2023年普通高等學校招生全國統一考試 （湖南卷）
一．選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分，在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。
1．已知，，，則( b )
a．c． d.
2．「」是「」的( a )
a．充分不必要條件 b.必要不充分條件
c．充分必要條件d.既不充分也不必要條件
3．已條變數滿足則的最小值是( c )
a．4b.3 c.2 d.1
4.函式的反函式是( b )
5.已知直線m,n和平面滿足,則( d )
或或6．下面不等式成立的是( a )
a． b．
c． d．.
7．在中，ab=3，ac=2，bc=，則( d )
a． b． cd．
8．某市擬從4個重點專案和6個一般專案中各選2個專案作為本年度啟動的專案，
則重點專案a和一般專案b至少有乙個被選中的不同選法種數是( c )
a．15b．45 c．60d．75
9．長方體的8個頂點在同乙個球面上，且ab=2，ad=，
，則頂點a、b間的球面距離是( b )
a． b． c． d．2
10．若雙曲線的右支上存在一點，它到右焦點及左準線的距離相等，則雙曲線離心率的取值範圍是( c )
ab． c． d．
.二．填空題：本大題共5小題，每小題5分，共25分，把答案填在橫線上。
11．已知向量，，則||=______2
12.從某地區15000位老人中隨機抽取500人，其生活能否自理的情況如下表所示：
則該地區生活不能自理的老人中男性比女性約多____60_________人。
13．記的展開式中第m項的係數為，若，則=____5______.
14．14．將圓沿x軸正向平移1個單位後所得到圓c，則圓c的方程是________,若過點（3，0）的直線和圓c相切，則直線的斜率為
15．設表示不超過x的最大整數，（如）。對於給定的,
定義則________;
當時，函式的值域是
三．解答題：本大題共6小題，共75分，解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。
16．（本小題滿分12分）
甲乙丙三人參加一家公司的招聘面試，面試合格者可正式簽約。甲表示只要面試合格就簽約，乙、丙則約定：兩人面試都合格就一同簽約，否則兩人都不簽約。
設每人面試合格的概率都是，且面試是否合格互不影響。求：
（i）至少一人面試合格的概率；
（ii）沒有人簽約的概率。
解：用a,b,c分別表示事件甲、乙、丙面試合格．由題意知a,b,c相互獨立，
且（i）至少有一人面試合格的概率是
（ii）沒有人簽約的概率為
17．（本小題滿分12分）
已知函式.
（i）求函式的最小正週期；
（ii）當且時，求的值。
解：由題設有．
（i）函式的最小正週期是
（ii）由得即
因為,所以
從而於是
18．（本小題滿分12分）
如圖所示，四稜錐的底面是邊長為1的菱形，，e是cd的中點，pa底面abcd，。
（i）證明：平面pbe平面pab；
（ii）求二面角a—be—p的大小。
解：解法一（i）如圖所示, 鏈結由是菱形且知，
是等邊三角形. 因為e是cd的中點，所以
又所以又因為pa平面abcd，平面abcd，
所以而因此平面pab.
又平面pbe，所以平面pbe平面pab.
（ii）由（i）知，平面pab,平面pab,
所以又所以是二面角的平面角．
在中,．
故二面角的大小為
解法二：如圖所示,以a為原點，建立空間直角座標系．則相關各點的座標分別是
（i）因為平面pab的乙個法向量是所以和共線.從而平面pab.
又因為平面pbe，所以平面pbe平面pab.
（ii）易知設是平面pbe的乙個法向量,
則由得所以
故可取而平面abe的乙個法向量是
於是,．
故二面角的大小為
19（本小題滿分13分）
已知橢圓的中心在原點，乙個焦點是，且兩條準線間的距離為。
（i）求橢圓的方程；
（ii）若存在過點a（1，0）的直線，使點f關於直線的對稱點在橢圓上，求的取值範圍。
解：（i）設橢圓的方程為
由條件知且所以
故橢圓的方程是
（ii）依題意, 直線的斜率存在且不為0,記為,則直線的方程是
設點關於直線的對稱點為則
解得因為點在橢圓上，所以即
設則因為所以於是,
當且僅當
上述方程存在正實根,即直線存在.
解得所以
即的取值範圍是
20．（本小題滿分13分）
數列滿足
（i）求，並求數列的通項公式；
（ii）設，，，
求使的所有k的值，並說明理由。
解：（i）因為所以
一般地, 當時，
即所以數列是首項為0、公差為4的等差數列，
因此當時，所以數列是首項為2、公比為2的等比數列，因此
故數列的通項公式為
（ii）由（i）知，
於是.下面證明: 當時，事實上, 當時，
即又所以當時，
故滿足的所有k的值為3,4,5.
21．（本小題滿分13分）
已知函式有三個極值點。
（i）證明：；
（ii）若存在實數c，使函式在區間上單調遞減，求的取值範圍。
解：（i）因為函式有三個極值點,
所以有三個互異的實根.
設則當時， 在上為增函式;
當時， 在上為減函式;
當時， 在上為增函式;
所以函式在時取極大值,在時取極小值.
當或時,最多只有兩個不同實根.
因為有三個不同實根, 所以且.
即,且,
解得且故.
（ii）由（i）的證明可知，當時,有三個極值點.
不妨設為（），則
所以的單調遞減區間是,
若在區間上單調遞減，
則, 或,
若,則.由（i）知，,於是
若,則且.由（i）知，
又當時，;
當時，.
因此, 當時，所以且
即故或反之, 當或時，
總可找到使函式在區間上單調遞減.
綜上所述,的取值範圍是.
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