廣西南寧外國語學校隆光誠（郵政編碼530007）
圓錐曲線的中點弦問題是高考常見的題型，在選擇題、填空題和解答題中都是命題的熱點。它的一般方法是：聯立直線和圓錐曲線的方程，借助於一元二次方程的根的判別式、根與係數的關係、中點座標公式及引數法求解。
若已知直線與圓錐曲線的交點（弦的端點）座標，將這兩點代入圓錐曲線的方程並對所得兩式作差，得到乙個與弦的中點和斜率有關的式子，可以大大減少運算量。我們稱這種代點作差的方法為「點差法」，它的一般結論叫做點差法公式。本文就雙曲線的點差法公式在高考中的妙用做一些粗淺的**，以饗讀者。
定理在雙曲線（＞0，＞0）中，若直線與雙曲線相交於m、n兩點，點
是弦mn的中點，弦mn所在的直線的斜率為，則.
證明：設m、n兩點的座標分別為、，則有，得又
同理可證，在雙曲線（＞0，＞0）中，若直線與雙曲線相交於m、n兩點，點是弦mn的中點，弦mn所在的直線的斜率為，則.
典題妙解
例1 已知雙曲線，過點作直線交雙曲線c於a、b兩點.
（1）求弦ab的中點m的軌跡；
（2）若p恰為弦ab的中點，求直線的方程.
解：（1）焦點在y軸上.
設點m的座標為，由得：，
整理得：
所求的軌跡方程為
（2）p恰為弦ab的中點，
由得：即
直線的方程為，即
例2 已知雙曲線與點
（1）斜率為且過點p的直線與c有兩個公共點，求的取值範圍；
（2）是否存在過點p的弦ab，使得ab的中點為p？
（3）試判斷以為中點的弦是否存在.
解：（1）直線的方程為，即
由得直線與c有兩個公共點，
得解之得：＜且
的取值範圍是
（2）雙曲線的標準方程為
設存在過點p的弦ab，使得ab的中點為p，則由得：
由（1）可知，時，直線與c有兩個公共點，
存在這樣的弦.這時直線的方程為
（3）設以為中點的弦存在，則由得：
由（1）可知，時，直線與c沒有兩個公共點，
設以為中點的弦不存在.
例3 過點作直線交雙曲線於a、b兩點，已知（o為座標原點），求點p的軌跡方程，並說明軌跡是什麼曲線.
解：在雙曲線中，，焦點在軸上.設弦ab的中點為.
由平行四邊形法則知：，即q是線段op的中點.
設點p的座標為，則點q的座標為.
由得：，
整理得：
配方得：.
點p的軌跡方程是，它是中心為，對稱軸分別為軸和直線的雙曲線.
例4. 設雙曲線的中心在原點，以拋物線的頂點為雙曲線的右焦點，拋物線的準線為雙曲線的右準線．
（ⅰ）試求雙曲線c的方程；
（ⅱ）設直線與雙曲線交於兩點，求；
（ⅲ）對於直線，是否存在這樣的實數，使直線與雙曲線的交點關於直線(為常數)對稱，若存在，求出值；若不存在，請說明理由．
解：（ⅰ）由得，
，拋物線的頂點是，準線是.
在雙曲線c中，.
雙曲線c的方程為.
（ⅱ）由得：.
設，則.
. （ⅲ）假設存在這樣的實數，使直線與雙曲線的交點關於直線對稱，則是線段ab的垂直平分線. 因而，從而. 設線段ab的中點為.
由得 由得
由①、②得：.
由得：， .
又由得：
直線與雙曲線c相交於a、b兩點，
＞0，即＜6，且.
符合題意的的值存在，.
金指點睛
1. (03全國)已知雙曲線中心在原點且乙個焦點為，直線與其相交於m、n兩點，mn的中點的橫座標為，則此雙曲線的方程為（ ）
a. b. c. d.
2.（02江蘇）設a、b是雙曲線上兩點，點是線段ab的中點.
（1）求直線ab的方程；
（2）如果線段ab的垂直平分線與雙曲線相交於c、d兩點，那麼a、b、c、d四點是否共圓，為什麼？
3. 已知雙曲線，過點作直線交雙曲線於a、b兩點.
（1）求弦ab的中點m的軌跡;
（2）若點p恰好是弦ab的中點，求直線的方程和弦ab的長.
4、雙曲線c的中心在原點，並以橢圓的焦點為焦點，以拋物線的準線為右準線.
（1）求雙曲線c的方程；
（2）設直線與雙曲線c相交於a、b兩點，使a、b兩點關於直線
對稱，求的值.
參***
1. 解：在直線中，，時，. 由得.
又由得.
故答案選d.
2. 解：（1），焦點在上. 由得：， .
所求的直線ab方程為，即.
（2）設直線cd的方程為，點在直線cd上，
，.直線cd的方程為.
又設弦cd的中點為，由得：，即.
由得.點m的座標為.
又由得.
由兩點間的距離公式可知：.
故a、b、c、d四點到點m的距離相等，即a、b、c、d四點共圓.
3. 解：（1），焦點在上. 設點m的座標為.
若直線的的斜率不存在，則軸，這時直線與雙曲線沒有公共點，不合題意，故直線的的斜率存在.
由得：，
整理，得：.
點m的軌跡方程為.
（2）由得：， .
所求的直線方程為，即.
由得，解之得：.
4. 解：（1）在橢圓中，，
焦點為.
在拋物線中，，準線為.
在雙曲線中，. 從而
所求雙曲線c的方程為.
（2）直線是弦ab的垂直平分線， ，從而. 設弦ab的中點為.
由得由得
由①、②得：
又，，即..由得
直線與雙曲線c相交於a、b兩點，
＞0，即＜6，且. 符合題意.
故的值為.
點差法公式在高考中的妙用
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