2023年普通高等學校招生天津卷理工類數學試題
本試卷分第一卷（選擇題）和第二卷（非選擇題）兩部分，共150分，考試用時120分鐘第一卷1至2頁，第二卷3至10頁考試結束後，將本試卷和答題卡一併交回
祝各位考生考試順利！
第一卷（選擇題共60分）
注意事項：
1. 答第一卷前，考生務必將自己的姓名、準考號、科目塗寫在答題卡上
2. 每小題選出答案後，用鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號塗黑如需改動，用橡皮擦乾淨後，再選塗其他答案標號答在試卷上的無效
參考公式：
如果事件a、b互斥，那麼
如果事件a、b相互獨立，那麼
柱體（稜柱、圓柱）的體積公式
其中s表示柱體的底面積，h表示柱體的高
一. 選擇題：本大題共12小題，每小題5分，共60分在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的
1. i是虛數單位， =
a. b. c. d.
2. 不等式的解集為
a. b.
c. d.
3. 若平面向量與向量的夾角是，且，則＝
abcd.
4. 設p是雙曲線上一點，雙曲線的一條漸近線方程為、f2分別是雙曲線的左、右焦點，若，則
a. 1或5 b. 6 c. 7 d. 9
5. 若函式在區間上的最大值是最小值的3倍，則a=
a. b. c. d.
6. 如圖，在稜長為2的正方體中，o是底面abcd的中心，e、f分別是、ad的中點，那麼異面直線oe和所成的角的余弦值等於
a. b. c. d.
7. 若為圓的弦ab的中點，則直線ab的方程是
a. b.
c. d.
8. 已知數列，那麼「對任意的，點都在直線上」是「為等差數列」的
a. 必要而不充分條件 b. 充分而不必要條件
c. 充要條件 d. 既不充分也不必要條件
9. 函式為增函式的區間是
a. b. c. d.
10. 如圖，在長方體中，ab=6，ad=4， 分別過bc、的兩個平行截面將長方體分成三部分，其體積分別記為，， 若，則截面的面積為
a. b. cd. 16
11. 函式（）的反函式是
a. b.
c. d.
12. 定義在r上的函式既是偶函式又是週期函式，若的最小正週期是，且當時，，則的值為
a. b. c. d.
2023年普通高等學校招生全國統一考試（天津卷）
數學（理工類）
第二卷（非選擇題共90分）
注意事項：
1. 用鋼筆或原子筆直接答在試卷上
2. 答卷前將密封線內的專案填寫清楚
二. 填空題：本大題共4小題，每小題4分，共16分把答案填在題中橫線上
13. 某工廠生產a、b、c三種不同型號的產品，產品數量之比依次為，現用分層抽樣方法抽出乙個容量為n的樣本，樣本中a種型號產品有16件那麼此樣本的容量n
14. 如果過兩點和的直線與拋物線沒有交點，那麼實數a的取值範圍是
15. 若，則
用數字作答）
16. 從1，3，5，7中任取2個數字，從0，2，4，6，8中任取2個數字，組成沒有重複數字的四位數，其中能被5整除的四位數共有個（用數字作答）
三. 解答題：本大題共6小題，共74分，解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟
17. （本小題滿分12分）
已知，（1）求的值；（2）求的值
18. （本小題滿分12分）
從4名男生和2名女生中任選3人參加演講比賽，設隨機變數表示所選3人中女生的人數
（1）求的分布列；
（2）求的數學期望；
（3）求「所選3人中女生人數」的概率
19. （本小題滿分12分）
如圖，在四稜錐p—abcd中，底面abcd是正方形，側稜pd⊥底面abcd，pd=dc，e是pc的中點，作ef⊥pb交pb於點f
（1）證明pa//平面edb；
（2）證明pb⊥平面efd；
（3）求二面角c—pb—d的大小
20. （本小題滿分12分）
已知函式在處取得極值
（1）討論和是函式的極大值還是極小值；
（2）過點作曲線的切線，求此切線方程
21. （本小題滿分12分）
已知定義在r上的函式和數列滿足下列條件：
，，其中a為常數，k為非零常數
（1）令，證明數列是等比數列；
（2）求數列的通項公式；
（3）當時，求
22. （本小題滿分14分）
橢圓的中心是原點o，它的短軸長為，相應於焦點f（c，0）（）的準線與x軸相交於點a，|of|=2|fa|，過點a的直線與橢圓相交於p、q兩點
（1）求橢圓的方程及離心率；
（2）若，求直線pq的方程；
（3）設（），過點p且平行於準線的直線與橢圓相交於另一點m，證明
2023年普通高等學校招生天津卷理工類數學參考解答
一. 選擇題：本題考查基本知識和基本運算，每小題5分，滿分60分
1—5 daaca 6—10 babcc 11—12 dd
