離心率是圓錐曲線的乙個重要性質，在高考中頻繁出現，下面例析幾種常用求法。
橢圓的離心率e∈（0，1），雙曲線的離心率e>1，拋物線的離心率e=1．
一、直接求出a、c，求解e
已知圓錐曲線的標準方程或a、c易求時，可利用率心率公式來解決。
例１. 已知雙曲線的一條準線與拋物線的準線重合，則該雙曲線的離心率為（）
a. b. c. d.
解：拋物線的準線是，即雙曲線的右準線，
則，解得，故選d．
變式練習1：若橢圓經過原點，且焦點為f1(1，0)，f2(3，0)，則其離心率為( )
abcd.
解：由f1、f2的座標知 2c=3﹣1，∴c=1，又∵橢圓過原點，∴a﹣c=1，a+c=3，∴a=2，c=1,
所以離心率e==.故選c.
變式練習２：如果雙曲線的實半軸長為2，焦距為6，那麼雙曲線的離心率為( )
a. b. cd2
解析：由題設a=2，2c=6，則c=3，e==,因此選c
變式練習３： 點p（-3，1）在橢圓的左準線上，過點p且方向為a=（2，-5）的光線，經直線反射後通過橢圓的左焦點，則這個橢圓的離心率為（）
a. b. c. d.
解：由題意知，入射光線為，關於的反射光線（對稱關係）為，則解得．則。故選a。
二、構造a、c的齊次式，解出e
根據題設條件，借助a、b、c之間的關係，溝通a、c的關係（特別是齊二次式），進而得到關於e的一元方程，從而解得離心率e。
例２. 已知f1、f2是雙曲線的兩焦點，以線段f1f2為邊作正三角形mf1f2，若邊mf1的中點在雙曲線上，則雙曲線的離心率是（）
a. b. c. d.
解：如圖，設mf1的中點為p，則p的橫座標為。由焦半徑公式，
即，得，解得，故選d。
變式練習１：設雙曲線﹣＝1(0a.2bcd.
解：由已知，直線l的方程為bx+ay -ab=0.
由點到直線的距離公式，得＝c，又c2=a2+b2, ∴4ab=c2,
兩邊平方，得16a2(c2﹣a2)=3c4.兩邊同除以a4，並整理，得 3e4-16e2+16=0.
解得 e2＝4或e2＝.又02，∴e2＝4，∴e＝2.故選a.
變式練習２：雙曲線虛軸的乙個端點為m，兩個焦點為f1，f2，∠f1mf2＝120 ，則雙曲線的離心率為（ ）
（ab） （c） （d）
解：如圖所示，不妨設m(0，b)，f1(-c,0), f2(c,0),則
|mf1|=|mf2|=.又|f1f2|＝2c，
在△f1mf2中， 由餘弦定理，得cos∠f1mf2＝,
即＝cos120 ＝﹣，∴＝﹣，
∵b2＝c2﹣a2，∴＝﹣，∴3a2＝2c2，∴e2＝，∴e＝.故選b.
三、採用離心率的定義以及橢圓的定義求解
例３．設橢圓的兩個焦點分別為f1、f2，過f2作橢圓長軸的垂線交橢圓於點p，若△f1pf2為等腰直角三角形，則橢圓的離心率是________。
解：如右圖所示，有
四、根據圓錐曲線的統一定義求解
例4.設橢圓+＝1 (a>b>0)的右焦點為f1，右準線為l1，若過f1且垂直於x軸的弦的長等於點f1到l1的距離，則橢圓的離心率是
解：如圖1所示，ab是過f1且垂直於x軸的弦，∵ad⊥l1於d，∴|ad|為f1到準線l1的距離，根據橢圓的第二定義，e===， 即 e=.故填.
變式練習：
五、構建關於e的不等式，求e的取值範圍
例5. 設，則二次曲線的離心率的取值範圍為（ ）
a. b. c. d. （）
另：由x2cotθ﹣y2tanθ=1，θ∈(0，)，得a2＝tanθ，b2= cotθ,∴c2＝a2+b2＝tanθ+cotθ,
∴e2＝＝＝1+ cot2θ,∵θ∈(0，)，∴cot2θ>1,∴e2>2，∴e>.故選d.
