方法1：定義法
例1、已知點f是雙曲線－＝1的左焦點，定點a的座標為(1,4)，p是雙曲線右支上的動點，則|pf|＋|pa|的最小值為________．
解析如圖所示，根據雙曲線定義|pf|－|pf′|＝4，
即|pf|－4＝|pf′|.又|pa|＋|pf′||af′|＝5，
將|pf|－4＝|pf′|代入，得|pa|＋|pf|－45，
即|pa|＋|pf|9，等號當且僅當a，p，f′三點共線，
即p為圖中的點p0時成立，故|pf|＋|pa|的最小值為9.故填9.
方法2：幾何法
例2、已知雙曲線－＝1(a＞0，b＞0)的左，右焦點分別為f1，f2，點p在雙曲線的右支上，且|pf1|＝4|pf2|，則此雙曲線中的取值範圍是________．
解析根據雙曲線定義|pf1|－|pf2|＝2a，設|pf2|＝r，
則|pf1|＝4r，故3r＝2a，即r＝，|pf2|＝.
根據雙曲線的幾何性質，|pf2|c－a，即c－a，即，即e.又e＞1，
故雙曲線的離心率e的取值範圍是.故填.
例3 已知p點在圓x2+(y-2)2=1上移動，q點在橢圓上移動,試求|pq|的最大值。
解：故先讓q點在橢圓上固定，顯然當pq通過圓心o1時|pq|最大，因此要求|pq|的最大值，只要求|o1q|的最大值.設q(x，y)，則|o1q|2= x2+(y-4)2 ①
因q在橢圓上,則x2=9(1-y2) ②
將②代入①得|o1q|2= 9(1-y2)+(y-4)2
因為q在橢圓上移動，所以-1y1，故當時，，此時
方法3：切線法
例4、求橢圓＋y2＝1上的點到直線y＝x＋2的距離的最大值和最小值，並求取得最值時橢圓上點的座標．
解設橢圓的切線方程為y＝x＋b，代入橢圓方程，得3x2＋4bx＋2b2－2＝0.
由δ＝(4b)2－4×3×(2b2－2)＝0，得b＝±.
當b＝時，直線y＝x＋與y＝x＋2的距離d1＝，將b＝代入方程3x2＋4bx＋2b2－2＝0，解得x＝－，此時y＝，
即橢圓上的點到直線y＝x＋2的距離最小，最小值是；
當b＝－時，直線y＝x－到直線y＝x＋2的距離d2＝，將b＝－代入方程3x2＋4bx＋2b2－2＝0，解得x＝，此時y＝－，
即橢圓上的點到直線y＝x＋2的距離最大，最大值是.
方法4：引數法選取合適的引數表示曲線上點的座標；②求解關於這個引數的函式最值。
例5、點p(x，y)是橢圓＋y2＝1上的乙個動點，則s＝x＋y的最大值為________．
解析因為橢圓＋y2＝1的引數方程為(φ為引數)．
故可設動點p的座標為(cos φ，sin φ)，其中0≤φ＜2π.
因此s＝x＋y＝cos φ＋sin φ＝2＝2sin，所以，當φ＝時，s取最大值2.故填2.
方法5：基本不等式法 ①將最值用變數表示．②利用基本不等式求得表示式的最值．
例6、過橢圓的焦點的直線交橢圓a,b兩點 ，求面積的最大值。
解：橢圓焦點，設過焦點(0,1) ，直線方程為y=kx+1 與聯立 ，消去
y, 得， 其中兩根為a,b橫座標 。 將三角形aob看作
與組合而成 ，|of| 是公共邊 ，它們在公共邊上的高長為
., 其中 |of|=c=1.
===. 當，
即k=0 時,即當直線為 y=1時 , 得到的面積取得最大值為。
方法6：函式法
例7.已知a，b，c三點在曲線y＝上，其橫座標依次為1，m,4(1解：由題意知a(1,1)，b(m，)，c(4,2)．直線ac所在的方程為x－3y＋2＝0，
點b到該直線的距離為d＝.s△abc＝|ac|·d＝××＝|m－3＋2|＝|(－)2－|.