二. 填空題：本題考查基本知識和基本運算，每小題4分，滿分16分
13. 80 14. 15. 2004 16. 300
三. 解答題：
17. 本小題考查兩角和正切線，倍角的正弦、余弦公式等基礎知識，考查基本運算能力，滿分12分
（1）解：
由，有解得（2）解法一：
解法二：由（1），，得
∴∴於是，
代入得18. 本小題考查離散型隨機變數分布列和數學期望等概念，考查運用概率知識解決實際問題的能力滿分12分
（1）解：可能取的值為0，1，2
所以，的分布列為
（2）解：由（1），的數學期望為
（3）解：由（1），「所選3人中女生人數」的概率為
19. 本小題考查直線與平面平行，直線與平面垂直，二面角等基礎知識，考查空間想象能力和推理論證能力，滿分12分
方法一：
（1）證明：鏈結ac，ac交bd於o，鏈結eo
∵底面abcd是正方形，∴點o是ac的中點
在中，eo是中位線，∴pa // eo
而平面edb且平面edb，
所以，pa // 平面edb
（2）證明：
∵pd⊥底面abcd且底面abcd，∴
∵pd=dc，可知是等腰直角三角形，而de是斜邊pc的中線，
∴ ①
同樣由pd⊥底面abcd，得pd⊥bc
∵底面abcd是正方形，有dc⊥bc，∴bc⊥平面pdc
而平面pdc，∴ ②
由①和②推得平面pbc
而平面pbc，∴
又且，所以pb⊥平面efd
（3）解：由（2）知，，故是二面角c—pb—d的平面角
由（2）知，
設正方形abcd的邊長為a，則
，在中，在中，，∴
所以，二面角c—pb—d的大小為
方法二：如圖所示建立空間直角座標系，d為座標原點，設
（1）證明：鏈結ac，ac交bd於g，鏈結eg
依題意得
∵底面abcd是正方形，∴g是此正方形的中心，故點g的座標為且
∴，這表明pa//eg
而平面edb且平面edb，∴pa//平面edb
（2）證明；依題意得， 又，故
∴由已知，且，所以平面efd
（3）解：設點f的座標為，，則
從而所以
由條件知，，即
，解得∴點f的座標為，且， ∴
即，故是二面角c—pb—d的平面角
∵，且，，∴∴
所以，二面角c—pb—d的大小為
20. 本小題考查函式和函式極值的概念，考查運用導數研究函式性質和求曲線切線的方法，以及分析和解決問題的能力滿分12分
（1）解：，依題意，，即
解得∴ 令，得
若，則，故
在上是增函式，
在上是增函式
若，則，故
在上是減函式
所以，是極大值；是極小值
（2）解：曲線方程為，點不在曲線上
設切點為，則點m的座標滿足
因，故切線的方程為
注意到點a（0，16）在切線上，有
化簡得，解得
所以，切點為，切線方程為
21. 本小題主要考查函式、數列、等比數列和極限等概念，考查靈活應用數學知識分析問題和解決問題的能力，滿分12分
（1）證明：由，可得
由數學歸納法可證
由題設條件，當時
因此，數列是乙個公比為k的等比數列
（2）解：由（1）知，
當時，當時，而所以，當時
上式對也成立所以，數列的通項公式為
當時上式對也成立，所以，數列的通項公式為
，（2）解：當時
22. 本小題主要考查橢圓的標準方程和幾何性質，直線方程，平面向量的計算，曲線和方程的關係等解析幾何的基本思想方法和綜合解題能力滿分14分
（1）解：由題意，可設橢圓的方程為
由已知得
解得所以橢圓的方程為，離心率
（2）解：由（1）可得a（3，0）
設直線pq的方程為由方程組
得依題意，得
設，則， ①
②由直線pq的方程得於是
③∵，∴ ④
由①②③④得，從而
所以直線pq的方程為或
（2）證明： 由已知得方程組
注意，解得
因，故而，所以
2023年高考天津卷理數試題 含答案
絕密 啟用前 2016年普通高等學校招生全國統一考試 天津卷 數學 理工類 本試卷分第 卷 選擇題 和第 卷 非選擇題 兩部分，共150分，考試用時120分鐘。第 卷1至2頁，第 卷3至5頁。答卷前，考生務必將自己的姓名 準考號填寫在答題卡上，並在規定位置貼上考試用條形碼。答卷時，考生務必將答案塗寫...
2023年高考文科數學試題 重慶卷
2006年普通高等學校招生全國統一考試 重慶卷 數學試題卷 文史類 數學試題 文史類 共5頁。滿分150分。考試時間120分鐘。注意事項 1 答題前，務必將自己的姓名 准考證號填寫在答題卡規定的位置上。2 答選擇題時，必須使用2b鉛筆將答題卡上對應題目的答案標號塗黑。如需改動，用橡皮檫擦乾淨後，在選...
2023年高考理科數學試題 遼寧卷
2009年普通高等學校招生全國統一考試 遼寧卷 數學 理工農醫類 一 選擇題 每小題5分，共60分 2 已知複數，那麼 a b c d 3 平面向量a與b的夾角為，則 abc 4d 12 4 已知圓c與直線x y 0 及x y 4 0都相切，圓心在直線x y 0上，則圓c 的方程為 a b c d ...