
【答案】b
【解析】
試題分析：由三檢視還原幾何體，該幾何體是底面為直角梯形，高為的直四稜柱，且底面直角梯形的兩底分別為，直角腰長為，斜腰為．底面積為，側面積為則其表面積為
，所以該幾何體的表面積為，故選b．
考點：三檢視和表面積．
10．變數滿足約束條件，若的最大值為2，則實數等於（ ）
a． b． c． d．
【答案】c
【解析】
試題分析：將目標函式變形為，當取最大值，則直線縱截距最小，故當時，不滿足題意；當時，畫出可行域，如圖所示， 其中．顯然不是最優解，故只能是最優解，代入目標函式得，解得，故選c．
考點：線性規劃．
11．已知橢圓的右焦點為．短軸的乙個端點為，直線交橢圓於兩點．若，點到直線的距離不小於，則橢圓的離心率的取值範圍是（ ）
a． b． c． d．
【答案】a
考點：1、橢圓的定義和簡單幾何性質；2、點到直線距離公式．
12．「對任意，」是「」的（ ）
a．充分而不必要條件 b．必要而不充分條件 c． 充分必要條件 d．既不充分也不必要條件
【答案】b
考點：導數的應用．
第ii卷（非選擇題共90分）
二、填空題：本大題共4小題，每小題4分，共16分.把答案填在答題卡的相應位置.
13．某校高一年級有900名學生，其中女生400名，按男女比例用分層抽樣的方法，從該年級學生中抽取乙個容量為45的樣本，則應抽取的男生人數為_______．
【答案】
【解析】
試題分析：由題意得抽樣比例為，故應抽取的男生人數為．
考點：分層抽樣．
14．若中，，，，則_______．
【答案】
【解析】
試題分析：由題意得．由正弦定理得，則，
所以．考點：正弦定理．
15．若函式滿足，且在單調遞增，則實數的最小值等於_______．
【答案】
【解析】
試題分析：由得函式關於對稱，故，則，由復合函式單調性得在遞增，故，所以實數的最小值等於．
考點：函式的圖象與性質．
16．若是函式的兩個不同的零點，且這三個數可適當排序後成等差數列，也可適當排序後成等比數列，則的值等於________．
【答案】9
考點：等差中項和等比中項．
三、解答題：本大題共6小題，共74分．解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟．
17．(本小題滿分12分)
等差數列中，，．
（ⅰ）求數列的通項公式；
（ⅱ）設，求的值．
【答案】（ⅰ）；（ⅱ）．
【解析】
試題分析：（ⅰ）利用基本量法可求得，進而求的通項公式；（ⅱ）求數列前n項和，首先考慮其通項公式，根據通項公式的不同特點，選擇相應的求和方法，本題，故可採取分組求和法求其前10項和．
試題解析：（i）設等差數列的公差為．
由已知得，
解得．所以．
考點：1、等差數列通項公式；2、分組求和法．
18．（本題滿分12分）
全網傳播的融合指數是衡量電視**在中國網民中影響了的綜合指標．根據相關報道提供的全網傳播2023年某全國性大型活動的「省級衛視新聞台」融合指數的資料，對名列前20名的「省級衛視新聞台」的融合指數進行分組統計，結果如表所示．
（ⅰ）現從融合指數在和內的「省級衛視新聞台」中隨機抽取2家進行調研，求至少有1家的融合指數在的概率；
（ⅱ）根據分組統計表求這20家「省級衛視新聞台」的融合指數的平均數．
【答案】（ⅰ）；（ⅱ）．
解法一：（i）融合指數在內的「省級衛視新聞台」記為，，；融合指數在內的「省級衛視新聞台」記為，．從融合指數在和內的「省級衛視新聞台」中隨機抽取家的所有基本事件是共個．
其中，至少有家融合指數在內的基本事件是共個．
所以所求的概率．
（ii）這家「省級衛視新聞台」的融合指數平均數等於．
解法二：（i）融合指數在內的「省級衛視新聞台」記為，，；融合指數在內的「省級衛視新聞台」記為，．從融合指數在和內的「省級衛視新聞台」中隨機抽取家的所有基本事件是共個．
其中，沒有家融合指數在內的基本事件是：，共個．
所以所求的概率．
（ii）同解法一．
考點：1、古典概型；2、平均值．
19．（本小題滿分12分）
已知點為拋物線的焦點，點在拋物線上，且．
