一、本題每乙個小題都給出代號為a,b,c,d的四個結論,其中只有乙個結論是正確的,把正確結論的代號寫在題後的括號內.
(1)數集x=與數集y=之間的關係是
(c)x=y (d)x≠y
【 】
[key] 一、本題考查基本概念和基本運算.
(1)c;
(2)如果圓x2+y2+gx+ey+f=0與x軸相切於原點,那麼
(a)f=0,g≠0,e≠0 (b)e=0,f=0,g≠0
(c)g=0,f=0,e≠0 (d)g=0,e=0,f≠0
【 】
[key] (2)c;
(a)一定是零 (b)一定是偶數
(c)是整數但不一定是偶數 (d)不一定是整數
【 】
[key] (3)b;
(4)arccos(-x)大於arccosx的充要條件是
(a)x∈(0,1] (b)x∈(-1,0)
【 】
[key] (4)a;
(a)是第一象限角
(b)是第三象限角
(c)可能是第一象限角,也可能是第三象限角
(d)是第二象限角
【 】
[key] (5)b.
二、只要求直接寫出結果.
(1)已知圓柱的側面展開圖是邊長為2與4的矩形,求圓柱的體積.
(2)函式log0.5(x2+4x+4)在什麼區間上是增函式?
(6)要排一張有6個歌唱節目和4個舞蹈節目的演出節目單,任何兩個舞蹈節目不得相鄰,問有多少種不同的排法(只要求寫出式子,不必計算).
[key] 二、本題考查基礎知識和基本運算,只需直接寫出結果.
(2)x<-2;
(4)-20;
(5)0;
三、本題只要求畫出圖形.
[key] 三、本題考查在直角座標系和極座標系內畫出圖形的能力.
解:四、已知三個平面兩兩相交,有三條交線.求證這三條交線交於一點或互相平行.
[key] 四、本題考查直線、平面之間的位置關係,空間想象能力和邏輯推理能力.
證明：設三個平面為α,β,γ,且α∩β=c,α∩γ=b,β∩γ=a.
∵ α∩β=c, α∩γ=b,
從而c與b或交於一點或互相平行.
(1)若c與b交於一點,設c∩b=p.由p∈c,且cβ,有p∈β;又由p∈b,且bγ,有p∈γ.於是p∈β∩γ=a.
所以a,b,c交於一點(即p點).
(2)若c∥b,則由bγ,有c∥γ.又由cβ,且β∩γ=a,可知c∥a.
所以a,b,c互相平行.
[key] 五、本題考查對數函式的基本概念、對數方程的解法和分析問題的能力.
解法一:由原對數方程得
cx2+d=1.
這個不等式僅在以下兩種情形下成立:
①c>0,1-d>0,即c>0,d<1;
②c<0,1-d<0,即c<0,d>1.
解法二:原對數方程有解的充要條件是:
(1)x>0,
cx2+d=1.
因此,條件組(1)(4)可簡化為以下的等價條件組:
(1)x>0,
(5)x≠1,
這個不等式僅在以下兩種情形下成立:
①c>0,1-d>0,即c>0,d<1;
②c<0,1-d<0,即c<0,d>1.
再由條件(1),(5)及(6),可知c≠1-d.
六、(1)設p≠0,實係數一元二次方程z2-2pz+q=0有兩個虛數根z1,z2.再設z1,z2在復平面內的對應點是z1,z2.求以z1,z2為焦點且經過原點的橢圓的長軸的長.
[key] 六、本題考查複數的概念、復數的幾何意義、橢圓的基礎知識和軌跡方程的求法.
(1)解法一:因為p,q為實數,p≠0,z1,z2為虛數,所以
(-2p)2-4q<0,q>p2>0.
由z1,z2為共軛虛數,知z1,z2關於x軸對稱,所以橢圓短軸在x軸上.又由橢圓經過原點,可知原點為橢圓短軸的乙個端點.
根據橢圓的性質,複數加、減法幾何意義及一元二次方程根與係數的關係,可得橢圓的
短軸長=2b=│z1+z2│=│2p│=2│p│,
解法二:同解法一,得q>p2>0.
根據實係數一元二次方程的求根公式,得
可知z1,z2關於x軸對稱,所以橢圓短軸在x軸上.又由橢圓經過原點,可知原點為橢圓短軸的乙個端點.
根據橢圓的性質和復數的幾何意義,可得橢圓的
注:也可利用橢圓長半軸的長等於短軸上的頂點到焦點的距離,直接得出
(2)解:因為橢圓經過點m(1,2),且以y軸為準線,所以橢圓在y軸右側,長軸平行於x軸.
即這就是所求的軌跡方程.
[key] 七、本題考查解三角形和用座標法解幾何問題的能力.
a=6,b=8.
如圖,設△abc的內切圓圓心為o′,切點分別為d,e,f,則
如圖建立座標系,則內切圓方程為
(x-2)2+(y-2)2=4.
設圓上動點p的座標為(x,y),則
因為p點在內切圓上,所以0≤x≤4.於是
s最大值=88-0=88,
s最小值=88-16=72.
解法二:同解法一,得△abc是直角三角形,且r=2.
內切圓的引數方程為
所以圓上動點p的座標為(2+2cosα,2+2sinα).從而
因為0≤α≤2π,所以
s最大值=80+8=88,
s最小值=80-8=72.
[key] 八、本題考查數列的基礎知識、不等式的證明和數學歸納法的運用.
(1)證明:先證明xn>2(n=1,2,…).用數學歸納法.
由條件α>2及x1=α知不等式當n=1時成立.假設不等式當n=k(k≥1)時成立.當n=k+1時,因為由條件及歸納假設知
再由歸納假設知不等式(xk-2)2>0成立,所以不等式xk+1>2也成立.從而不等式xn>2對於所有的正整數n成立.
數學歸納法的第二個步驟也可以這樣證:
所以不等式xn>2(n=1,2,…)成立.
也可以這樣證:對所有正整數n有
還可以這樣證:由於對所有正整數n有
(2)證法一:用數學歸納法.由條件x1=α≤3知不等式當n=1時成立.假設不等式當n=k(k≥1)時成立.當n=k+1時,由條件及xk>2知
證法二:用數學歸納法.證不等式當n=k+1時成立用以下證法.由條件知
再由xk>2及歸納假設可得
x1>x2>…>xn>xn+1≥3.
因此,由上面證明的結論及x1=α可得
若xn≤3,則由第(1)小題可知xn+1若xn>3,則由第(1)小題可知x1>x2>…>xn>3.由此式及上面證明的結論,可得
九、附加題,不計入總分.
如圖,已知圓心為o、半徑為1的圓與直線l相切於點a,一動點p自切點a沿直線l向右移動時,取弧的長為,直線pc與直線
[key] 九、(本題不計入總分)本題考查導數概念、微分法和利用導數概念的物理意**決實際問題的能力.解得
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