2023年普通高等學校招生全國統一考試
文科數學
注意事項：
1．答卷前，考生務必將自己的姓名、准考證號填寫在答題卡上。
2．回答選擇題時，選出每小題答案後，用鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號塗黑。如需改動，用橡皮擦乾淨後，再選塗其它答案標號，回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上，寫在本試卷上無效。
3．考試結束後，將本試卷和答案卡一併交回。
一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。
1．已知集合，，則
a． b． c． d．
2． a． b． c． d．
3．中國古建築借助榫卯將木構件連線起來，構件的凸出部分叫棒頭，凹進部分叫卯眼，圖中木構件右邊的小長方體是棒頭．若如圖擺放的木構件與某一帶卯眼的木構件咬合成長方體，則咬合時帶卯眼的木構件的俯檢視可以是
4．若，則
a． b． c． d．
5．若某群體中的成員只用現金支付的概率為0.45，既用現金支付也用非現金支付的概率為0.15，則不用現金支付的概率為
a．0.3 b．0.4 c．0.6 d．0.7
6．函式的最小正週期為
a． b． c． d．2
7．下列函式中，其影象與函式的影象關於直線對稱的是
a． b． c． d．
8．直線分別與軸，軸交於，兩點，點在圓上，則面積的取值範圍是
a． b． c． d．
9．函式的影象大致為
10．已知雙曲線（）的離心率為，則點到的漸近線的距離為
a． b． c． d．
11．的內角，，的對邊分別為，，．若的面積為，則
a． b． c． d．
12．設，，，是同乙個半徑為4的球的球面上四點，為等邊三角形且其面積為，則三稜錐體積的最大值為
a． b． c． d．
二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。
13．已知向量，，．若，則________．
14．某公司有大量客戶，且不同齡段客戶對其服務的評價有較大差異．為了解客戶的評價，該公司準備進行抽樣調查，可供選擇的抽樣方法有簡單隨機抽樣、分層抽樣和系統抽樣，則最合適的抽樣方法是________．
15．若變數滿足約束條件則的最大值是________．
16．已知函式，，則________．
三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。第17～21題為必考題，每個試題考生都必須作答。第22、23為選考題。考生根據要求作答。
17．（12分）
等比數列中，．
（1）求的通項公式；
（2）記為的前項和．若，求．
18．（12分）
某工廠為提高生產效率，開展技術創新活動，提出了完成某項生產任務的兩種新的生產方式．為比較兩種生產方式的效率，選取40名工人，將他們隨機分成兩組，每組20人，第一組工人用第一種生產方式，第二組工人用第二種生產方式．根據工人完成生產任務的工作時間（單位：min）繪製了如下莖葉圖：
（1）根據莖葉圖判斷哪種生產方式的效率更高？並說明理由；
（2）求40名工人完成生產任務所需時間的中位數，並將完成生產任務所需時間超過和不超過的工人數填入下面的列聯表：
（3）根據（2）中的列表，能否有99%的把握認為兩種生產方式的效率有差異？
附：，．
19．（12分）
如圖，矩形所在平面與半圓弧所在平面垂直，是上異於，的點．
（1）證明：平面平面；
（2）**段上是否存在點，使得平面？說明理由．
20．（12分）
已知斜率為的直線與橢圓交於，兩點．線段的中點為．
（1）證明：；
（2）設為的右焦點，為上一點,且．證明： ．
21．（12分）
已知函式．
（1）求由線在點處的切線方程；
（2）證明：當時，．
（二）選考題：共10分。請考生在第22、23題中任選一題作答。如果多做，則按所做的第一題計分。
22．[選修4—4：座標系與引數方程]（10分）
在平面直角座標系中，的引數方程為（為引數），過點且傾斜角為的直線與交於兩點．
（1）求的取值範圍；
（2）求中點的軌跡的引數方程．
23．[選修4—5：不等式選講]（10分）
設函式．
（1）畫出的影象；
（2）當，，求的最小值．
絕密★啟用前
2023年普通高等學校招生全國統一考試
文科數學試題參***
一、選擇題
1．c 2．d 3．a 4．b 5．b 6．c
7．b 8．a 9．d 10．d 11．c 12．b
二、填空題
13． 14．分層抽樣 15．3 16．
三、解答題
17．解：
（1）設的公比為，由題設得．
由已知得，解得（捨去），或．
故或．（2）若，則．由得，此方程沒有正整數解．
若，則．由得，解得．
綜上，．
18．解：
（1）第二種生產方式的效率更高．理由如下：
（i）由莖葉圖可知：用第一種生產方式的工人中，有75%的工人完成生產任務所需時間至少80分鐘，用第二種生產方式的工人中，有75%的工人完成生產任務所需時間至多79分鐘．因此第二種生產方式的效率更高．
（ii）由莖葉圖可知：用第一種生產方式的工人完成生產任務所需時間的中位數為85.5分鐘，用第二種生產方式的工人完成生產任務所需時間的中位數為73.
