與圓錐曲線的弦的中點有關的問題，我們稱之為圓錐曲線的中點弦問題。
解圓錐曲線的中點弦問題的一般方法是：聯立直線和圓錐曲線的方程，借助於一元二次方程的根的判別式、根與係數的關係、中點座標公式及引數法求解。
若設直線與圓錐曲線的交點（弦的端點）座標為、，將這兩點代入圓錐曲線的方程並對所得兩式作差，得到乙個與弦的中點和斜率有關的式子，可以大大減少運算量。我們稱這種代點作差的方法為「點差法」。
一、 以定點為中點的弦所在直線的方程
例1、過橢圓內一點引一條弦，使弦被點平分，求這條弦所在直線的方程。
解：設直線與橢圓的交點為、
為的中點
又、兩點在橢圓上，則，
兩式相減得
於是即，故所求直線的方程為，即。
例2、已知雙曲線，經過點能否作一條直線，使與雙曲線交於、，且點是線段的中點。若存在這樣的直線，求出它的方程，若不存在，說明理由。
策略：這是一道探索性習題，一般方法是假設存在這樣的直線 ，然後驗證它是否滿足題設的條件。本題屬於中點弦問題，應考慮點差法或韋達定理。
解：設存在被點平分的弦，且、
則， ，
兩式相減，得
故直線由消去，得
這說明直線與雙曲線不相交，故被點平分的弦不存在，即不存在這樣的直線。
評述：本題如果忽視對判別式的考察，將得出錯誤的結果，請務必小心。由此題可看到中點弦問題中判斷點的位置非常重要。
（1）若中點在圓錐曲線內，則被點平分的弦一般存在；（2）若中點在圓錐曲線外，則被點平分的弦可能不存在。
二、 過定點的弦和平行弦的中點座標和中點軌跡
例3、已知橢圓的一條弦的斜率為3，它與直線的交點恰為這條弦的中點，求點的座標。
解：設弦端點、，弦的中點，則
，又 ，
兩式相減得
即，即點的座標為。
例4、已知橢圓,求它的斜率為3的弦中點的軌跡方程。
解：設弦端點、，弦的中點，則
，又 ，
兩式相減得
即，即 ，即
由，得點在橢圓內
它的斜率為3的弦中點的軌跡方程為
三、 求與中點弦有關的圓錐曲線的方程
例5、已知中心在原點，一焦點為的橢圓被直線截得的弦的中點的橫座標為，求橢圓的方程。
解：設橢圓的方程為，則┅┅①
設弦端點、，弦的中點，則
， ，又， 兩式相減得
即聯立①②解得，
所求橢圓的方程是
四、圓錐曲線上兩點關於某直線對稱問題
例6、已知橢圓，試確定的取值範圍，使得對於直線，橢圓上總有不同的兩點關於該直線對稱。
解：設，為橢圓上關於直線的對稱兩點，為弦的中點，則，
兩式相減得，
即，，這就是弦中點軌跡方程。
它與直線的交點必須在橢圓內
聯立，得則必須滿足，
即，解得
五、注意的問題
（1）雙曲線的中點弦存在性問題；（2）弦中點的軌跡應在曲線內。
利用點差法求解圓錐曲線中點弦問題，方法簡捷明快，結構精巧，很好地體現了數學美，而且應用特徵明顯，是訓練思維、薰陶數學情感的乙個很好的材料，利於培養學生的解題能力和解題興趣。
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