圓錐曲線中的離心率問題
離心率兩大考點：求值、求範圍
求值: 1. 利用a與c的關係式（或齊次式）
2. 幾何法
3. 與其它知識點結合
求範圍: 1. 利用圓錐曲線相關性質建立不等關係求解.
2. 運用數形結合建立不等關係求解
3. 利用曲線的範圍，建立不等關係
4. 運用函式思想求解離心率
5. 運用判別式建立不等關係求解離心率
一、求離心率的值
1. 利用a與c的關係式（或齊次式）
題1：(成都市2010第二次診斷性檢測)已知橢圓的乙個焦點為f，若橢圓上存在點p，滿足以橢圓短軸為直徑的圓與線段pf相切於線段pf 的中點，則該橢圓的離心率為 ．
題2：已知以雙曲線c的兩個焦點及虛軸的兩個端點為原點的四邊形中，有乙個內角為60°，則雙曲線c的離心率為
題3：設雙曲線的漸近線與拋物線相切，則該雙曲線的離心率等於（ ）
（a） （b）2 （c） （d）
解：由題雙曲線的一條漸近線方程為，代入拋物線方程整理得，因漸近線與拋物線相切，所以，即，故選擇c。
題4：(2009浙江理) 過雙曲線的右頂點a作斜率為-1的直線，該直線與雙曲線的兩條漸近線的交點分別為b，c.若，則雙曲線的離心率是（ ）
（abcd）
2. 幾何法
題1： 以橢圓的右焦點f，為圓心作圓，使這圓過橢圓的中心，且交橢圓於點m，若直線mfl
(fl為左焦點)是圓f2的切線，m是切點，則橢圓的離心率是
題2： fl，f2為橢圓的左、右兩個焦點，過f2的直線交橢圓於p、q兩點，pf1pq，且，求橢圓的離心率．
題3：（採用離心率的定義以及橢圓的定義求解）
解：如右圖所示，有故選d
3. 與其它知識點結合
題1：已知m為橢圓上一點，fl，f2是其兩個焦點，且∠mflf2= 2，∠mf2fl= (≠ 0)，則橢圓的離心率為( )
(a)1—2sin (b)l—sin 2 (c)1-cos2 (d)2cos-1
題2：已知p為雙曲線右支上一點，fl、f2是其左、右兩焦點，且∠pflf2= 15°，∠pf2fl=75°，則雙曲線的離心率為 ．
練習：.
a2.已知雙曲線的漸近線為，則雙曲線的離心率為
3.過雙曲線的乙個焦點f作垂直於實軸的弦mn，a 為雙曲線的距f較遠的頂點，∠man=90°，雙曲線的離心率等於 2
二、求離心率的取值範圍
1. 利用圓錐曲線相關性質建立不等關係求解.
題1：（2008福建）雙曲線（a＞0,b＞0）的兩個焦點為f1、f2,若p為其上一點，且|pf1|=2|pf2|,則雙曲線離心率的取值範圍為( )
a.(1,3bc.(3d.
分析求雙曲線離心率的取值範圍需建立不等關係，題設是雙曲線一點與兩焦點之間關係應想到用雙曲線第一定義.如何找不等關係呢？
解析：∵|pf1|=2|pf2|,∴|pf1||pf2|=|pf2|=，|pf2|即∴
所以雙曲線離心率的取值範圍為，故選b.
點評：本題建立不等關係是難點，如果記住一些雙曲線重要結論（雙曲線上任一點到其對應焦點的距離不小於）則可建立不等關係使問題迎刃而解.
題2：（04重慶）已知雙曲線的左，右焦點分別為,點p在雙曲線的右支上，且,則此雙曲線的離心率e的最大值為：( )
abcd
∵|pf1|=4pf2|,∴|pf1||pf2|=3|pf2|=，|pf2|即∴
所以雙曲線離心率的取值範圍為，故選b.
練習：1. 已知，分別為的左、右焦點，p為雙曲線右支上任一點，若的最小值為，則該雙曲線的離心率的取值範圍是（ ）
a b c d
解析，欲使最小值為，需右支上存在一點p，使，而即所以.
2. 利用曲線的範圍，建立不等關係
題1． 設橢圓的左右焦點分別為f1、f2，如果橢圓上存在點p，
使，求離心率e的取值範圍。
解：設因為，所以
將這個方程與橢圓方程聯立，消去y，可解得
題2：橢圓：的兩焦點為，橢圓上存在點使. 求橢圓離心率的取值範圍；
解析設……①
將代入①得求得 .
點評：中，是橢圓中建立不等關係的重要依據，在求解引數範圍問題中經常使用，應給予重視.
