2023年普通高等學校招生全國統一考試(福建卷)
數學（文史類）
第ⅰ卷（選擇題共60分）
一、選擇題：本大題共12小題，每小題5分，共60分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.
1．設集合u=，a=，b=，則 （a∩b）等於（ ）
a． b． c． d．
2．的值是
a．2 b．2c．4 d．
3．命題p：若a、b∈r，則|a|+|b|>1是|a+b|>1的充要條件；
命題q：函式y=的定義域是（－∞，－1∪[3，+∞.則
a．「p或q」為假 b．「p且q」為真
c．p真q假d．p假q真
4．已知f1、f2是橢圓的兩個焦點，過f1且與橢圓長軸垂直的直線交橢圓於a、b兩點，若△abf2是正三角形，則這個橢圓的離心率是
a． b． cd．
5．設sn是等差數列的前n項和，若
a．1 b．－1 c．2 d．
6．已知m、n是不重合的直線，α、β是不重合的平面，有下列命題：
①若mα，n∥α，則m∥n若m∥α，m∥β，則α∥β；
③若α∩β=n，m∥n，則m∥α且m∥β； ④若m⊥α，m⊥β，則α∥β.
其中真命題的個數是
a．0b．1c．2d．3
7．已知函式y=log2x的反函式是y=f—1(x)，則函式y= f—1(1－x)的圖象是
8．已知a、b是非零向量且滿足(a－2b) ⊥a，(b－2a) ⊥b，則a與b的夾角是
abcd．
9．已知展開式中常數項為1120，其中實數a是常數，則展開式中各項係數的和是
a．28 b．38 c．1或38 d．1或28
10．如圖，a、b、c是表面積為48π的球面上三點，
ab=2，bc=4，∠abc=60，o為球心，則直線
oa與截面abc所成的角是（ ）
a．arcsin b．arccos
c．arcsin d．arccos
11．定義在r上的偶函式f(x)滿足f(x)=f(x+2)，當x∈[3，4]時，f(x)= x－2，則
a．f(sin)f(cos)
c．f(sin1)f(cos)
12．如圖，b地在a地的正東方向4 km處，c
地在b地的北偏東30°方向2 km處，河流
的沿岸pq（曲線）上任意一點到a的距離
比到b的距離遠2km，現要在曲線pq上任
意選一處m建一座碼頭，向b、c兩地轉運
貨物，經測算，從m到b、c兩地修建公路
的費用都是a萬元/km、那麼修建這兩條公路
的總費用最低是（ ）
a．(+1)a萬元 b．(2－2) a萬元
c．2a萬元 d．(－1) a萬元
第ⅱ卷（非選擇題共90分）
二、填空題：本大題共4小題，每小題4分，共16分，把答案填在答題卡的相應位置.
13．直線x+2y=0被曲線x2+y2－6x－2y－15=0所截得的弦長等於
14．設函式則實數a的取值範圍是
15．乙個總體中有100個個體，隨機編號0，1，2，…，99，依編號順序平均分成10個小組，組號依次為1，2，3，…，10.現用系統抽樣方法抽取乙個容量為10的樣本，規定如果在第1組隨機抽取的號碼為m，那麼在第k組中抽取的號碼個位數字與m+k的個位數字相同，若m=6，則在第7組中抽取的號碼是
16．圖1，將邊長為1的正六邊形鐵皮的六個角各切去乙個全等的四邊形，再沿虛線折起，做成乙個無蓋的正六稜柱容器（圖2）.當這個正六稜柱容器的底面邊長為時，其容積最大.
三、解答題：本大題共6小題，共74分.解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟.
17．（本小題滿分12分）
設函式f(x)=a·b，其中向量a=(2cosx，1)，b=(cosx，sin2x)，x∈r.
（ⅰ）若f(x)=1－且x∈[－，]，求x；
（ⅱ）若函式y=2sin2x的圖象按向量c=(m，n)(|m|<)平移後得到函式y=f(x)的圖象，求實數m、n的值.
18．（本小題滿分12分）
甲、乙兩人參加一次英語口語考試，已知在備選的10道試題中，甲能答對其中的6題，乙能答對其中的8題.規定每次考試都從備選題中隨機抽出3題進行測試，至少答對2題才算合格.
（ⅰ）分別求甲、乙兩人考試合格的概率；
（ⅱ）求甲、乙兩人至少有一人考試合格的概率.
19．（本小題滿分12分）
在三稜錐s—abc中，△abc是邊長為4的正三角形，平面sac⊥平面abc，sa=sc=2，m為ab的中點.
（ⅰ）證明：ac⊥sb；
（ⅱ）求二面角n—cm—b的大小；
（ⅲ）求點b到平面scm的距離.
20．（本小題滿分12分）
某企業2023年的純利潤為500萬元，因裝置老化等原因，企業的生產能力將逐年下降.若不能進行技術改造，**從今年起每年比上一年純利潤減少20萬元，今年初該企業一次性投入資金600萬元進行技術改造，**在未扣除技術改造資金的情況下，第n年（今年為第一年）的利潤為500(1+)萬元（n為正整數）.