例6 如圖，已知梯形abcd中，｜ab｜＝2｜cd｜，點e分有向線段所成的比為λ，雙曲線過c、d、e三點，且以a、b為焦點．當≤λ≤時，求雙曲線離心率e的取值範圍．
解：以ab的垂直平分線為y軸，直線ab為x軸，建立如圖3所示的直角座標系xoy，則cd⊥y軸.因為雙曲線經過點c、d，且以a、b為焦點，由雙曲線的對稱性知c、d關於y軸對稱．依題意，記a(﹣c，0)，c(，h),e(x0，y0)，其中c=｜ab｜為雙曲線的半焦距，h是梯形的高．
由定比分點座標公式得 x0＝＝，y0＝．設雙曲線的方程為﹣＝1，則離心率e=. 由點c、e在雙曲線上，所以，將點c的座標代入雙曲線方程得﹣＝1 ①，將點e的座標代入雙曲線方程得()2－()2＝1 ②．再將e=①、②得 ﹣＝1，∴＝﹣1 ③， ()2－()2＝1 ④．
將③式代入④式，整理得 （4－4λ）＝1＋2λ，∴λ＝1－．由題設≤λ≤得，≤1－≤．解得≤e≤．所以雙曲線的離心率的取值範圍為［，］．
練習：1.（天津理4） 設雙曲線的離心率為且它的一條準線與拋物線的準線重合，則此雙曲線的方程為
a. b. c. d.
2.（全國2 文11）已知橢圓的長軸長是短軸長的2倍，則橢圓的離心率等於（ ）
abcd．
3.（2006全國ii）已知雙曲線的一條漸近線方程為y＝x，則雙曲線的離心率為abcd)
4．（2006山東卷）在給定橢圓中，過焦點且垂直於長軸的弦長為，焦點到相應準線的距離為1，則該橢圓的離心率為a) (b) (c) (d)
5．（2006山東卷）在給定雙曲線中，過焦點垂直於實軸的弦長為，焦點到相應準線的距離為，則該雙曲線的離心率為 (a) (b)2 (c) (d)2
6.（安徽理9）如圖，和分別是雙曲線的兩個焦點，和是以為圓心，以為半徑的圓與該雙曲線左支的兩個交點，且△是等邊三角形，則雙曲線的離心率為
（abcd）
7.（湖南文9）設分別是橢圓的左、右焦點，p是其右準線上縱座標為（為半焦距）的點，且，則橢圓的離心率是
abcd.
8.（全國2理11）設f1，f2分別是雙曲線的左、右焦點。若雙曲線上存在點a，使∠f1af2=90，且|af1|=3|af2|，則雙曲線離心率為
(abcd)
9.（2006福建卷）已知雙曲線(a>0,b<0)的右焦點為f，若過點f且傾斜角為60°的直線與雙曲線的右支有且只有乙個交點，則此雙曲線離心率的取值範圍是
a.( 1,2b. (1,2c.[2d.(2,+∞)
10.（北京文4）橢圓的焦點為，，兩條準線與軸的交點分別為，若，則該橢圓離心率的取值範圍是（ ）
答案：1.由可得故選d
2.已知橢圓的長軸長是短軸長的2倍，∴ ，橢圓的離心率，選d。
3.雙曲線焦點在x軸,由漸近線方程可得,故選a
4.不妨設橢圓方程為（a b 0），則有，據此求出e＝
5.不妨設雙曲線方程為（a 0，b 0），則依題意有，
據此解得e＝，選c
6.解析：如圖，和分別是雙曲線的兩個焦點，和是以為圓心，以為半徑的圓與該雙曲線左支的兩個交點，且△是等邊三角形，連線af1，∠af2f1=30°，|af1|=c，|af2|=c，∴ ，雙曲線的離心率為，選d。
7.由已知p（），所以化簡得．
8.設f1，f2分別是雙曲線的左、右焦點。若雙曲線上存在點a，使∠f1af2=90，且|af1|=3|af2|，設|af2|=1，|af1|=3，雙曲線中，，∴ 離心率，選b。
9.雙曲線的右焦點為f，若過點f且傾斜角為的直線與雙曲線的右支有且只有乙個交點，則該直線的斜率的絕對值小於等於漸近線的斜率，∴ ≥，離心率e2=，∴ e≥2，選c
10.橢圓的焦點為，，兩條準線與軸的交點分別為，若，，，則，該橢圓離心率e≥， d。
設點為曲線上的點
如何求圓錐曲線的離心率
如何研究圓錐曲線離心率的問題 南京市第一中學 210001 孔凡海 在新課程中，圓錐曲線的離心率問題是高考中常考的問題，通常有兩類 一是求橢圓和雙曲線的離心率的值 二是求橢圓和雙曲線離心率的取值範圍。由於它涉及圓錐曲線較多的基本量，方程與曲線問題，方程組與不等式的求解問題，等等，所以相對比較複雜，學...
求圓錐曲線的離心率的方法
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求解圓錐曲線離心率的常用方法人教版
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