絕密★啟用前
2023年普通高等學校招生全國統一考試(天津卷)
數學（理工類）
本試卷分第ⅰ卷（選擇題）和第ⅱ卷（非選擇題）兩部分，共150分，考試用時120分鐘。第ⅰ卷1至2頁，第ⅱ卷3至5頁。
答卷前，考生務必將自己的姓名、準考號填寫在答題卡上，並在規定位置貼上考試用條形碼。答卷時，考生務必將答案塗寫在答題卡上，答在試卷上的無效。考試結束後，將本試卷和答題卡一併交回。
祝各位考生考試順利！
第ⅰ卷注意事項：
1. 每小題選出答案後，用鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號塗黑。如需改動，用橡皮擦乾淨後，再選塗其他答案標號。
2. 本卷共8小題，每小題5分，共40分。
參考公式：
如果事件，互斥，那麼如果事件，相互獨立，那麼
圓柱的體積公式.圓錐的體積公式.
其中表示圓柱的底面面積， 其中表示圓錐的底面面積，
表示圓柱的高.表示圓錐的高.
1. 選擇題：在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.
（1）已知集合，，則
（ab）
（cd）
（2）設變數，滿足約束條件則目標函式的最小值為
（abcd）
（3）在中，若，，，
則（ab）
（cd）
（4）閱讀右邊的程式框圖，執行相應的程式，則輸出
的值為（a） （b）
（cd）
（5）設是首項為正數的等比數列，公比為，則
「」是「對任意的正整數，」的
（a）充要條件
（b）充分而不必要條件
（c）必要而不充分條件
（d）既不充分也不必要條件
（6）已知雙曲線，以原點為圓心，雙曲線的實半軸長為半徑長的圓與雙曲線的兩條漸近線相交於，，，四點，四邊形的面積為，則雙曲線的方程為
（a） （b） （c）（d）
（7）已知是邊長為的等邊三角形，點，分別是邊，的中點，連線
並延長到點，使得，則的值為
（a）（bcd）
（8）已知函式（，且）在r上單調遞減，且關於的方程恰好有兩個不相等的實數解，則的取值範圍是
（ab）
（cd）{}
絕密★啟用前
2023年普通高等學校招生全國統一考試(天津卷)
數學（理工類）
第ⅱ卷注意事項：
1. 用黑色墨水的鋼筆或簽字筆將答案寫在答題卡上.
2. 本卷共12小題, 共110分.
二．填空題: 本大題共6小題, 每小題5分, 共30分.
（9）已知， r，是虛數單位，若，則的值為
（10）的展開式中的係數為用數字作答）
（11）已知乙個四稜錐的底面是平行四邊形，該四稜
錐的三檢視如圖所示（單位：），則該四稜錐的體積
為（12）如圖，是圓的直徑，弦與相交於點，
，，則線段的長
為（13）已知是定義在r上的偶函式，且在區間
上單調遞增.若實數滿足，
則的取值範圍是
（14）設拋物線（為引數，）的焦
點，準線為.過拋物線上一點作的垂線，垂足為
.設，與相交於點.若，
且的面積為，則的值為
三. 解答題：本大題共6小題，共80分. 解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟.
（15）（本小題滿分13分）
已知函式.
（ⅰ）求的定義域與最小正週期；
（ⅱ）討論在區間上的單調性.
（16）（本小題滿分13分）
某小組共人，利用假期參加義工活動.已知參加義工活動次數為，，的人數分
別為，，.現從這人中隨機選出人作為該組代表參加座談會.
（ⅰ）設為事件「選出的人參加義工活動次數之和為」，求事件發生的概率；
（ⅱ）設為選出的人參加義工活動次數之差的絕對值，求隨機變數的分布列
和數學期望.
（17）（本小題滿分13分）
如圖，正方形的中心為，四邊形為矩形，平面平面，點為的中點，.
（ⅰ）求證：∥平面；
（ⅱ）求二面角的正弦值；
（ⅲ）設為線段上的點，且，
求直線和平面所成角的正弦值.
（18）（本小題滿分13分）
已知是各項均為正數的等差數列，公差為.對任意的，是和的等比中項.
（ⅰ）設，，求證：數列是等差數列；
（ⅱ）設，，，求證.
（19）（本小題滿分14分）
設橢圓的右焦點為，右頂點為.已知，
其中為原點，為橢圓的離心率.
（ⅰ）求橢圓的方程；
（ⅱ）設過點的直線與橢圓交於點（不在軸上），垂直於的直線與交於點，與軸交於點.若，且≤，求直線的斜率的取值範
圍.（20）（本小題滿分14分）
設函式， r，其中， r.
（ⅰ）求的單調區間；
（ⅱ）若存在極值點，且，其中，求證：；
（ⅲ）設，函式，求證：在區間上的最大值不小於
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數學（理工類）
一、選擇題：
（1）【答案】d
（2）【答案】b
（3）【答案】a
（4）【答案】b
（5）【答案】c
（6）【答案】d
（7）【答案】b
（8）【答案】c
第ⅱ卷二、填空題：
（9）【答案】2
（10）【答案】
（11）【答案】2
（12）【答案】
（13）【答案】
(14) 【答案】
三、解答題
（15）
【答案】（ⅰ），（ⅱ）在區間上單調遞增, 在區間上單調遞減.
