2023年普通高等學校招生全國統一考試
【北京卷】（理科數學）
本試卷分第ⅰ卷（選擇題）和第ⅱ卷（非選擇題）兩部分，第ⅰ卷第1至第2頁，第ⅱ卷第3頁至第4頁．全卷滿分150分，考試時間120分鐘．
第ⅰ卷（選擇題共60分）
一、選擇題：（每小題5分，共40分）
【2011北京理，1】1．已知集合,.若,則的取值範圍是( )．
a． b． cd．
【答案】c．
【解析】 ，．
【2011北京理，2】2．複數 ( )．
abcd．
【答案】a．
【解析】 分母實數化，可求得．
【2011北京理，3】3．在極座標系中，圓的圓心的極座標系是( )．
a． b． cd．
【答案】b．
【解析】 ，圓心直角座標為（0,-1），極座標為，選b．
【2011北京理，4】4．執行如圖所示的程式框圖，輸出的s值為( )．
abcd．
【答案】d．
【解析】迴圈操作4次時s的值分別為，選d．
【2011北京理，5】5．如圖，，分別與圓切於點，，，延長與圓交於另一點．給出下列三個結論：
①；②；③．其中正確結論的序號是 ( )．
abcd．①②③
【答案】a．
【解析】 ①正確．由條件可知，bd=bf，cf=ce，可得．
②正確．通過條件可知，ad=ae．由切割定理可得．
③錯誤．連線fd（如下圖），若，則有．通過影象可知
，因而錯誤．答案選a ．
【2011北京理，6】6．根據統計，一名工作組裝第件某產品所用的時間（單位：分鐘）為（，為常數）．已知工人組裝第4件產品用時30分鐘，組裝第件產品用時15分鐘，那麼和的值分別是( )．
a．75，25 b．75，16c．60，25d．60，16
【答案】d．
【解析】由條件可知，時所用時間為常數，所以組裝第4件產品用時必然滿足第乙個分段函式，即，，選d．
【2011北京理，7】7．某四面體的三檢視如圖所示，該四面體四個面的面積中最大的是( )．
a．8bc．10d．
【答案】c．
【解析】由三檢視還原幾何體如下圖，該四面體四個面的面積中最大的是pac，面積為10，選c．
【2011北京理，8】8．設,，,.記為平行四邊形內部（不含邊界）的整點的個數，其中整點是指橫、縱座標都是整數的點，則函式的值域為 ( )．
a． b． c． d．
【答案】c．
【解析】如下圖，在t=0,0 第ⅱ卷（非選擇題共110分）
二、填空題：（每小題5分，共30分）
【2011北京理，9】9．在中，若，，，則 ．
________.
【答案】；．
【解析】由 ，正弦定理可得．
【2011北京理，10】10．已知向量，，，若與共線，則 ．
【答案】．
【解析】 ，與共線可得．
【2011北京理，11】11．在等比數列中，，，則公比________；
【答案】；．
【解析】 ，，是以為首項，以2為公比的等比數列，．
【2011北京理，12】12．用數字2，3組成四位數，且數字2，3至少都出現一次，這樣的四位數共有用數字作答）．
【答案】．
【解析】個數為．
【2011北京理，13】13．已知函式，若關於的方程有兩個不同的實根，則數的取值範圍是
【答案】．
【解析】 單調遞減且值域為(0,1]，單調遞增且值域為，有兩個不同的實根，則實數k的取值範圍是（0,1）．
【2011北京理，14】14．曲線是平面內與兩個定點和的距離的積等於常數的點的軌跡．給出下列三個結論：
① 曲線過座標原點；
② 曲線關於座標原點對稱；
③若點在曲線上，則的面積大於．
其中，所有正確結論的序號是
【答案】②③．
【解析】．
① 曲線經過原點，這點不難驗證是錯誤的，如果經過原點，即麼，與條件不符；
② 曲線關於原點對稱，這點顯然正確，如果在某點處關於原點的對稱點處也一定符合；
③三角形的面積=．
三、解答題：（本大題共6小題，共80分）
【2011北京理，15】15．（本小題滿分13分）已知函式．
(ⅰ) 求的最小正週期；
(ⅱ) 求在區間上的最大值和最小值．
【解析】 ．
（ⅰ）因為
所以的最小正週期為．
（ⅱ）因為，所以．
於是，當時，取得最大值；
當取得最小值．
【2011北京理，16】16．（本小題滿分14分）如圖，在四稜錐中，平面，底面是菱形，．
(ⅰ) 求證：平面；
(ⅱ) 若，求與所成角的余弦值；
(ⅲ) 當平面與平面垂直時，求的長．
【解析】 ．
（ⅰ）因為四邊形abcd是菱形，
所以ac⊥bd.
