2023年普通高等學校招生全國統一考試(福建卷)
數學試題(文史類)
第ⅰ卷(選擇題共60分)
一、選擇題：本大題共12小題，每小題5分，共60分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．
1．(2014福建，文1)若集合p＝，q＝，則p∩q等於( )．
a． b．
c． d．
答案：a
解析：結合數軸，得p∩q＝．故選a.
2．(2014福建，文2)複數(3＋2i)i等於( )．
a．－2－3i b．－2＋3i
c．2－3id．2＋3i
答案：b
解析：(3＋2i)i＝3i＋2i2＝－2＋3i.故選b.
3．(2014福建，文3)以邊長為1的正方形的一邊所在直線為旋轉軸，將該正方形旋轉一周所得圓柱的側面積等於( )．
a．2π bc．2 d．1
答案：a
解析：根據題意，可得圓柱側面展開圖為矩形，長為2π×1＝2π，寬為1，∴s＝2π×1＝2π.故選a.
4．(2014福建，文4)閱讀如圖所示的程式框圖，執行相應的程式，輸出的n的值為( )．
a．1 b．2
c．3 d．4
答案：b
解析：第一次迴圈n＝1，判斷21＞12成立，則n＝1＋1＝2；第二次迴圈，判斷22＞22不成立，則輸出n＝2.故選b.
5．(2014福建，文5)命題「x∈[0，＋∞)，x3＋x≥0」的否定是( )．
a． x∈(－∞，0)，x3＋x＜0
b． x∈(－∞，0)，x3＋x≥0
c． x0∈[0，＋∞)，
d． x0∈[0，＋∞)，
答案：c
解析：全稱命題的否定是特稱命題，故該命題的否定是x0∈[0，＋∞)，.故選c.
6．(2014福建，文6)已知直線l過圓x2＋(y－3)2＝4的圓心，且與直線x＋y＋1＝0垂直，則l的方程是( )．
a．x＋y－2＝0 b．x－y＋2＝0
c．x＋y－3＝0 d．x－y＋3＝0
答案：d
解析：直線過圓心(0,3)，與直線x＋y＋1＝0垂直，故其斜率k＝1.所以直線的方程為y－3＝1×(x－0)，即x－y＋3＝0.故選d.
7．(2014福建，文7)將函式y＝sin x的圖象向左平移個單位，得到函式y＝f(x)的圖象，則下列說法正確的是( )．
a．y＝f(x)是奇函式
b．y＝f(x)的週期為π
c．y＝f(x)的圖象關於直線對稱
d．y＝f(x)的圖象關於點對稱
答案：d
解析：y＝sin x的圖象向左平移個單位，得的圖象，所以f(x)是偶函式，a不正確；f(x)的週期為2π，b不正確；f(x)的圖象關於直線x＝kπ(k∈z)對稱，c不正確；f(x)的圖象關於點(k∈z)對稱，當k＝－1時，點為，故d正確．綜上可知選d.
8．(2014福建，文8)若函式y＝logax(a＞0，且a≠1)的圖象如圖所示，則下列函式圖象正確的是( )．
答案：b
解析：由題中圖象可知loga3＝1，所以a＝選項，為指數函式，在r上單調遞減，故a不正確．b選項，y＝x3為冪函式，圖象正確．c選項，y＝(－x)3＝－x3，其圖象和b選項中y＝x3的圖象關於x軸對稱，故c不正確．d選項，y＝log3(－x)，其圖象與y＝log3x的圖象關於y軸對稱，故d選項不正確．綜上可知選b.
9．(2014福建，文9)要製作乙個容積為4 m3，高為1 m的無蓋長方體容器．已知該容器的底面造價是每平方公尺20元，側面造價是每平方公尺10元，則該容器的最低總造價是( )．
a．80元 b．120元 c．160元 d．240元
答案：c
解析：設容器的底長x公尺，寬y公尺，則xy＝4.
所以，則總造價為：
f(x)＝20xy＋2(x＋y)×1×10＝80＋＋20x
＝＋80，x∈(0，＋∞)．
所以，當且僅當，即x＝2時，等號成立，
所以最低總造價是160元．故選c.