3. 運用數形結合建立不等關係求解
題1：（06福建）已知雙曲線的右焦點為f，若過點f且傾斜角為的直線與雙曲線的右支有且只有乙個交點，則此雙曲線離心率的取值範圍是
（a） （b） （c） （d）
解析欲使過點f且傾斜角為的直線與雙曲線的右支有且只有乙個交點，則該直線的斜率的絕對值小於等於漸近線的斜率，∴≥，即即∴即故選c.
題2：直線l過雙曲線的右焦點，斜率k=2，若l與雙曲線的兩個交點分別在左、右兩支上，求雙曲線離心率的取值範圍。
如圖1，若，則l與雙曲線只有乙個交點；若，則l與雙曲線的兩交點均在右支上，
題3：已知f1、f2分別是雙曲線的左、右焦點，過f1且垂直於x軸的直線與雙曲線交於a、b兩點。若△abf2是銳角三角形，求雙曲線的離心率的取值範圍。
解：如圖2，因為△abf2是等腰三角形，所以只要∠af2b是銳角即可，即∠af2f1<45°。則
4. 運用函式思想求解離心率
題1：（08全國卷ⅱ）設，則雙曲線的離心率e的取值範圍是
a． b. c. d.
解析：由題意可知∵∴
∴，故選b.
5. 運用判別式建立不等關係求解離心率
題1：（全國ⅰ）設雙曲線c：相交於兩個不同的點a、b.求雙曲線c的離心率e的取值範圍
解析由c與相交於兩個不同的點，故知方程組
有兩個不同的實數解.消去y並整理得
（1－a2）x2+2a2x－2a2=0. ①
所以解得
雙曲線的離心率
∴所以雙曲線的離心率取值範圍是
練習：1。設兩條漸近線含實軸的所成角為，離心率，則
的範圍1組1。分析求雙曲線離心率的取值範圍需建立不等關係，題設是雙曲線一點與兩焦點之間關係應想到用雙曲線第一定義.如何找不等關係呢？
解析：∵|pf1|=2|pf2|,∴|pf1||pf2|=|pf2|=，|pf2|即∴
所以雙曲線離心率的取值範圍為，故選b.
點評：本題建立不等關係是難點，如果記住一些雙曲線重要結論（雙曲線上任一點到其對應焦點的距離不小於）則可建立不等關係使問題迎刃而解.
2，∵|pf1|=4pf2|,∴|pf1||pf2|=3|pf2|=，|pf2|即∴
所以雙曲線離心率的取值範圍為，故選b.
練習：解析，欲使最小值為，需右支上存在一點p，使，而即所以.
2組1。解：設因為，所以
將這個方程與橢圓方程聯立，消去y，可解得
2，解析設……①
將代入①得求得 .
點評：中，是橢圓中建立不等關係的重要依據，在求解引數範圍問題中經常使用，應給予重視.
3組1，解析欲使過點f且傾斜角為的直線與雙曲線的右支有且只有乙個交點，則該直線的斜率的絕對值小於等於漸近線的斜率，∴≥，即即∴即故選c.
2，解：如圖1，若，則l與雙曲線只有乙個交點；若，則l與雙曲線的兩交點均在右支上，
3，解：如圖2，因為△abf2是等腰三角形，所以只要∠af2b是銳角即可，即∠af2f1<45°。則4組，1解析：由題意可知∵∴
∴，故選b.
5組 1，解析由c與相交於兩個不同的點，故知方程組
有兩個不同的實數解.消去y並整理得
（1－a2）x2+2a2x－2a2=0. ①
所以解得
雙曲線的離心率
∴所以雙曲線的離心率取值範圍是練習
橢圓的離心率求法
橢圓3例7.橢圓 1 a b 0 的兩個焦點及其與座標軸的乙個交點正好是乙個等邊三角形的三個頂點，且橢圓上的點到焦點距離的最小值為，求橢圓的方程.1 例8 根據條件，求出橢圓的方程 中心在原點，對稱軸為座標軸，焦點在軸上，短軸的乙個頂點與兩個焦點組成的三角形的周長為，且.2 設長軸為，焦距為，則在中...
解圓錐曲線離心率的求法大全
離心率是圓錐曲線的乙個重要性質，在高考中頻繁出現，下面例析幾種常用求法。橢圓的離心率e 0，1 雙曲線的離心率e 1，拋物線的離心率e 1 一 直接求出a c，求解e 已知圓錐曲線的標準方程或a c易求時，可利用率心率公式來解決。例 已知雙曲線的一條準線與拋物線的準線重合，則該雙曲線的離心率為 a....
離心率方法總結
離心率的問題 下面給同學們介紹常用的四種解法。一 直接求出a c，求解e 已知標準方程或a c易求時，可利用離心率公式來求解。例1.過雙曲線c 的左頂點a作斜率為1的直線，若與雙曲線m的兩條漸近線分別相交於點b c，且 ab bc 則雙曲線m的離心率是 abcd.分析 這裡的，故關鍵是求出，即可利用...