5分鐘．因此第二種生產方式的效率更高．
（iii）由莖葉圖可知：用第一種生產方式的工人完成生產任務平均所需時間高於80分鐘；用第二種生產方式的工人完成生產任務平均所需時間低於80分鐘，因此第二種生產方式的效率更高．
（iv）由莖葉圖可知：用第一種生產方式的工人完成生產任務所需時間分布在莖8上的最多，關於莖8大致呈對稱分布；用第二種生產方式的工人完成生產任務所需時間分布在莖7上的最多，關於莖7大致呈對稱分布，又用兩種生產方式的工人完成生產任務所需時間分布的區間相同，故可以認為用第二種生產方式完成生產任務所需的時間比用第一種生產方式完成生產任務所需的時間更少，因此第二種生產方式的效率更高．
以上給出了4種理由，考生答出其中任意一種或其他合理理由均可得分．
（2）由莖葉圖知．
列聯表如下：
（3）由於，所以有99%的把握認為兩種生產方式的效率有差異．
19．解：
（1）由題設知，平面cmd⊥平面abcd，交線為cd．
因為bc⊥cd，bc平面abcd，所以bc⊥平面cmd，故bc⊥dm．
因為m為上異於c，d的點，且dc為直徑，所以dm⊥cm．
又bc∩cm=c，所以dm⊥平面bmc．
而dm平面amd，故平面amd⊥平面bmc．
（2）當p為am的中點時，mc∥平面pbd．
證明如下：鏈結ac交bd於o．因為abcd為矩形，所以o為ac中點．
鏈結op，因為p為am 中點，所以mc∥op．
mc平面pbd，op平面pbd，所以mc∥平面pbd．
20．解：
（1）設，，則，．
兩式相減，並由得．
由題設知，，於是．
由題設得，故．
（2）由題意得f（1，0）．設，則．
由（1）及題設得，．
又點p在c上，所以，從而，．
於是．同理．
所以．故．
21．解：
（1），．
因此曲線在點處的切線方程是．
（2）當時，．
令，則．
當時，，單調遞減；當時，，單調遞增；
所以．因此．
22．解：
（1）的直角座標方程為．
當時，與交於兩點．
當時，記，則的方程為．與交於兩點當且僅當，解得或，即或．
綜上，的取值範圍是．
（2）的引數方程為為引數， ．
設，，對應的引數分別為，，，則，且，滿足．
於是，．又點的座標滿足
所以點的軌跡的引數方程是為引數， ．
23．解：
（1）的影象如圖所示．
（2）由（1）知，的影象與軸交點的縱座標為，且各部分所在直線斜率的最大值為，故當且僅當且時，在成立，因此的最小值為．
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一 選擇題 每小題5分，共12小題，60分 1.設集合，則 abcd.2.設的實部與虛部相等，其中為實數，則 abcd.3.為美化環境，從紅 黃 白 紫4種顏色的花中任選2種花種在乙個花壇中，餘下的2種花種在另乙個花壇中，則紅色和紫色的花不在同一花壇的概率是 abcd.4.的內角的對邊分別為，已知，...