又因為pa⊥平面abcd.
所以pa⊥bd.
所以bd⊥平面pac.
（ⅱ）設ac∩bd=o.
因為∠bad=60°，pa=pb=2,
所以bo=1，ao=co=.
如圖，以為座標原點，建立空間直角座標系o—xyz，則
p（0，—，2），a（0，—，0），b（1，0，0），c（0，，0）.
所以設pb與ac所成角為，則
.（ⅲ）由（ⅱ）知
設p（0，－，t）（t>0），則，
設平面pbc的法向量,則，
所以令則
所以．同理，平面pdc的法向量，
因為平面pcb⊥平面pdc,
所以=0，即，解得，
所以pa=．
【2011北京理，17】17．（本小題滿分13分）以下莖葉圖記錄了甲、乙兩組各四名同學的植樹棵樹．乙組記錄中有乙個資料模糊，無法確認，在圖中以點表示．
(ⅰ) 如果,求乙組同學植樹棵樹的平均數和方差；
(ⅱ) 如果，分別從甲、乙兩組中隨機選取一名同學，求這兩名同學的植樹總棵樹的分布列和數學期望．
（注：方差，其中為，，…… 的平均數）
【解析】 ．
(ⅰ) 當x=8時，由莖葉圖可知，乙組同學的植樹棵數是：8，8，9，10，
所以平均數為
方差為(ⅱ) 當x=9時，由莖葉圖可知，甲組同學的植樹棵樹是：9，9，11，11；乙組同學的植樹棵數是：9，8，9，10．分別從甲、乙兩組中隨機選取一名同學，共有4×4=16種可能的結果，這兩名同學植樹總棵數y的可能取值為17，18，19，20，21事件「y=17」等價於「甲組選出的同學植樹9棵，乙組選出的同學植樹8棵」所以該事件有2種可能的結果，因此p（y=17）=
同理可得
所以隨機變數y的分布列為：
ey=17×p（y=17）+18×p（y=18）+19×p（y=19）+20×p（y=20）+21×p（y=21）=17×+18×+19×+20×+21×=19．
【2011北京理，18】18．（本小題滿分13分）已知函式．
(ⅰ) 求的單調區間；
(ⅱ) 若對於任意的，都有，求的取值範圍．
【解析】 ．
（ⅰ）．
令，得.
當》0時，的情況如下：
所以，的單調遞減區間是（）和；單調遞減區間是．
當<0時，的情況如下：
所以，的單調遞減區間是（）和；單調遞增區間是．
（ⅱ）當k>0時，因為，所以不會有．
當k<0時，由（ⅰ）知在（0，+）上的最大值是．
所以等價於．
解得．故當，時，k的取值範圍是．
【2011北京理，19】19．（本小題滿分14分）已知橢圓.過點作圓的切線交橢圓於，兩點．
(ⅰ) 求橢圓g的焦點座標和離心率；
(ⅱ) 將表示為的函式，並求的最大值．
【解析】 ．
（ⅰ）由已知得所以
所以橢圓的焦點座標為，離心率為．
（ⅱ）由題意知，.
當時，切線的方程，點、的座標分別為
此時；當時，同理可得；
當時，設切線l的方程為
由，設、兩點的座標分別為，則
又由l與圓所以．
由於當時，
所以．因為，
且當時，|ab|=2，所以|ab|的最大值為2．
【2011北京理，20】20．（本小題滿分13分）若數列滿足
，數列為數列，記=．
(ⅰ) 寫出乙個滿足，且的數列；
(ⅱ) 若，，證明：e數列是遞增數列的充要條件是；
(ⅲ) 對任意給定的整數（），是否存在首項為的數列，使得？如果存在，寫出乙個滿足條件的數列；如果不存在，說明理由．
【解析】 ．
解：（ⅰ）0，1，2，1，0是一具滿足條件的e數列．
（答案不唯一，0，1，0，1，0也是乙個滿足條件的e的數列a5）
（ⅱ）必要性：因為e數列a5是遞增數列，
所以.所以a5是首項為12，公差為1的等差數列.
所以a2000=12+（2000—1）×1=2011.
充分性，由於a2000—a1000≤1，
a2000—a1000≤1
……a2—a1≤1
所以a2000—a≤19999，即a2000≤a1+1999.
又因為a1=12，a2000=2011,
所以a2000=a1+1999.
故是遞增數列.
綜上，結論得證．
（ⅲ）令
因為……所以因為
所以為偶數,
所以要使為偶數,
即4整除.
當時，有
當的項滿足，
當不能被4整除，此時不存在數列，使得．
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