教學目標：運用三角形的中位線，延長過中點的線段構造全等三角形，利用等腰三角形的三線合一的性質，或直角三角形斜邊的中線等於斜邊的一半，解決有關中點的問題
重點：中點方法的靈活運用
難點：解決中點問題的能力
【方法指導】
與中點有關的圖形問題，是初中數學的重要題型，除了線段的中點的定義，我們又學過很多與中點有關的重要結論。聯想是一種非常重要的數學思想，善於聯想，才能更好的尋求解決問題的方法。同學們當你遇到中點時，你會產生哪些聯想呢？
當你看到這個專題後，能給你帶來一定的啟示。
看到中點該想到什麼？
下面介紹四種在做題過程中最常用又使很多學生糾結的方法:
1、等腰三角形+底邊的中點，「三線合一」要出現。
2、直角三角形+斜邊的中點，「斜邊上的中線等於斜邊的一半」要出現。
3、三角形+兩邊的中點，「三角形的中位線」要應用。
4、線段的中點+平行線，「八字型的全等」要出現。
意思是：遇到兩條平行線所截得的線段的中點時，常聯想「八字型」全等三角形；這個方法**於梯形的一種作輔助線方法：「等積變形」，鏈結梯形上底一端點和另一腰中點，並延長與下底延長線交於一點，構成三角形。
（如圖）
5、有中點時，常會出現面積的一半（中線平分三角形的面積）；
6、圓中遇到弦的中點，常聯想「垂徑定理」
【知識回顧】
等腰三角形的底邊上的和頂角的三線合一。
直角三角形斜邊上的中線等於
三角形中位線定理
【題型賞析】
一、等腰三角形+底邊的中點，「三線合一」要出現。
例1：如圖，在△abc中，∠a=90°，ab=ac，o是bc的中點，如果在ab和ac上分別有乙個動點m、n在移動，且在移動時保持an=bm，請你判斷△omn的形狀，並說明理由．
點撥：本題考查了等腰直角三角形的判定與性質、全等三角形的判定與性質．解答該題的關鍵一步是根據等腰直角三角形abc的「三線合一」的性質推知oa=ob=oc．
練習：如圖1所示，在△abc中，ab=ac=5，bc=6，點m為bc中點，mn⊥ac於點n，則mn等於（ ）
a． b．
c． d．
二、直角三角形+斜邊的中點，「斜邊上的中線等於斜邊的一半」要出現
例2：如圖，在四邊形abcd中，∠dab=∠dcb=90°，對角線ac與bd相交於點o，m、n分別是邊bd、ac的中點．
（1）求證：mn⊥ac；
（2）當ac=8cm，bd=10cm時，求mn的長．
點撥：本題綜合考查了直角三角形斜邊上的中線、勾股定理．解題時，通過作輔助線am、mc構建了直角三角形斜邊上的中線，然後利用「直角三角形斜邊上的中線等於斜邊的一半」來解答問題．
三、三角形+兩邊的中點，「三角形的中位線」要運用。
常用的輔助線：①三角形兩邊有中點，構造中位線；②兩線段有中點，構造三角形；③取中點 ,連中位線。
①三角形兩邊有中點，構造中位線；
例3：已知：△abc中，ad是bc中線，e、f分別是ab、ac中點.求證：ad、ef互相平分.
點撥：本題考查了三角形的中位線定理，平行四邊形的判定與性質，證明兩條線段互相平分常用的方法是轉化為平行四邊形的判定．
②兩線段有中點，構造三角形；
例4：如圖，點e、f、g、h分別是四邊形abcd的四邊中點，求證四邊形efgh是平行四邊形。
點撥：此題主要考查了中點四邊形，關鍵是掌握三角形中位線定理，三角形的中位線平行於第三邊且等於第三邊的一半．
歸納總結：
如圖，在任意四邊形abcd中，e、f、g、h分別是ab、bc、cd、da邊上的中點，
閱讀下列材料，回答問題：
⑴鏈結ac、bd，由三角形中位線的性質定理可證四邊形 efgh是
⑵對角線ac、bd滿足條件時，四邊形 efgh是矩形。
⑶對角線ac、bd滿足條件時，四邊形 efgh是菱形。
⑷對角線ac、bd滿足條件時，四邊形 efgh是正方形。
變式：在四邊形abcd中，若ab＝cd，e、f、g、h分別為ad、bc、bd、ac的中點，求證：四邊形efgh是菱形。
變式：如圖：點e、f、g、h分別是線段ab、bc、cd、ad的中點，則四邊形efgh是什麼圖形？並說明理由。
③「取中點 ,連中位線」
例5：如圖，在四邊形abcd中，對角線ac、bd交於點o，e、f分別是ab、cd的中點，且ac=bd．求證：om=on．
點撥：本題考查了三角形的中位線性質定理，解題的關鍵是構造三角形的中位線．運用三角形的中位線的數量關係和位置關係進行分析證明。
一、線段的中點+平行線，「八字型的全等「要出現。
