文科數學
一、選擇題
1．i為虛數單位，（ ）
a．ib．-i
c．1d．-1
2．我國古代數學名著《九章算術》有「公尺穀粒分」題：糧倉開倉收糧，有人送來公尺1534石，驗得公尺內夾谷，抽樣取公尺一把，數得254粒內夾谷28粒，則這批公尺內夾谷約為（ ）
a．134石
b．169石
c．338石
d．1365石
3．命題「」的否定是（ ）
a． b．
c． d．
4．已知變數x和y滿足關係，變數y與z正相關，下列結論中正確的是（ ）
a．x與y正相關，x與z負相關
b．x與y正相關，x與z正相關
c．x與y負相關，x與z負相關
d．x與y負相關，x與z正相關
5．表示空間中的兩條直線，若p：是異面直線，q：不相交，則（ ）
a．p是q的充分條件，但不是q的必要條件
b．p是q的必要條件，但不是q的充分條件
c．p是q的充分必要條件
d．p既不是q的充分條件，也不是q的必要條件
6．函式的定義域為（ ）
a． b．
c． d．
7．設，定義符號函式，則（ ）
a． b．
c． d．
8．在區間上隨機取兩個數x，y，記為事件「」的概率，為事件「」的概率，則（ ）
a． b．
c． d．
9．將離心率為的雙曲線的實半軸長a和虛半軸長b同時增加m個單位長度，得到離心率為的雙曲線，則（ ）
a．對任意的a，b，
b．當時，；當時，
c．對任意的a，b，
d．當時，；當時，
10．已知集合，，定義集合，則中元素的個數為（ ）
a．77
b．49
c．45
d．30
11．已知向量，，則 。
12．設變數x，y滿足約束條件，則的最大值為 。
13．函式的零點個數為 。
14．某電子商務公司對10000名網路購物者2023年度的消費情況進行統計，發現消費金額（單位：萬元）都在區間內，其頻率分布直方圖如圖所示
（1）直方圖中的a= 。
（2）在這些購物者中，消費金額在區間內的購物者的人數為 。
15．如圖，一輛汽車在一條水平的公路上向正西行駛，到a處時測得公路北側一山頂d在西偏北的方向上，行駛600m後到達b處，測得此山頂在西偏北的方向上，仰角為，則此山的高度cd= m.
16.如圖，已知圓c與x軸相切於點，與y軸正半軸交於兩點a，b（b在a的上方），且
（1）圓c的標準方程為 。
（2）圓c在點b處切線在x軸上的截距為 。
17．a為實數，函式在區間上的最大值記為. 當時，的值最小。
三、解答題
18．某同學將「五點法」畫函式（，）在某乙個時期內的影象時，列表並填入部分資料，如下表：
（ⅰ）請將上述資料補充完整，填寫在答題卡上相應位置，並直接寫出函式的解析式；
（ⅱ）將影象上所有點向左平移個單位長度，得到影象，求的影象離原點最近的對稱中心。
19.設等差數列的公差為d，前n項和為 ，等比數列的公比為q，已知 = - =2，q=d， =100.
（ⅰ）求數列 ， 的通項公式
（ⅱ）當d>1時，記 = ，求數列的前n項和。
20．《九章算術》中，將底面為長方形且有一條側稜與底面垂直的四稜錐稱之為陽馬，將四個面都為直角三角形的四面體稱之為鱉臑。在如圖所示的陽馬p-abcd中，側稜pd⊥底面abcd，且pd=cd，點e是pc的中點，連線de、bd、be。
（ⅰ）證明：de⊥平面pbc.試判斷四面體ebcd是否為鱉臑。若是，寫出其每個面的直角（只需寫出結論）；若不是，請說明理由；
（ⅱ）記陽馬p-abcd的體積為 ，四面體ebcd的體積為 ，求的值
21．設函式f(x)，g(x)的定義域均為r，且f(x)是奇函式，g(x)是偶函式，，其中e為自然對數的底數。
（ⅰ）求的解析式，並證明：當；
（ⅱ）設，證明：當時，
22．一種畫橢圓的工具如圖1所示0是滑槽的中點，短桿可繞o轉動，長桿通過n鉸鏈on連線，mn上的栓子d可沿滑槽ab滑動，且dn=on=1，mn=3，當栓子d在滑槽ab內作往復運動時，帶動n繞o轉動，m處的筆尖畫出的橢圓記為c，以o為原點，ab所在的直線為x軸建立如圖2所示的平面直角座標系。
（ⅰ）求橢圓c的方程；
（ⅱ）設動直線l與兩定直線 ：x+2y=0分別交於p，q兩點.若直線l總與橢圓c有且只有乙個公共點，試**：
三角形opq的面積是否存在最小值？若存在，求出該最小值；若不存在，說明理由。
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