2023年普通高等學校招生全國統一考試（福建卷）
數學試題（文史類）
第卷（選擇題共60分）
一．選擇題
1．複數（為虛數單位）在復平面內對應的點位於（ ）
a．第一象限 b．第二象限 c．第三象限 d．第四象限
【答案】c
【解析】本題考查的知識點是復數的幾何意義．由幾何意義可知複數在第三象限．
2．設點，則「且」是「點在直線上」的（ ）
a．充分而不必要條件 b．必要而不充分條件
c．充分必要條件 d．既不充分也不必要條件
【答案】a
【解析】本題考查的知識點是邏輯中充要條件的判定．因為點代入直線方程，符合方程，即「且」可推出「點在直線上」；而點在直線上，不一定就是點，即「點在直線上」推不出「且」．故「且」是「點在直線上」的充分而不必要條件．
3．若集合，則的子集個數為（ ）
a．2 b．3 c．4 d．16
【答案】c
【解析】本題考查的是集合的交集和子集．因為，有2個元素，所以子集個數為個．
4．雙曲線的頂點到其漸近線的距離等於（ ）
a． b． c．1 d．
【答案】b
【解析】本題考查的是雙曲線的性質．因為雙曲線的兩個頂點到兩條漸近線的距離都相等，故可取雙曲線的乙個頂點為，取一條漸近線為，所以點到直線的距離為．
5．函式的圖象大致是（ ）
abcd．
【答案】a
【解析】本題考查的是對數函式的圖象．由函式解析式可知，即函式為偶函式，排除c；由函式過點，排除b,d．
6．若變數滿足約束條件，則的最大值和最小值分別為（ ）
a．4和3 b．4和2 c．3和2 d．2和0
【答案】b
【解析】本題考查的簡單線性規劃．如圖，可知目標函式最大值和最小值分別為4和2．
7．若，則的取值範圍是（ ）
a． b． c． d．
【答案】d
【解析】本題考查的是均值不等式．因為，即，所以，當且僅當，即時取等號．
8．閱讀如圖所示的程式框圖，執行相應的程式，如果輸入某個正整數後，輸出的，那麼的值為（ ）
a．3 b．4 c．5 d．6
【答案】b
【解析】本題考查的是程式框圖．迴圈前：；第1次判斷後迴圈：；第2次判斷後迴圈：；第3次判斷後迴圈：．故．
9．將函式的圖象向右平移個單位長度後得到函式的圖象，若的圖象都經過點，則的值可以是（ ）
a． b． c． d．
【答案】b
【解析】本題考查的三角函式的影象的平移．把代入，解得，所以，把代入得，或，觀察選項，故選b
10．在四邊形中，，則該四邊形的面積為（ ）
a． b． c．5 d．10
【答案】c
【解析】本題考查的是向量垂直的判斷以及向量的模長．因為，所以，所以四邊形的面積為，故選c
11．已知與之間的幾組資料如下表：
假設根據上表資料所得線性回歸直線方程為．若某同學根據上表中前兩組資料和求得的直線方程為，則以下結論正確的是（ ）
a． b． c． d．
【答案】c
【解析】本題考查的是線性回歸方程．畫出散點圖，可大致的畫出兩條直線（如下圖），由兩條直線的相對位置關係可判斷．故選c
12．設函式的定義域為，是的極大值點，以下結論一定正確的是（ ）
a． b．是的極小值點
c．是的極小值點 d．是的極小值點
【答案】d
【解析】本題考查的是函式的極值．函式的極值不是最值，a錯誤；因為和關於原點對稱，故是的極小值點，d正確．
二．填空題
13．已知函式，則
【答案】
【解析】本題考查的是分段函式求值．．
14．利用計算機產生之間的均勻隨機數，則事件「」發生的概率為
【答案】
【解析】本題考查的是幾何概型求概率．，即，所以．
15．橢圓的左、右焦點分別為，焦距為．若直線與
橢圓的乙個交點滿足，則該橢圓的離心率等於
【答案】
【解析】本題考查的是圓錐曲線的離心率．由題意可知，中，，所以有，整理得，故答案為．
16．設是的兩個非空子集，如果存在乙個從到的函式滿足；
（i）；（ii）對任意，當時，恒有．
那麼稱這兩個集合「保序同構」．現給出以下3對集合：
①；②；
③．其中，「保序同構」的集合對的序號是寫出所有「保序同構」的集合對的序號）
【答案】①②③
【解析】本題考查的函式的性質．由題意可知為函式的乙個定義域，為其所對應的值域，且函式為單調遞增函式．對於集合對①，可取函式，是「保序同構」；對於集合對②，可取函式，是「保序同構」；對於集合對③，可取函式，是「保序同構」．故答案為①②③．
三．解答題
17．（本小題滿分12分）已知等差數列的公差，前項和為．
（1）若成等比數列，求；
（2）若，求的取值範圍．
本小題主要考查等比等差數列、等比數列和不等式等基礎知識，考查運算求解能力，考查函式與方程思想、化歸與轉化思想．滿分12分．
解：（1）因為數列的公差，且成等比數列，
所以，即，解得或．
