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湖南祁東育賢中學周友良汪美雲譚永長 421600
有關動點的軌跡問題是解析幾何中的一類重要的問題，求動點的軌跡和圓錐曲線的定義、性質有著密切的關係．且此類問題的求解常有定義法、代入法、引數法、交軌法、直接法等．在求解時要先畫出相應的草圖進行分析，再選擇好相應的解題策略和具體方法．
例1 已知圓e的方程為 (x-1)2 + y2 = 1, 四邊形pabq為該圓的內接梯形，底ab為圓的直徑且在x 軸上，以a、b為焦點的橢圓c過p、q兩點．
(1) 若直線qp與橢圓c的右準線相交於點m，求點m的軌跡；
(2) 當梯形pabq周長最大時，求橢圓c的方程．
解 (1) 設橢圓c：b2(x-1)2 + a2y2 = a2 b2 (a >b >0)，由題意知 2c = 2, 故 c = 1,
如圖9-9，從而可得右準線的方程 x = a2 +1
設 m(x, y)，p(x0, y0)，連pb，則有 | pa| 2 + |pb| 2 = |ab| 2,
∴ ( | pa| + | pb| )2- 2| pa|·|pb| = 4，由此可得 (2a)2- 2·2 | yp | = 4，即 yp = ±(a2-1)，………………②
於是，由①②得 y =±(x- 2)．
又∵ 點p(x0, y0)是圓e上的點，且不與ab重合，
∴ 0 < |y0| < 1，故有 0 < a2- 1< 1 , 即 1 < a2 < 2
由①③得 2 < x < 3，∴ 點m的軌跡是兩條線段，其方程為 y =±(x-2) (2 < x < 3)．
(2) 設∠abq =θ，∵點q在p點左側，∴θ∈(45o, 90o)，
又|ab| = 2, 於是，由圖9-9可得 | pa| = |bq| = 2cosθ, |pq| = |ab|-2|bq|cosθ= 2- 4cos2θ,
∴ 周長 l= (2-4cos2θ) + 4cosθ+ 2．
當時，周長l取最大值5．
此時 |bq| = 1, |aq| =，2a = |bq| +|aq| =1+,
∴,，故所求橢圓的方程為 ．
點評這是「引數法」求軌跡的問題．對於(1)的軌跡範圍的求得容易出差錯．這就要我們認真審題，不僅要對每個條件認真考查，而且還要觀察圖形在其範圍內能否畫得出．(2)要使周長最長也要尋找乙個引數，將所涉及到的邊都用它來表出是解題的基本思想．
例2 已知雙曲線的兩個焦點分別為f1、f2，其中f1又是拋物線 y2 = 4 x的乙個焦點，且點a(-1, 2)，b(3, 2)在雙曲線上．
(1)求點f2的軌跡;
(2)是否存在直線y = x+m與點f2的軌跡有且只有兩個公共點，若存在，求出實數m的值，若不存在，說明理由．
解 (1) 由題意知f1(1, 0)，設f2(x , y)，則 | |af1|-|af2| | = | |bf1|-|bf2| | = 2a > 0
∵ a(-1, 2)，b(3, 2) 在已知雙曲線上，且 |af1| = | bf1| =．於是
(ⅰ) 當 | af1|-|af2| = |bf1|-|bf2|時，有 |af2| = |bf2| , 再代入①得：
f2的軌跡為直線 x = 1除去兩個點f1(1, 0), d(1, 4)．
(ⅱ) ∵ 當 | af1|-|af2| = - ( |bf1|-|bf2| ) 時，有 | af2| + |bf2| = |af1| + |bf1| => 4 = |ab| ,
∴ 點f2的軌跡是以a、b兩點為焦點的橢圓q，且除去f1(1, 0)，d(1, 4)兩點，
故所求的軌跡方程為 l：x = 1與q： ( y≠0，y≠ 4 )．
(2) 設存在直線l：y = x+ m滿足條件．(ⅰ) 若l過點f1或點d，
∵ f1、d兩點既在直線l：x = 1上，又在橢圓q上，但不在f2的軌跡上，
∴ l與f2的軌跡只有乙個公共點，不合題意．
(ⅱ) )若l不過點f1和d兩點，(m≠-1, m≠3)，則l與l必有乙個公共點e，且e點不在橢圓q上，
∴ 要使l與f2的軌跡有且只有兩個公共點，則l必與q有且只有乙個公共點．
由得 3x2 - (10 - 4m) x +2m2- 8m +1= 0,
從而，有 △= (10 - 4m) 2- 12(2m2- 8m+1) = - 8 ( m2-2m-11) ,
當△= 0時，有．即存在符合條件的直線 y = x+．
點評這是「定義法」求軌跡的問題．對於軌跡問題的求解，務必要注意軌跡的純粹性與完備性，這是我們最易忽略的．如本題中的點f1(1, 0)與d(1, 4)必須要除去．事實上，f2的軌跡中，不含(1, 0) 的點．因為f1的座標為(1, 0)，若f2的座標為(1, 0)時，f1與f2必重合，這時相應的雙曲線不存在；f2也不能過d(1, 4)，因為當f2為(1, 4)時，a、b為f1, f2的中垂線上的點，不可能為雙曲線上的點．對於這些不合題意的點的剔除，只有在求出其軌跡方程後，通過考查其圖形是否存在，或對其極端情形的分析，才能發現它們．因此，在求軌跡時要仔細檢查有無擴大或遺漏，其最好的手段是看相應的圖形能否畫得出，或對其極端情形的考查，否則是難以清除雜質或找回遺漏的．
例3 已知常數a > 0，c = (0, a)，i = (1, 0)，經過原點o，以c +λi為方向向量的直線與經過定點a(0 , a)，以i - 2λc為方向向量的直線交於點p，其中λ∈r，試問：是否存在兩個定點e , f，使得 | pf | + | pf | 為定值，若存在，求出e, f的座標，若不存在，說明理由．
解 ∵ c +λi = (λ, a)，i - 2λc = (1, - 2λa) ,
由向量平行關係得 op與ap的方程分別為λy = ax，y- a = - 2λax
由此消去引數λ，得點p(x ,y)滿足方程為
∵ a > 0 , 從而，有(1) 當時，方程②表示的是圓，不存在符合題意的兩個定點 e，f ；
(2) 當0《時，方程②表示的是橢圓，故存在符合題意的兩個定點，即為橢圓的兩個焦點：；
(3) 當時，方程②表示的是橢圓，故存在合乎題意的兩個定點，即為橢圓的兩個焦點：．
點評這是「交軌法」求軌跡的問題．將向量c +λi與i- 2λc分別用座標錶出是解題的關鍵．回答問題時必須要分別回答，這是題目的要求．對於①也可用直線的點斜式方程求得，讀者不妨試一試．
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