2023年全國各省市高考理科數學
試題分類彙編：數列
1.(安徽理科第18題，文科第21題）在數1和100之間插入個實數，使得這個數構成遞增的等比數列，將這個數的乘積記作，再令.
（ⅰ）求數列的通項公式；
（ⅱ）設求數列的前項和.
解：（1）設這個實數組成的數列為，
則，由等比數列的性質有
， ，而這個數構成遞增的等比數列，
（2）由可得：，所以
所以2(安徽文科第7題）若數列的通項公式是,則
（a） 15b) 12cd)
（7）a【命題意圖】本題考查數列求和.屬中等偏易題.
【解析】法一：分別求出前10項相加即可得出結論；
法二：，故.故選a.
3.（北京理科第11題）在等比數列中，，，則公比
解：可求得，，
4.（北京理科第20題）若數列滿足，數列為數列，記=.
（1）寫出乙個滿足，且的數列；
（2）若，n=2000，證明：e數列是遞增數列的充要條件是=2011；
（3）對任意給定的整數n（n≥2），是否存在首項為0的e數列，使得=0？如果存在，寫出乙個滿足條件的e數列；如果不存在，說明理由。
解；（1）可以用樹圖結構寫出滿足條件的數列，答案不唯一，如：等都是符合條件的數列。
（2）必要性：因為e數列是遞增數列，所以，故是首項為12，公差為1的等差數列，
充分性：由已知條件得：
以上各式相加得：，又=2011，故以上各等號同時成立。
故，從而數列為遞增數列。
（3）令，以上各式相加得：
，因為，為偶數， 為偶數
=0則必須為偶數，即是4的倍數，或
當時，數列滿足條件，當時，
數列滿足條件，當時，滿足條件的數列不存在。
5.（北京文科12）在等比數列中，若則公比
答案：6.（北京文科20）若數列滿足，則稱為數列。記。
（1）寫出乙個數列滿足；
（2）若，證明：數列是遞增數列的充要條件是；
（3）在的數列中，求使得成立的的最小值
解：（1）0,1,0,1,0；0，-1,0,1,0等，答案不唯一。
（2）必要性：因為e數列是遞增數列，所以，故是首項為12，公差為1的等差數列，
充分性：由已知條件得：
以上各式相加得：，又=2011，故以上各等號同時成立。
故，從而數列為遞增數列。
（3），
其中，因此對的數列中使得的
而數列符合題意，故的最小值為9.
7.（福建文科17）已知等差數列中，
（i）求數列的通項公式；
（ii）若數列的前k項和，求k的值.
解：（1）；（2）。
8.（廣東11）等差數列前9項的和等於前4項的和．若，，則
方法1：由得，求得，則，解得
方法2：由得，即，，即，即
9.（廣東文科11）已知是遞增等比數列，, ,則此數列的公比
解：，即，又數列為遞增數列，
（舍）10.（湖北理科13）《九章算術》「竹九節」問題：現有一根9節的竹子，自上而下各節
的容積成等差數列，上面4節的容積共3公升，下面3節的容積共4公升，則第5節的容積
為公升.【答案】
解析：設該數列的首項為，公差為，依題意
，即，解得，
則，所以應該填.
11.（湖北理科19）已知數列的前項和為，且滿足： ， n*，.
（ⅰ）求數列的通項公式；
（ⅱ）若存在，使得，，成等差數列，試判斷：對於任意的，且，，，是否成等差數列，並證明你的結論.
解：（1）由已知可得：，兩式相減可得：
即，又，所以當時，數列為，當
時，由已知，，，成等比數列
時，，數列的通項公式為
（2）對於任意的，且，，，成等差數列，證明如下：
由(1)知，當時，數列為，結論顯然成立，當時，
，由，，成等差數列知，
，化簡得：，即
而，，此時時，
，即成等差數列。
12.（湖北文科9）《九章算術》「竹九節」問題：現有一根9節的竹子，自上而下各節的容積成等差數列，上面4節的容積共3公升，下面3節的容積共4公升，則第五節的容積為
a.1公升 b.公升 c.公升 d.公升
答案：b
13.（湖北文科17）成等差數列的三個正數的和等於15，並且這三個數分別加上2、5、13後成為等比數列中的、、。
(i) 求數列的通項公式；
(ii) 數列的前n項和為，求證：數列是等比數列。
解：（1）設成等差數列的三個數分別是，依題意得
，解得，則數列的分別是， ，它們成等比數列，則，化簡得：，解得：或，
數列為正數數列，，的分別是，公比為
（2）數列是以為首項，為公比的等比數列，其前項和為
，，所以數列是等比數列。
14.（湖南理科12）設是等差數列的前項和，且，則
答案：25
解析：由可得，所以。
15.（湖南文科20）某企業在第1年初購買一台價值為120萬元的裝置m，m的價值在使用過程中逐年減少，從第2年到第6年，每年初m的價值比上年初減少10萬元；從第7年開始，每年初m的價值為上年初的75%．
（i）求第n年初m的價值的表示式；
（ii）設若大於80萬元，則m繼續使用，否則須在第n年初對m更新，證明：須在第9年初對m更新．
解析：（i）當時，數列是首項為120，公差為的等差數列．
當時，數列是以為首項，公比為為等比數列，又，所以
因此，第年初，m的價值的表示式為。
(ii)設表示數列的前項和，由等差及等比數列的求和公式得
當時，當時，
因為是遞減數列，所以是遞減數列，又
所以須在第9年初對m更新．
16.（江西理科5）已知數列的前項和滿足:,且,那麼( )
a. 1b. 9c. 10d. 55
答案：a 解析： 令，則，是等差數列，則有
， 17.（江西理科18）已知兩個等比數列，，滿足
.（1）若=1，求數列的通項公式；
（2）若數列唯一，求的值.
