2023年普通高等學校招生全國統一考試（北京卷）
數學（文科）
本試卷共5頁,150分.考試時長120分鐘.
第一部分（選擇題共40分）
一、選擇題:（共8小題,每小題5分,共40分）
1.已知全集u=r,集合,那麼
abc. d.
2.複數
abc. d.
3.如果,那麼
a. b.
c. d.
4.若是真命題,是假命題,則
a.是真命題 b.是假命題
c.是真命題 d.是真命題
5.某四稜錐的三檢視如圖所示,該四稜錐的表面積是
a.32 b.
c.48 d.
6.執行如圖所示的程式框圖,若輸入的值為2,則輸出的值為
a. 2 b. 3 c. 4 d. 5
7.某車間分批生產某種產品,每批的生產準備費用為800元,若每批生產件,則平均倉儲時間為天,且每件產品每天的倉儲費用為1元,為使平均到每件產品的生產準備費用與倉儲費用之和最小,每批應生產產品
a.60件b.80件c.100件d.120件
8.已知點, ,若點在函式的影象上,則使得的面積為2的點的個數為
a.4b.3c.2d.1
第二部分（非選擇題共110分）
二、填空題:（共6小題,每小題5分,共30分）
9.在中,若, , ,則
10.已知雙曲線的一條漸近線的方程為,則 .
11.已知向量, ,.若與共線.則 .
12.在等比數列中,若則公比
13.已知函式若關於的方程有兩個不同的實根，則實數的取值範圍是
14.設, ,，.記為平行四邊形內部（不含邊界）的整點的個數，其中整點是指橫、縱座標都是整數的點，則 ；的所有可能取值為
一、 解答題（共6小題，共80分）
15.（本小題共13分）
已知函式
（）求的最小正週期；
（）求在區間上的最大值和最小值.
16.（本小題共13分）
以下莖葉圖記錄了甲、乙兩組各四名同學的植樹棵樹.乙組記錄中有乙個資料模糊,無法確認,在圖中以表示
（）如果,求乙組同學植樹棵數的平均數和方差;
（）如果,分別從甲、乙兩組中隨機選取一名同學,求這兩名同學的植樹總棵樹為19的概率.
（注:方差,其中為的平均數）
17.（本小題共14分）
如圖,在四面體中, , ,點分別是稜的中點.
（）求證:∥平面;
（）求證:四邊形為矩形;
（）是否存在點,到四面體六條稜的中點的距離相等?說明理由.
18.（本小題共13分）
已知函式
（）求的單調區間;
（）求在區間上的最小值.
19.（本小題共14分）
已知橢圓的離心率為,右焦點為.斜率為1的直線與橢圓交與兩點,以為底作等腰三角形,頂點為.
（）求橢圓的方程;
（）求的面積.
20.（本小題共13分）
若數列滿足,則稱為數列,記.
（）寫出乙個數列滿足;
（）若,證明;數列是遞增數列的充要條件是
（）在的數列中,求使得=0成立的的最小值
參***
一、選擇題（共8小題，每小題5分，共40分）
（1）d （2）a （3）d （4）d
（5）b （6）c （7）b （8）a
二、填空題（共6小題，每小題5分，共30分）
（910）2
（11）112）2
（13）（0，114）6 6，7，8，
三、解答題（共6小題，共80分）
（15）（共13分）
解：（ⅰ）因為
所以的最小正週期為
（ⅱ）因為
於是，當時，取得最大值2；
當取得最小值—1．
（16）（共13分）
解（1）當x=8時，由莖葉圖可知，乙組同學的植樹棵數是：8，8，9，10，
所以平均數為
方差為（ⅱ）記甲組四名同學為a1，a2，a3，a4，他們植樹的棵數依次為9，9，11，11；乙組四名同學為b1，b2，b3，b4，他們植樹的棵數依次為9，8，9，10，分別從甲、乙兩組中隨機選取一名同學，所有可能的結果有16個，它們是：
（a1，b1），（a1，b2），（a1，b3），（a1，b4），
（a2，b1），（a2，b2），（a2，b3），（a2，b4），
（a3，b1），（a2，b2），（a3，b3），（a1，b4），
（a4，b1），（a4，b2），（a4，b3），（a4，b4），
用c表示：「選出的兩名同學的植樹總棵數為19」這一事件，則c中的結果有4個，它們是：（a1，b4），（a2，b4），（a3，b2），（a4，b2），故所求概率為
（17）（共14分）
證明：（ⅰ）因為d，e分別為ap，ac的中點，
所以de//pc。
又因為de平面bcp，
所以de//平面bcp。
（ⅱ）因為d，e，f，g分別為
ap，ac，bc，pb的中點，
所以de//pc//fg，dg//ab//ef。
所以四邊形defg為平行四邊形，
又因為pc⊥ab，
所以de⊥dg，
所以四邊形defg為矩形。
（ⅲ）存在點q滿足條件，理由如下：
連線df，eg，設q為eg的中點
由（ⅱ）知，df∩eg=q，且qd=qe=qf=qg=eg.
分別取pc，ab的中點m，n，連線me，en，ng，mg，mn。
與（ⅱ）同理，可證四邊形meng為矩形，其對角線點為eg的中點q，
且qm=qn=eg，
所以q為滿足條件的點.
（18）（共13分）
解：（ⅰ）
令，得．
與的情況如下：
所以，的單調遞減區間是（）；單調遞增區間是
（ⅱ）當，即時，函式在[0，1]上單調遞增，
所以（x）在區間[0，1]上的最小值為
當時，由（ⅰ）知上單調遞減，在上單調遞增，所以在區間[0，1]上的最小值為；
當時，函式在[0，1]上單調遞減，
所以在區間[0，1]上的最小值為
（19）（共14分）
解：（ⅰ）由已知得
解得又所以橢圓g的方程為
（ⅱ）設直線l的方程為
由得設a、b的座標分別為ab中點為e，
則因為ab是等腰△pab的底邊，
所以pe⊥ab.
所以pe的斜率
解得m=2。
此時方程①為
解得所以
所以|ab|=.
此時，點p（—3，2）到直線ab：的距離
所以△pab的面積s=
（20）（共13分）
解：（ⅰ）0，1，0，1，0是一具滿足條件的e數列a5.
（答案不唯一，0，—1，0，1，0；0，±1，0，1，2；0，±1，0，—1，—2；0，±1，0，—1，
—2，0，±1，0，—1，0都是滿足條件的e的數列a5）
（ⅱ）必要性：因為e數列a5是遞增數列，
所以．所以a5是首項為12，公差為1的等差數列．
所以a2000=12+（2000—1）×1=2011．
充分性，由於a2000—a1000≤1，
a2000—a1000≤1
……a2—a1≤1
所以a2000—at≤19999，即a2000≤a1+1999．
又因為a1=12，a2000=2011,
所以a2000=a1+1999．
故是遞增數列．
綜上，結論得證.
（ⅲ）對首項為4的e數列ak，由於
…………
所以所以對任意的首項為4的e數列am，若
則必有.
又的e數列
所以n是最小值是9.
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2023年高考文科數學試題 9
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