2023年普通高等學校招生全國統一考試
【福建卷】（文科數學）
本試卷分第ⅰ卷（選擇題）和第ⅱ卷（非選擇題）兩部分，第ⅰ卷第1至第2頁，第ⅱ卷第3頁至第4頁．全卷滿分150分，考試時間120分鐘．
第ⅰ卷（選擇題共60分）
一、選擇題：（每小題5分，共60分）
【2011福建文，1】1．若集合，，則等於( )．
a． b． c． d．
【答案】a．
【解析】．故選a．
【2011福建文，2】2．是虛數單位，等於( )．
abcd．
【答案】d．
【解析】．故選d．
【2011福建文，3】3．若，則「」是「」的( )．
a．充分而不必要條件b．必要而不充分條件
c．充要條件d．既不充分又不必要條件
【答案】a．
【解析】當時，有．所以「」是「」的充分條件，
反之，當時，，所以「」不是「」的必要條件．故選a ．
【2011福建文，4】4．某校選修桌球課程的學生中，高一年級有30名，高二年級有40名。現用分層抽樣的方法在這70名學生中抽取乙個樣本，已知在高一年級的學生中抽取了6名，則在高二年級的學生中應抽取的人數為( )．
a．6b．8c．10d．12
【答案】b．
【解析】．故選b．
【2011福建文，5】5．閱讀右圖所示的程式框圖，執行相應的程式，輸出的結果是( )．
a．3b．11
c．38d．123
【答案】b．
【解析】執行相應的程式是：第一步：，
第二步：，輸出．故選b．
【2011福建文，6】6．若關於的方程有兩個不相等的實數根，則實數的取值範圍是( )．
a． b． c． d．
【答案】c．
【解析】因為關於的方程有兩個不相等的實數根，則
，解得或．故選ｃ．
【2011福建文，7】7．如圖，矩形abcd中，點為邊的中點，若在矩形abcd內部隨機取乙個點，則點取自內部的概率等於( )．
a． b． c． d．
【答案】c．
【解析】因為，則點取自內部的概率．故選c．
【2011福建文，8】8．已知函式．若，則實數的值等於( )．
abcd．
【答案】a．
【解析】因為，則由得，於是，．故選a．
【2011福建文，9】9．若，且，則的值等於( )．
abcd．
【答案】d．
【解析】 由得，
所以，即，，
因為，所以，於是，，
所以．故選d．
【2011福建文，10】10．若，且函式在處有極值，則的最大值等於( )．
a．2b．3c．6d．9
【答案】d．
【解析】 ，
因為在處有極值，則，於是，
因為，，當且僅當時，等號成立．
此時，因此是乙個極值點．
所以的最大值等於．故選d．
【2011福建文，11】11．設圓錐曲線的兩個焦點分別為，，若曲線上存在點滿足：： ，則曲線的離心率等於( )．
abcd．
【答案】a．
【解析】 因為，所以設，，．
若為橢圓，則所以．
若為雙曲線，則所以．故選a．
【2011福建文，12】12．在整數集中，被5除所得餘數為的所有整數組成乙個「類」，記為，即，．給出如下四個結論：
①；②；
③；④「整數，屬於同一「類」的充要條件是「」．
其中，正確結論的個數是
a．1b．2c．3d．4
【答案】c．
【解析】 ，所以①正確；
，所以②不正確；
，③正確；
若整數屬於同一「類」，則，，，
則，所以④正確．
由以上，①，③，④正確，故選c．
第ⅱ卷（非選擇題共90分）
二、填空題：（每小題4分，共16分）
【2011福建文，13】13．若向量，，則等於
【答案】 ．
【解析】 ．
【2011福建文，14】14．若的面積為，，，則邊的長度等於 ．
【答案】 2．
【解析】 ，
所以，又，，所以是等邊三角形，於是．
【2011福建文，15】15．如圖，正方體中，．點為的中點，點在上，若平面，則線段的長度等
於 ．
【答案】 ．
【解析】因為，，且平面與平面的交線為，
所以，又點為的中點，所以為的中位線，
所以，因為，為正方形，所以，所以．
【2011福建文，16】16．商家通常依據「樂觀係數準則」確定商品銷售**，即根據商品的最低銷售限價，最高銷售限價以及實數確定實際銷售**，這裡，被稱為樂觀係數.