.解：（1）當時，，又為等比數列，不妨設公比為，由等比數列性質知：，同時又有所以：
（2）要唯一，當公比時，由
且，(*)
， 恆成立，
此時(*)式有兩個不同的實數解，若要使（*）式符合條件的解只有乙個，則方程必有乙個根為零，當公比時，。等比數列首項為，此時。
綜上：。
18.（四川理科8）數列的首項為，為等差數列且.若則，，則
a）0b）3c）8d）11
答案：b
解析：為等差數列，設公差為，則，
19.（四川理科20）設為非零實數，
(1)寫出並判斷是否為等比數列。若是，給出證明；若不是，說明理由；
(2)設，求數列的前項和．
解析：（1）
當時，其中，將上式代入中得：
，當時，上式對也成立，且，
此時，數列是以為首項，為公比的等比數列；
當時，，時，，不是等比數列。
（2）當時，，當時，，此時數列的前項和。
當時，，
式乘以得:
式得：綜合以上兩種情況可得：
20.（四川文科9）數列的前項和為，若，（），則
（abcd）
答案：a
解析：由，得（），相減得=3= 3，
則（n≥2），而，，則，選a．
21.（四川文科20）已知是以a為首項，q為公比的等比數列，為它的前n項和．
（1）當、、成等差數列時，求q的值；
（2）當、、成等差數列時，求證：對任意自然數k，、、也成等差數列．
本小題考查等比數列和等差數列的基礎知識以及基本運算能力和分析問題、解決問題的能力．
解：（1）由已知，，因此，，．
當、、成等差數列時，，可得．
．解得．
（2）若，則的每項，此時、、顯然成等差數列．
若，由、、成等差數列可得，即．
整理得．因此，．
所以，、、也成等差數列．
22.（江西文科5）.設為等差數列，公差，為其前項和.若，則=（ ）
a.18b.20c.22d.24
答案：b 解析：,則，
23（江西文科21）(本小題滿分14分）
（1）已知兩個等比數列，滿足，
若數列唯一，求的值；
（2）是否存在兩個等比數列，使得成公差為
的等差數列？若存在，求的通項公式；若存在，說明理由．
解：（1）是等比數列，設公比為，時，由
且，，，又，
若數列唯一，則方程必有一根為，此時可推得。
（2）假設存在這樣的等比數列的公比分別為，則
第一式乘以減去第二式：整理得，又或
當時，由以上一式得：或，此時是常數列，公差為；
當時，代入一式得：或，此時
不符合題意，所以不存在兩個等比數列，使得成公差不為的等差數列。
24.（浙江理科19）已知公差不為0的等差數列的首項為(),設數列的前項和為，且，，成等比數列。
（1）求數列的通項公式及
（2）記，，當時，試比較與的大小.
解：（1）設數列的公差為，則由已知，成等比數列，
，所以，化簡得：
而，所以，，。
（2）由（1）知，則
，，當時，，
所以，故當時，，當時，。
25（浙江文科17）若數列中的最大項是第項，則
【答案】4
【解析】設最大項為第項，則有，
∴.26（浙江文科19）（本題滿分14分）已知公差不為0的等差數列的首項且成等比數列。
（ⅰ）求數列的通項公式；
（ⅱ）對，試比較與的大小。
解：（1）設數列的公差為，則由已知，成等比數列，
，所以，化簡得：
而，所以，
（2）由，則
(1)當時，;
(2)當時，
26（山東理20）等比數列中，分別是下表第
一、二、三行中的某乙個數，且中的任何兩個數不在下表的同一列.
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