（ⅰ）求拋物線的方程；
（ⅱ）已知點，延長交拋物線於點，證明：以點為圓心且與直線相切的圓，必與直線相切．
【答案】（ⅰ）；（ⅱ）詳見解析．
【解析】
試題分析：（ⅰ）利用拋物線定義，將拋物線上的點到焦點距離和到準線距離相互轉化．本題由可得，可求的值，進而確定拋物線方程；（ⅱ）欲證明以點為圓心且與直線相切的圓，必與直線相切．可證明點到直線和直線的距離相等（此時需確定兩條直線方程）；也可以證明，可轉化為證明兩條直線的斜率互為相反數．
試題解析：解法一：（i）由拋物線的定義得．
因為，即，解得，所以拋物線的方程為．
（ii）因為點在拋物線上，
所以，由拋物線的對稱性，不妨設．
由，可得直線的方程為．
由，得，
解得或，從而．
又，所以，，
所以，從而，這表明點到直線，的距離相等，
故以為圓心且與直線相切的圓必與直線相切．
解法二：（i）同解法一．
（ii）設以點為圓心且與直線相切的圓的半徑為．
因為點在拋物線上，
所以，由拋物線的對稱性，不妨設．
由，可得直線的方程為．
由，得，
解得或，從而．
又，故直線的方程為，
從而．又直線的方程為，
所以點到直線的距離．
這表明以點為圓心且與直線相切的圓必與直線相切．
考點：1、拋物線標準方程；2、直線和圓的位置關係．
20．（本題滿分12分）
如圖，是圓的直徑，點是圓上異於的點，垂直於圓所在的平面，且．
（ⅰ）若為線段的中點，求證平面；
（ⅱ）求三稜錐體積的最大值；
（ⅲ）若，點**段上，求的最小值．
【答案】（ⅰ）詳見解析；（ⅱ）；（ⅲ）．
【解析】
試題分析：（ⅰ）要證明平面，只需證明垂直於麵內的兩條相交直線．首先由垂直於圓所在的平面，可證明；又，為的中點，可證明，進而證明結論；（ⅱ）三稜錐中，高，要使得體積最大，則底面面積最大，又是定值，故當邊上的高最大，此時高為半徑，進而求三稜錐體積；（ⅲ）將側面繞旋轉至平面，使之與平面共面，此時線段的長度即為的最小值．
試題解析：解法一：（i）在中，因為，為的中點，
所以．又垂直於圓所在的平面，
所以．因為，
所以平面．
（ii）因為點在圓上，
所以當時，到的距離最大，且最大值為．
又，所以面積的最大值為．
又因為三稜錐的高，
故三稜錐體積的最大值為．
（iii）在中，，，
所以．同理，所以．
在三稜錐中，將側面繞旋轉至平面，使之與平面共面，如圖所示．
當，，共線時，取得最小值．
又因為，，
所以垂直平分，
即為中點．
從而，亦即的最小值為．
解法二：（i）、（ii）同解法一．
（iii）在中，，，
所以，．同理．
所以，所以．
在三稜錐中，將側面繞旋轉至平面，使之與平面共面，如圖所示．
當，，共線時，取得最小值．
所以在中，由餘弦定理得：
．從而．所以的最小值為．
考點：1、直線和平面垂直的判定；2、三稜錐體積．
21．（本題滿分12分）
已知函式．
（ⅰ）求函式的最小正週期；
（ⅱ）將函式的圖象向右平移個單位長度，再向下平移（）個單位長度後得到函式的圖象，且函式的最大值為2．
（ⅰ）求函式的解析式；
（ⅱ）證明：存在無窮多個互不相同的正整數，使得．
【答案詳見解析．
【解析】
試題分析：（ⅰ）首先利用證明二倍角公式和余弦降冪公式將化為，然後利用求週期；（ⅱ）由函式的解析式中給減，再將所得解析式整體減去得的解析式為，當取1的時，取最大值，列方程求得，從而的解析式可求；欲證明存在無窮多個互不相同的正整數，使得，可解不等式，只需解集的長度大於1，此時解集中一定含有整數，由週期性可得，必存在無窮多個互不相同的正整數．
試題解析：（i）因為
．所以函式的最小正週期．
（ii）（i）將的圖象向右平移個單位長度後得到的圖象，再向下平移（）個單位長度後得到的圖象．
又已知函式的最大值為，所以，解得．
所以．（ii）要證明存在無窮多個互不相同的正整數，使得，就是要證明存在無窮多個互不相同的正整數，使得，即．
由知，存在，使得．
由正弦函式的性質可知，當時，均有．
因為的週期為，
所以當（）時，均有．
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