∵m ∈(1,4)，∴當＝時，s△abc有最大值，此時m＝.故選b.
方法7：判別式法
例8、橢圓e的中心在原點o，焦點在軸上，其離心率, 過點c（－1,0）的直線與橢圓e相交於a、b兩點，且滿足點c分向量的比為2.
（1）用直線的斜率k ( k≠0 ) 表示△oab的面積；
（2）當△oab的面積最大時，求橢圓e的方程。
解：（1）設橢圓e的方程為( a＞b＞0 )，由e =
∴a2=3b2 故橢圓方程x2 + 3y2 = 3b2
設a(x1,y1)、b(x2,y2),由於點c（－1，0）分向量的比為2，
即，由消去y整理並化簡得 (3k2+1)x2+6k2x+3k2－3b2=0
由直線l與橢圓e相交於a（x1,y1）, b(x2,y2)兩點得：
而s△oab ⑤
由①③得:x2+1=－，代入⑤得：s△oab =
（2）因s△oab=,當且僅當s△oab取得最大值，
此時 x1 + x2 =－1, 又∵=－1， ∴x1=1,x2 =－2 .
將x1,x2及k2 =代入④得3b2 = 5 ,∴橢圓方程x2 + 3y2 = 5 .
訓練題：1．已知雙曲線(a>0,b>0)的右焦點為f，若過點f且傾斜角為60°的直線與雙曲線的右支有且只有乙個交點，則此雙曲線離心率的取值範圍是
2． p是雙曲線的右支上一點，m、n分別是圓(x＋5)2＋y2＝4和(x－5)2＋y2＝1上的點，則|pm|－|pn|的最大值為9
3．拋物線y=-x2上的點到直線4x+3y-8=0距離的最小值是
4．已知雙曲線的左、右焦點分別為f1、f2，點p在雙曲線的右支上，且|pf1|=4|pf2|,則此雙曲線的離心率e的最大值為
5．已知拋物線y2=4x,過點p(4,0)的直線與拋物線相交於a(x1,y1),b(x2,y2)兩點，則y12+y22的最小值是32
6．對於拋物線y2=4x上任意一點q，點p（，0）都滿足|pq|||，則的取值範圍是( b )
（a）（－∞，0） （b）（－∞，2 （c）［0，2d）（0，2）
圓錐曲線中的最值問題 jsp
圓錐曲線中的最值問題，通常有兩類 一類是有關長度 面積等的最值問題 一類是圓錐曲線中有關幾何元素的最值問題。這些問題往往通過回歸定義，結合幾何知識，建立目標函式，利用函式的性質或不等式知識，以及觀形 設參 轉化 代換等途徑來解決。解題時要注意函式思想的應用，要注意觀察 分析圖形的特徵，將數和形結合起...
第十節圓錐曲線的綜合問題 範圍 最值問題
例1 已知橢圓 1 a b 0 的左焦點為f c,0 離心率為，點m在橢圓上且位於第一象限，直線fm被圓x2 y2 截得的線段的長為c，fm 1 求直線fm的斜率 2 求橢圓的方程 3 設動點p在橢圓上，若直線fp的斜率大於，求直線op o為原點 的斜率的取值範圍.例2 過拋物線y2 4x的焦點f的...
考前歸納總結 圓錐曲線中的最值問題
圓錐曲線中的最值問題 一 常見基本題型 1 利用基本不等式求最值，例1 已知橢圓兩焦點 在軸上，短軸長為，離心率為，是橢圓在第一象限弧上一點，且，過p作關於直線f1p對稱的兩條直線pa pb分別交橢圓於a b兩點，求 pab面積的最大值。解 設橢圓方程為，由題意可得 故橢圓方程為 設ab的直線方程 ...