【解析】
試題分析：（ⅰ）先利用誘導公式、兩角差余弦公式、二倍角公式、配角公式將函式化為基本三角函式：，再根據正弦函式性質求定義域、週期根據（1）的結論，研究三角函式在區間上單調性
試題解析： 解：的定義域為.
.所以,的最小正週期
解：令函式的單調遞增區間是
由,得 設，易知.
所以, 當時, 在區間上單調遞增, 在區間上單調遞減.
考點：三角函式性質，誘導公式、兩角差余弦公式、二倍角公式、配角公式
【結束】
(16)
【答案】（ⅰ）（ⅱ）詳見解析
【解析】
試題分析：（ⅰ）先確定從這10人中隨機選出2人的基本事件種數：，再確定選出的2人參加義工活動次數之和為4所包含基本事件數：
，最後根據概率公式求概率（ⅱ）先確定隨機變數可能取值為再分別求出對應概率，列出概率分布，最後根據公式計算數學期望
試題解析：解：由已知，有
所以，事件發生的概率為.
隨機變數的所有可能取值為，，
.所以，隨機變數分布列為
隨機變數的數學期望.
考點：概率，概率分布與數學期望
【結束】
(17)
【答案】（ⅰ）詳見解析（ⅱ）（ⅲ）
【解析】
試題分析：（ⅰ）利用空間向量證明線面平行，關鍵是求出面的法向量，利用法向量與直線方向向量垂直進行論證（ⅱ）利用空間向量求二面角，關鍵是求出面的法向量，再利用向量數量積求出法向量夾角，最後根據向量夾角與二面角相等或互補關係求正弦值（ⅲ）利用空間向量證明線面平行，關鍵是求出面的法向量，再利用向量數量積求出法向量夾角，最後根據向量夾角與線面角互餘關係求正弦值
試題解析：依題意，，如圖，以為點，分別以的方向為軸，軸、軸的正方向建立空間直角座標系，依題意可得，.
（i）證明：依題意，.設為平面的法向量，則，即.不妨設，可得，又，可得，又因為直線，所以.
（ii）解：易證，為平面的乙個法向量.依題意，.設為平面的法向量，則，即.不妨設，可得.
因此有，於是，所以，二面角的正弦值為.
（iii）解：由，得.因為，所以，進而有，從而，因此.所以，直線和平面所成角的正弦值為.
考點：利用空間向量解決立體幾何問題
【結束】
(18)
【答案】（ⅰ）詳見解析（ⅱ）詳見解析
【解析】
試題分析：（ⅰ）先根據等比中項定義得：，從而，因此根據等差數列定義可證：（ⅱ） 對數列不等式證明一般以算代證先利用分組求和化簡，再利用裂項相消法求和，易得結論.
試題解析：（i）證明：由題意得，有，因此，所以是等差數列.
（ii）證明：
所以.考點：等差數列、等比中項、分組求和、裂項相消求和
【結束】
（19）
【答案】（ⅰ）（ⅱ）
【解析】
試題分析：（ⅰ）求橢圓標準方程，只需確定量，由，得，再利用，可解得，（ⅱ）先化簡條件： ，即m再oa中垂線上，，再利用直線與橢圓位置關係，聯立方程組求；利用兩直線方程組求h，最後根據，列等量關係解出直線斜率.
取值範圍
試題解析：（1）解：設，由，即，可得，又，所以，因此，所以橢圓的方程為.
（2）（ⅱ）解：設直線的斜率為（），則直線的方程為.設，由方程組，消去，整理得.
解得，或，由題意得，從而.
由（ⅰ）知，，設，有，.由，得，所以，解得.因此直線的方程為.
設，由方程組消去，解得.在中，，即，化簡得，即，解得或.
所以，直線的斜率的取值範圍為.
考點：橢圓的標準方程和幾何性質，直線方程
【結束】
（20）
【答案】（ⅰ）詳見解析（ⅱ）詳見解析（ⅲ）詳見解析
【解析】
試題分析：（ⅰ）先求函式的導數：，再根據導函式零點是否存在情況，分類討論：
當時，有恆成立，所以的單調增區間為.當時，存在三個單調區間（ⅱ）由題意得，計算可得再由及單調性可得結論（ⅲ）實質研究函式最大值：主要比較，的大小即可，分三種情況研究當時，，當時，，③當時，.
試題解析：（ⅰ）解：由，可得.
下面分兩種情況討論：
（1）當時，有恆成立，所以的單調遞增區間為.
（2）當時，令，解得，或.
當變化時，，的變化情況如下表：
所以的單調遞減區間為，單調遞增區間為，.
（ⅱ）證明：因為存在極值點，所以由（ⅰ）知，且，由題意，得，即，
進而.又
，且，由題意及（ⅰ）知，存在唯一實數滿足，且，因此，所以；
（ⅲ）證明：設在區間上的最大值為，表示兩數的最大值.下面分三種情況同理：
（1）當時，，由（ⅰ）知，在區間上單調遞減，所以在區間上的取值範圍為，因此
，所以.
（2）當時，，由（ⅰ）和（ⅱ）知，，，
所以在區間上的取值範圍為，因此
.（3）當時，，由（ⅰ）和（ⅱ）知，
，，所以在區間上的取值範圍為，因此
.綜上所述，當時，在區間上的最大值不小於.
考點：導數的運算，利用導數研究函式的性質、證明不等式
【結束】
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