（ⅰ）設從今年起的前n年，若該企業不進行技術改造的累計純利潤為an萬元，進行技術改造後的累計純利潤為bn萬元（須扣除技術改造資金），求an、bn的表示式；
（ⅱ）依上述**，從今年起該企業至少經過多少年，進行技術改造後的累計純利潤超過不進行技術改造的累計純利潤？
21．（本小題滿分12分）
如圖，p是拋物線c：y=x2上一點，直線l過點p並與拋物線c在點p的切線垂直，l與拋物線c相交於另一點q.
（ⅰ）當點p的橫座標為2時，求直線l的方程；
（ⅱ）當點p在拋物線c上移動時，求線段pq中點m的軌跡方程，並求點m到x軸的最短距離.
22．（本小題滿分14分）
已知f(x)=在區間[－1，1]上是增函式.
（ⅰ）求實數a的值組成的集合a；
（ⅱ）設關於x的方程f(x)=的兩個非零實根為x1、x2.試問：是否存在實數m，使得不等式m2+tm+1≥|x1－x2|對任意a∈a及t∈[－1，1]恆成立？
若存在，求m的取值範圍；若不存在，請說明理由.
2023年普通高等學校招生全國統一考試
數學答案（文史類）（福建卷）
一、二、13．4 14.（－∞，－1） 15.63 16.2/3
三、17. 本小題主要考查平面向量的概念和計算，三角函式的恒等變換及其圖象變換的基本技能，考查運算能力.滿分12分.
解：（ⅰ）依題設，f(x)=2cos2x+sin2x=1+2sin(2x+).
由1+2sin(2x+)=1－，得sin(2x+)=－.
∵－≤x≤，∴－≤2x+≤，∴2x+=－，
即x=－.
（ⅱ）函式y=2sin2x的圖象按向量c=(m，n)平移後得到函式y=2sin2(x－m)+n的圖象，即函式y=f(x)的圖象.
由（ⅰ）得 f(x)=2sin2(x+)+1. ∵|m|<，∴m=－，n=1.
18.本小題主要考查概率統計的基礎知識，運用數學知識解決問題的能力.滿分12分.
解：（ⅰ）設甲、乙兩人考試合格的事件分別為a、b，則
p(a)===， p(b)===.
答：甲、乙兩人考試合格的概率分別為
（ⅱ）解法
一、因為事件a、b相互獨立，所以甲、乙兩人考試均不合格的概率為
p()=p()p()=（1－)(1－)=.
∴甲、乙兩人至少有一人考試合格的概率為
p=1－p()=1－=.
答：甲、乙兩人至少有一人考試合格的概率為.
解法二：因為事件a、b相互獨立，所以甲、乙兩人至少有一人考試合格的概率為
p=p(a·)+p(·b)+p(a·b)=p(a)p()+p()p(b)+p(a)p(b)
=×+×+×=.
答：甲、乙兩人至少有一人考試合格的概率為.
19.本小題主要考查直線與直線，直線與平面，二面角，點到平面的距離等基礎知識，考查空間想象能力和邏輯推理能力.滿分12分.
解法一：（ⅰ）取ac中點d，鏈結ds、db.
∵sa=sc，ba=bc，
∴ac⊥sd且ac⊥db，
∴ac⊥平面sdb，又sb平面sdb，
∴ac⊥sb.
（ⅱ）∵sd⊥ac，平面sac⊥平面abc，
∴sd⊥平面abc.
過d作de⊥cm於e，鏈結se，則se⊥cm，
∴∠sed為二面角s－cm－a的平面角.
由已知有，所以de=1，又sa=sc=2，ac=4，∴sd=2.
在rt△sde中，tan∠sed==2，
∴二面角s－cm—a的大小為arctan2.
（ⅲ）在rt△sde中，se=，cm是邊長為4 正△abc的中線，
. ∴s△scm=cm·se=，
設點b到平面scm的距離為h，
由vb-scm=vs-cmb，sd⊥平面abc， 得s△scm·h=s△cmb·sd，
∴h= 即點b到平面scm的距離為
解法二：（ⅰ）取ac中點o，鏈結os、ob.
∵sa=sc，ba=bc，
∴ac⊥so且ac⊥bo.
∵平面sac⊥平面abc，平面sac∩平面abc=ac
∴so⊥面abc，∴so⊥bo.
如圖所示建立空間直角座標系o－xyz.
則a（2，0，0），c（－2，0，0），
s（0，0，2），b（0，2，0）.
∴=（－4，0，0），=（0，－2，2），
∵·=（－4，0，0）·（0，－2，2）=0，
∴ac⊥bs.
（ⅱ）由（ⅰ）得m（1，，0），，
=（2，0，2）. 設n=（x，y，z）為平面scm的乙個法向量，
則 ∴n=(－1，，1)， 又=(0，0，2)為平面abc的乙個法向量，
∴cos(n，)==
∴二面角s－cm－a的大小為arccos
2023年高考 福建卷 文科數學
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