（2）因為數列的公差，且，
所以；即，解得
18．（本小題滿分12分）如圖，在四稜錐中，，，，，，，．
（1）當正檢視方向與向量的方向相同時，畫出四稜錐的正檢視.（要求標出尺寸，並畫出演算過程）；
（2）若為的中點，求證：；
（3）求三稜錐的體積．
本小題主要考查直線與直線、直線與平面的位置關係及幾何體的三檢視和體積等基礎知識，考查空間想象能力，推理論證能力．運算求解能力，考查數形結合能力、化歸與轉化思想，滿分12分．
解法一：
（ⅰ）在梯形中，過點作，垂足為，
由已知得，四邊形為矩形，
在中，由，,依勾股定理得：
，從而又由平面得，
從而在中，由，,得
正檢視如右圖所示：
（ⅱ）取中點，鏈結，
在中，是中點，
∴，，又,
∴， ∴四邊形為平行四邊形，∴
又平面，平面
∴平面（ⅲ）
又，，所以
解法二：
（ⅰ）同解法一
（ⅱ）取的中點，鏈結,
在梯形中，，且
∴四邊形為平行四邊形
∴，又平面，平面
∴平面，又在中，
平面,平面
∴平面.又,
∴平面平面，又平面
∴平面（ⅲ）同解法一
19．（本小題滿分12分）某工廠有25周歲以上（含25周歲）工人300名，25周歲以下工人200名．為研究工人的日平均生產量是否與年齡有關．現採用分層抽樣的方法，從中抽取了100名工人，先統計了他們某月的日平均生產件數，然後按工人年齡在「25周歲以上（含25周歲）」和「25周歲以下」分為兩組，在將兩組工人的日平均生產件數分成5組：，，，，分別加以統計，得到如圖所示的頻率分布直方圖．
（1）從樣本中日平均生產件數不足60件的工人中隨機抽取2人，求至少抽到一名「25周歲以下組」工人的頻率．
（2）規定日平均生產件數不少於80件者為「生產能手」，請你根據已知條件完成的列聯表，並判斷是否有
的把握認為「生產能手與工人所在的年齡組有關」？
附表：本小題主要考查古典概型、抽樣方法、獨立性檢驗等基礎知識，考查運算求解能力、應用意識，考查必然和或然思想、化歸與轉化思想等，滿分12分．
解：（ⅰ）由已知得，樣本中有周歲以上組工人名，周歲以下組工人名
所以，樣本中日平均生產件數不足件的工人中，周歲以上組工人有（人），
記為，，；周歲以下組工人有（人），記為，
從中隨機抽取名工人，所有可能的結果共有種，他們是
其中，至少有名「周歲以下組」工人的可能結果共有種，它們是：，，，，，，.故所求的概率：
（ⅱ）由頻率分布直方圖可知，在抽取的名工人中，「周歲以上組」中的生產能手（人），「周歲以下組」中的生產能手（人），據此可得列聯表如下：
所以得：
因為，所以沒有的把握認為「生產能手與工人所在的年齡組有關」
20．（本小題滿分12分）如圖，在拋物線的焦點為，準線與軸的交點為．點在拋物線上，以為圓心為半徑作圓，設圓與準線的交於不同的兩點．
（1）若點的縱座標為2，求；
（2）若，求圓的半徑．
本小題主要考查拋物線的方程、圓的方程與性質、直線與圓的位置關係等基礎知識，考查運算求解能力、推理論證能力，考查函式與方程思想、數形結合思想、化歸與轉化思想．滿分12分．
解：（ⅰ）拋物線的準線的方程為，
由點的縱座標為，得點的座標為
所以點到準線的距離，又．
所以.（ⅱ）設，則圓的方程為，
即.由，得
設，，則：
由，得所以，解得，此時
所以圓心的座標為或
從而，，即圓的半徑為
21（本小題滿分12分）如圖，在等腰直角三角形中，，，點**段上．
（1）若，求的長；
（2）若點**段上，且，問：當取何值時，的面積最小？並求出面積的最小
值．本小題主要考查解三角形、同角三角函式的基本關係、兩角和與差的三角函式等基礎知識，考查推理論證能力、抽象概括能力、運算求解能力，考查函式與方程思想、數形結合思想、化歸與轉化思想．滿分12分．
解：（ⅰ）在中，，，，
由餘弦定理得，，
得，解得或．
（ⅱ）設，，
在中，由正弦定理，得，
所以，同理
故因為，，所以當時，的最大值為，此時的面積取到最小值．即2時，的面積的最小值為．
22（本小題滿分14分）已知函式（，為自然對數的底數）．
（1）若曲線在點處的切線平行於軸，求的值；
（2）求函式的極值；
（3）當的值時，若直線與曲線沒有公共點，求的最大值．
本小題主要考查函式與導數，函式的單調性、極值、零點等基礎知識，考查推理論證能力、運算求解能力，考查函式與方程思想、數形結合思想、分類與整合思想、化歸與轉化思想．滿分14分．
解：（ⅰ）由，得．
又曲線在點處的切線平行於軸，
得，即，解得．
（ⅱ），
①當時，，為上的增函式，所以函式無極值．
②當時，令，得，．
，；，．
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