例6：已知如圖，梯形abcd中，ad∥bc，e是ab的中點，de⊥ce，求證：ad+bc=dc。
點撥：本題考查梯形的知識，因為點e是中點，所以應該聯想到構造「八字型」全等三角形，這是經常用到的解題思路，同學們要注意掌握．
例7：如圖，△abc中，d為bc中點，ab=5，ad=6，ac=13。求證：ab⊥ad
點撥：因為點e是中點，所以聯想到構造「八字型」全等三角形，但是缺少了平行線的條件，因此我們要通過作平行線創造條件，這也是經常用到的解題思路．
練習：（2010雅安）如圖，已知點o是△abc中bc邊上的中點，且＝，則
（2004**）如圖，已知△abc中，ab=ac，d、e分別是ab和bc上的點，連線de並延長與ac的延長線交於點f，若de=ef，求證：bd=cf．
例8：如圖，e是正方形abcd邊ab的中點，df⊥ce於點m．說明：am=ad．
點撥：本題考查了正方形的性質，直角三角形斜邊上的中線等於斜邊的一半的性質，以及相似三角形的判定與性質，作輔助線是解題的關鍵。
練習：1、已知：如圖，在矩形abcd中，e為cb延長線上一點，ce=ac，f是ae的中點．
（1）求證：bf⊥df；
（2）若ab=8，ad=6，求df的長．
2、（2012·廣州·25題）如圖10，在平行四邊形abcd中，ab=5，bc=10，f為ad中點，ce⊥ab於點e，設∠abc=
（1）當時，求ce的長；
（2）當，是否存在正整數，使得∠efd=∠aef？若存在，求出的值；若不存在，請說明理由
課後練習
1、填空題：
順次鏈結四邊形各邊中點所得的四邊形是
順次鏈結平行四邊形各邊中點所得的四邊形是
順次鏈結矩形各邊中點所得的四邊形是
順次鏈結菱形各邊中點所得的四邊形是
順次鏈結正方形各邊中點所得的四邊形是
順次鏈結梯形各邊中點所得的四邊形是
順次鏈結等腰梯形各邊中點所得的四邊形是
2、（2011無錫）如圖，在rt△abc中，∠acb=90°，d、e、f分別是ab、
bc、ca的中點，若cd=5cm，則ef= cm．
3、已知如圖，在矩形abcd中，e，f，g，h分別為邊ab，bc，cd，
da的中點。若ab＝2，ad＝4，則圖中陰影部分的面積為（ ）
a．3 b．4 c．6 d．8
4、如圖，已知矩形abcd，r、p分別是dc、bc上的點，e、f分別是ap、rp的中點，當p在bc上從b向c移動而r不動時，那麼下列結論成立的是（ ）
a：線段ef的長逐漸增大。 b：線段ef的長逐漸減少。
c：線段ef的長不變。 d：線段ef的長不能確定。
5、（2010攀枝花）如圖所示，在△abc中，bc＞ac，點d在bc上，且dc=ac，∠acb的平分線cf交ad於點f．點e是ab的中點，連線ef．
（1）求證：ef∥bc；
（2）若四邊形bdfe的面積為6，求△abd的面積．
6、如圖，在梯形abcd中，ad∥bc，若e，f，g，h分別是梯形abcd各邊ab、bc、cd、da的中點．
（1）求證：四邊形efgh平行四邊形；
（2）當梯形abcd滿足什麼條件時，四邊形efgh是菱形；
（3）在（2）的條件下，梯形abcd滿足什麼條件時，四邊形efgh是正方形．
7、在□abcd的對角線相交於點o. e、f、p分別ob、oc、ad的中點，且ac=2ab
求證：ep=ef
8、（2009綏化）如圖，在四邊形abcd中，ab=cd，e、f分別是bc、ad的中點，連線ef並延長，分別與ba、cd的延長線交於點m、n，則∠bme=∠**e（不必證明）
（1）如圖（2），在四邊形adbc中，ab與cd相交於點o，ab=cd，e、f分別是bc、ad的中點，連線ef，分別交cd、ba於點m、n，判斷△omn的形狀，請直接寫出結論.
（2）如圖（3）中，在△abc中，ac＞ab，d點在ac上，ab=cd，e、f分別是bc、ad的中點，連線ef並延長，與ba的延長線交於點g，若∠efc=60°，連線gd，判斷△agd形狀並證明.
專題中點的妙用初三數學
專題 中點的妙用 看到中點該想到什麼？1 等腰三角形中遇到底邊上的中點，常聯想 三線合一 的性質 2 直角三角形中遇到斜邊上的中點，常聯想 斜邊上的中線，等於斜邊的一半 3 三角形中遇到兩邊的中點，常聯想 三角形的中位線定理 4 兩條線段相等，為全等提供條件 遇到兩平行線所截得的線段的中點時，常聯想...
中點的妙用
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