經驗表明，最佳樂觀係數恰好使得是和的等比中項，據此可得，最佳樂觀係數的值等於
【答案】 ．
【解析】由得，
設，，．則．
由題設，，則，，
即，，於是，，
因為，所以．
三、解答題：（本大題共6小題，共74分）
【2011福建文，17】17．（本小題滿分12分）已知等差數列中，，．
(ⅰ) 求數列的通項公式；
(ⅱ) 若數列的前項和，求的值．
【解析】本小題主要考查等差數列的基礎知識，考查運算求解能力，考查函式與方程思想．
（ⅰ）設等差數列的公差，則，
由題設，，所以．
．（ⅱ）因為，
所以，解得或．
因為，所以．
【2011福建文，18】18．（本小題滿分12分）如圖，直線與拋物線相切於點．
(ⅰ) 求實數的值；
(ⅱ) 求以點為圓心，且與拋物線的準線相切的圓的方程．
【解析】本小題主要考查直線、圓、拋物線等基礎知識，考查運算求解能力，考查函式與方程思想、數形結合思想．
（ⅰ）解法1：由得，
因為直線與拋物線相切，所以，
解得．解法2：設切點，由得，
所以切線在點處的斜率為，因為切線的斜率為，則，，又在拋物線上，所以，
於是的座標為，因為在直線s上，所以，．
（ⅱ）由（ⅰ），，則由解得，於是的座標為，
設以點為圓心的圓的方程為，
拋物線的準線為，而圓與拋物線的準線相切．
則，所以圓的方程為．
【2011福建文，19】19．（本小題滿分12分）某日用品按行業質量標準分成五個等級，等級係數依次為1，2，3，4，5．現從一批該日用品中隨機抽取20件，對其等級係數進行統計分析，得到頻率分布表如下：
(ⅰ) 若所抽取的20件日用品中，等級係數為4的恰有3件，等級係數為5的恰有2件，求、、的值；
(ⅱ) 在(ⅰ)的條件下，將等級係數為4的3件日用品記為，等級係數為5的2件日用品記為，現從這5件日用品中任取兩件（假定每件日用品被取出的可能性相同），寫出所有可能的結果，並求這兩件日用品的等級係數恰好相等的概率．
【解析】本小題主要考查概率、統計等基礎知識，考查資料處理能力、運算求解能力、應用意
識，考查函式與方程思想、分類與整合思想、必然與或然思想．
（ⅰ）由頻率分布表得 ，即．
因為所抽取的件日用品中，等級係數為的恰有件，所以，
又因為所抽取的件日用品中，等級係數為的恰有件，所以，
於是．所以，，．
（ⅱ）從件日用品中任取兩件，所有可能的結果為：
，．所以所有可能的結果共個．
設事件表示「從這件日用品中任取兩件，等級係數恰好相等」則包含的事件為，共個，
所以所求的概率為．
【2011福建文，20】20．（本小題滿分12分）如圖，四稜錐p-abcd中，⊥底面，⊥，點**段上，且．
(ⅰ) 求證：⊥平面；
(ⅱ) 若pa=ab=1，ad=3，cd=，∠cda=45°，求四稜錐p-abcd的體積．
【解析】本小題主要考查直線與直線、直線與平面的位置關係，幾何體的體積等基礎知識；考查空間想象能力，推理論證能力，運算求解能力；考查數形結合思想，化歸與轉化思想．
（ⅰ）因為，，
所以．因為，，所以．又，
所以．（ⅱ）由（ⅰ），，
在中，，，
又因為，則，又，，
所以四邊形為矩形．四邊形為梯形．
因為，所以，，．
於是四稜錐的體積為．
【2011福建文，21】21．（本小題滿分12分）設函式，其中，角的頂點與座標原點重合，始邊與軸非負半軸重合，終邊經過點，且．
(ⅰ) 若點的座標為，求的值；
(ⅱ) 若點為平面區域：上的乙個動點，試確定角的取值範圍，並求函式的最小值和最大值．
【解析】本小題主要考查三角函式、不等式等基礎知識，考查運算求解能力、推理論證能力，考查函式與方程思想、數形結合思想、化歸與轉化思想．
（ⅰ）因為的座標為，則
．（ⅱ）作出平面區域，則為圖中的的區域，其中，，．因為，
所以．，則，
所以，．
所以當，即時，取得最大值，且最大值為；
當，即時，取得最小值，且最小值為．
【2011福建文，22】22．（本小題滿分14分）已知為常數，且，函式（e=2.71828…是自然對數的底數）．
(ⅰ) 求實數的值；
(ⅱ) 求函式的單調區間；
(ⅲ) 當時，是否同時存在實數和，使得對每乙個，直線與曲線都有公共點？若存在，求出最小的實數和最大的實數；若不存在，說明理由．
【解析】本小題主要考查函式、導數等基礎知識，考查推理論證能力、抽象概括能力、運算求解能力，考查函式與方程思想、數形結合思想、化歸與轉化思想、分類與整合思想．
(ⅰ) 由，得；
（ⅱ）由（ⅰ），．定義域為．
從而，因為，所以
(1) 當時，由得，由得；
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