一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。
1．已知集合，則
a． b． c． d．
2．若，則z=
a． b． c． d．
3．《西遊記》《三國演義》《水滸傳》和《紅樓夢》是中國古典文學瑰寶，並稱為中國古典**四大名著.某中學為了解本校學生閱讀四大名著的情況，隨機調查了100學生，其中閱讀過《西遊記》或《紅樓夢》的學生共有90位，閱讀過《紅樓夢》的學生共有80位，閱讀過《西遊記》且閱讀過《紅樓夢》的學生共有60位，則該校閱讀過《西遊記》的學生人數與該校學生總數比值的估計值為
a．0.5 b．0.6 c．0.7 d．0.8
4．（1+2x2 ）（1+x）4的展開式中x3的係數為
a．12 b．16 c．20 d．24
5．已知各項均為正數的等比數列的前4項為和為15，且a5=3a3+4a1，則a3=
a． 16 b． 8 c．4 d． 2
6．已知曲線在點（1，ae）處的切線方程為y=2x+b，則
a． b．a=e，b=1 c． d．，
7．函式在的圖象大致為
a．b．c．d．
8．如圖，點n為正方形abcd的中心，△ecd為正三角形，平面ecd⊥平面abcd，m是線段ed的中點，則
a．bm=en，且直線bm、en是相交直線 b．bm≠en，且直線bm，en是相交直線
c．bm=en，且直線bm、en是異面直線 d．bm≠en，且直線bm，en是異面直線
9．執行下邊的程式框圖，如果輸入的為0.01，則輸出的值等於
abcd.
10．雙曲線c： =1的右焦點為f，點p在c的一條漸進線上，o為座標原點，若，則△pfo的面積為
a． b． c． d．
11．設是定義域為r的偶函式，且在單調遞減，則
a．（log3b．（log3）＞（）＞（）
c．（）＞（）＞（log3） d．（）＞（）＞（log3）
12．設函式=sin（）(＞0)，已知在有且僅有5個零點，下述四個結論：
①在（）有且僅有3個極大值點；②在（）有且僅有2個極小值點
③在（）單調遞增；④的取值範圍是[) 其中所有正確結論的編號是（ ）
a．①④ b．②③ c．①②③ d．①③④
二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。
13．已知a，b為單位向量，且a·b=0，若，則
14．記sn為等差數列的前n項和，，則________.
15．設為橢圓c:的兩個焦點，m為c上一點且在第一象限.若為等腰三角形，則m的座標為
16．學生到工廠勞動實踐，利用3d列印技術製作模型.如圖，該模型為長方體挖去四稜錐o—efgh後所得幾何體，其中o為長方體的中心，e，f，g，h分別為所在稜的中點，，3d列印所用原料密度為0.9 g/cm3，不考慮列印損耗，製作該模型所需原料的質量為
三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。第17~21題為必考題，每個試題考生都必須作答。第22、23題為選考題，考生根據要求作答。
（一）必考題：共60分。
17．（12分）為了解甲、乙兩種離子在小鼠體內的殘留程度，進行如下試驗：將200只小鼠隨機分成a、b兩組，每組100只，其中a組小鼠給服甲離子溶液，b組小鼠給服乙離子溶液，每組小鼠給服的溶液體積相同、摩爾濃度相同．經過一段時間後用某種科學方法測算出殘留在小鼠體內離子的百分比.根據試驗資料分別得到如下直方圖：
記c為事件：「乙離子殘留在體內的百分比不低於5.5」，根據直方圖得到p（c）的估計值為0.