10．(2014福建，文10)設m為平行四邊形abcd對角線的交點，o為平行四邊形abcd所在平面內任意一點，則等於( )．
a． b．2 c． d．
答案：d
解析：因為m是ac和bd的中點，由平行四邊形法則，得，，所以.故選d.
11．(2014福建，文11)已知圓c：(x－a)2＋(y－b)2＝1，平面區域ω：若圓心c∈ω，且圓c與x軸相切，則a2＋b2的最大值為( )．
a．5 b．29 c．37 d．49
答案：c
解析：由題意，畫出可行域ω，圓心c∈ω，且圓c與x軸相切，所以b＝1.
所以圓心在直線y＝1上，求得與直線x－y＋3＝0，x＋y－7＝0的兩交點座標分別為a(－2,1)，b(6,1)，
所以a∈[－2,6]．
所以a2＋b2＝a2＋1∈[1,37]，所以a2＋b2的最大值為37.故選c.
12．(2014福建，文12)在平面直角座標系中，兩點p1(x1，y1)，p2(x2，y2)間的「l－距離」定義為||p1p2|＝|x1－x2|＋|y1－y2|，則平面內與x軸上兩個不同的定點f1，f2的「l－距離」之和等於定值(大於||f1f2|)的點的軌跡可以是( )．
答案：a
解析：不妨設f1(－a,0)，f2(a,0)，其中a＞0，點p(x，y)是其軌跡上的點，p到f1，f2的「l－距離」之和等於定值b(大於||f1f2|)，
所以|x＋a|＋|y|＋|x－a|＋|y|＝b，
即|x－a|＋|x＋a|＋2|y|＝b.
當x＜－a，y≥0時，上式可化為；
當－a≤x≤a，y≥0時，上式可化為；
當x＞a，y≥0時，上式可化為；
當x＜－a，y＜0時，上式可化為；
當－a≤x≤a，y＜0時，上式可化為y＝a－；
當x＞a，y＜0時，上式可化為；
可畫出其圖象．(也可利用前三種情況，再關於x軸對稱)故選a.
第ⅱ卷(非選擇題共90分)
二、填空題：本大題共4小題，每小題4分，共16分．把答案填在答題卡的相應位置．
13．(2014福建，文13)如圖，在邊長為1的正方形中隨機撒1 000粒豆子，有180粒落到陰影部分，據此估計陰影部分的面積為
答案：0.18
解析：由幾何概型可知，
所以s陰影＝0.18.故答案為0.18.
14．(2014福建，文14)在△abc中，a＝60°，ac＝2，，則ab等於
答案：1
解析：由餘弦定理可知：，所以c＝1.故答案為1.
15．(2014福建，文15)函式的零點個數是
答案：2
解析：當x≤0時，令f(x)＝x2－2＝0，得，∴.
當x＞0時，f(x)＝2x－6＋ln x，.
所以f(x)單調遞增，當x→0時，f(x)＜0；當x→＋∞時，f(x)＞0，所以f(x)在(0，＋∞)上有乙個零點．
綜上可知共有兩個零點．故答案為2.
16．(2014福建，文16)已知集合＝，且下列三個關係：①a≠2；②b＝2；③c≠0有且只有乙個正確，則100a＋10b＋c等於
答案：201
解析：由題意可知三個關係只有乙個正確分為三種情況：
(1)當①成立時，則a≠2，b≠2，c＝0，此種情況不成立；
(2)當②成立時，則a＝2，b＝2，c＝0，此種情況不成立；
(3)當③成立時，則a＝2，b≠2，c≠0，即a＝2，b＝0，c＝1，
所以100a＋10b＋c＝100×2＋10×0＋1＝201.
故答案為201.
三、解答題：本大題共6小題，共74分．解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟．
17．(本小題滿分12分)(2014福建，文17)在等比數列中，a2＝3，a5＝81.
(1)求an；
(2)設bn＝log3an，求數列的前n項和sn.
分析：(1)等比數列中已知兩項，從而求得公比q，結合通項公式an＝a1qn－1或an＝amqn－m得an的通項公式．
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