70．（1）求乙離子殘留百分比直方圖中a，b的值；（2）分別估計甲、乙離子殘留百分比的平均值（同一組中的資料用該組區間的中點值為代表）．
18. （12分）的內角，，所對邊分別為，，.已知,(1)求；
（2）若為銳角三角形，且，求面積的取值範圍。
19. （12分）圖1是由矩形，和菱形組成的乙個平面圖形，其中
將其沿折起使得與重合，鏈結,如圖2.（1）證明：圖2中的四點共面，且平面平面;（2）求圖2的二面角的大小。
20. （12分）已知函式（1）討論的單調性；（2）是否存在，使得在區間的最小值為-1,且最大值為1？若存在，求出的值；若不存在，說明理由。
21.（12分）已知曲線為直線上的動點，過作的兩條切線,切點分別為。（1）證明：直線過定點；（2）若以為圓心的圓與直線相切，且切點為線段的中點，求四邊形的面積。
（二）選考題：共10分。請考生在第22、23題中任選一題作答。如果多做，則按所做的第一題計分。
22．[選修4-4：座標系與引數方程]（10分）如圖，在極座標系中，,弧所在圓的圓心分別是，，，曲線是，曲線是，曲線是，（1）分別寫出，，的極座標方程；（2）曲線由，，構成，點在上，且，求的極座標。
23．[選修4-5：不等式選講]（10分）設且。（1）求的最小值；（2）成立，證明：或。
2023年普通高等學校招生全國統一考試(3卷)
理科數學參***
一、選擇題
1．a 2．d 3．c 4．a 5．c 6．d 7．b 8．b 9．c 10．a 11．c 12．d
二、填空題
13． 14．4 15． 16．118.8
三、解答題
17．解：（1）由已知得0.70=a+0.20+0.15，故a=0.35．b=1–0.05–0.15–0.70=0.10．
（2）甲離子殘留百分比的平均值的估計值為2×0.15+3×0.20+4×0.30+5×0.20+6×0.10+7×0.05=4.05．
乙離子殘留百分比的平均值的估計值為3×0.05+4×0.10+5×0.15+6×0.35+7×0.20+8×0.15=6.00．
18．解：（1）由題設及正弦定理得．
因為sina0，所以．由，可得，
故．因為，故，因此b=60°．
（2）由題設及（1）知△abc的面積．
由正弦定理得．
由於△abc為銳角三角形，故0°由（1）知a+c=120°，所以30°因此，△abc面積的取值範圍是．
19．解：（1）由已知得adbe，cgbe，所以adcg，故ad，cg確定乙個平面，從而a，c，g，d四點共面．
由已知得abbe，abbc，故ab平面bcge．又因為ab平面abc，所以平面abc平面bcge．
（2）作ehbc，垂足為h．因為eh平面bcge，平面bcge平面abc，所以eh平面abc．
由已知，菱形bcge的邊長為2，∠ebc=60°，可求得bh=1，eh=．
以h為座標原點，的方向為x軸的正方向，建立如圖所示的空間直角座標系h–xyz，
則a（–1，1，0），c（1，0，0），g（2，0，），=（1，0，），=（2，–1，0）．
設平面acgd的法向量為n=（x，y，z），則即所以可取n=（3，6，–）．
又平面bcge的法向量可取為m=（0，1，0），所以．
因此二面角b–cg–a的大小為30°．
20. 解：（1）．令，得x=0或.
若a>0，則當時，；當時，．故在單調遞增，在單調遞減；
若a=0，在單調遞增；
若a<0，則當時，；當時，．故在單調遞增，在單調遞減.
（2）滿足題設條件的a，b存在.
（i）當a≤0時，由（1）知，在[0，1]單調遞增，所以在區間[0，l]的最小值為，最大值為.此時a，b滿足題設條件當且僅當，，即a=0，．
（ii）當a≥3時，由（1）知，在[0，1]單調遞減，所以在區間[0，1]的最大值為，最小值為．此時a，b滿足題設條件當且僅當，b=1，即a=4，b=1．
（iii）當0若，b=1，則，與0若，，則或或a=0，與0綜上，當且僅當a=0，或a=4，b=1時，在[0，1]的最小值為–1，最大值為1．
21．解：（1）設，則.
由於，所以切線da的斜率為，故.整理得
設，同理可得.故直線ab的方程為.
所以直線ab過定點.
（2）由（1）得直線ab的方程為.由，可得.
於是，.
設分別為點d，e到直線ab的距離，則.
因此，四邊形adbe的面積.
設m為線段ab的中點，則.
由於，而，與向量平行，所以.解得t=0或.
當=0時，s=3；當時，.因此，四邊形adbe的面積為3或.
22.解：（1）由題設可得，弧所在圓的極座標方程分別為，，.
所以的極座標方程為，的極座標方程為，的極座標方程為.
（2）設，由題設及（1）知
若，則，解得；
若，則，解得或；
若，則，解得.
綜上，p的極座標為或或或.
23．解：（1）由於
，故由已知得，當且僅當x=，y=–，時等號成立．
所以的最小值為.
（2）由於
，故由已知，
當且僅當，，時等號成立．
因此的最小值為．
由題設知，解得或．
希望您提出您寶貴的意見，你的意見是我進步的動力。贈語； 1、如果我們做與不做都會有人笑，如果做不好與做得好還會有人笑，那麼我們索性就做得更好，來給人笑吧！ 2、現在你不玩命的學，以後命玩你。
3、我不知道年少輕狂，我只知道勝者為王。4、不要做金錢、權利的奴隸；應學會做「金錢、權利」的主人。5、什麼時候離光明最近？
那就是你覺得黑暗太黑的時候。6、最值得欣賞的風景，是自己奮鬥的足跡。7、壓力不是有人比你努力，而是那些比你牛×幾倍的人依然比你努力。
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