離心率的問題
下面給同學們介紹常用的四種解法。
一、直接求出a、c，求解e
已知標準方程或a、c易求時，可利用離心率公式來求解。
例1. 過雙曲線c：的左頂點a作斜率為1的直線，若與雙曲線m的兩條漸近線分別相交於點b、c，且|ab|=|bc|，則雙曲線m的離心率是（ ）
abcd.
分析：這裡的，故關鍵是求出，即可利用定義求解。
解：易知a（-1，0），則直線的方程為。直線與兩條漸近線和的交點分別為b、c，又|ab|=|bc|，可解得，則故有，從而選a。
二、變用公式，整體求出e
例2. 已知雙曲線的一條漸近線方程為，則雙曲線的離心率為（ ）
abcd.
分析：本題已知，不能直接求出a、c，可用整體代入套用公式。
解：由（其中k為漸近線的斜率）。這裡，則，從而選a。
三、第二定義法
由圓錐曲線的統一定義（或稱第二定義）知離心率e是動點到焦點的距離與相應準線的距離比，特別適用於條件含有焦半徑的圓錐曲線問題。
例3. 在給定橢圓中，過焦點且垂直於長軸的弦長為，焦點到相應準線的距離為1，則該橢圓的離心率為（ ）
abcd.
解：由過焦點且垂直於長軸的弦又稱為通徑，設焦點為f，則軸，知|mf|是通徑的一半，則有。由圓錐曲線統一定義，得離心率，從而選b。
四. 構造a、c的齊次式，解出e
根據題設條件，借助a、b、c之間的關係，構造出a、c的齊次式，進而得到關於e的方程，通過解方程得出離心率e的值，這也是常用的一種方法。
例4. 已知、是雙曲線的兩焦點，以線段f1f2為邊作正，若邊的中點在雙曲線上，則雙曲線的離心率是（ ）
a. b. c. d.
解：如圖，設的中點為p，則點p的橫座標為，由，由焦半徑公式，即，得，有，解得（捨去），故選d。
練一練設橢圓的兩個焦點分別為f1、f2，過f2作橢圓長軸的垂線交橢圓於點p，若為等腰直角三角形，則橢圓的離心率是（ d ）
abcd.
解：由高考試題分析
1.（2009全國卷ⅰ）設雙曲線（a＞0,b＞0）的漸近線與拋物線y=x2 +1相切，則該雙曲線的離心率等於( c )
（ab）2cd
解：漸進線的斜率與拋物線切線的斜率相等。設切點，則切線的斜率為.由題意有又，
解得: .
由題雙曲線的一條漸近線方程為，代入拋物線方程整理得，因漸近線與拋物線相切，所以，即，
2.（2009浙江理）過雙曲線的右頂點作斜率為的直線，該直線與雙曲線的兩條漸近線的交點分別為．若，則雙曲線的離心率是 ( )
abcd．
答案：c
【解析】對於，則直線方程為，直線與兩漸近線的交點為b，c，，，
因此．3.（2009浙江文）已知橢圓的左焦點為，右頂點為，點在橢圓上，且軸， 直線交軸於點．若，則橢圓的離心率是（ ）
abcd．
【解析】對於橢圓，因為，則
4.(2009山東卷理)設雙曲線的一條漸近線與拋物線y=x+1 只有乙個公共點，則雙曲線的離心率為
ab. 5 cd.
【解析】:雙曲線的一條漸近線為,由方程組,消去y,得有唯一解,所以△=,
所以,,故選d
5.（2009安徽卷理）下列曲線中離心率為的是
（a） （b） （c） （d）
[解析]由得，選b
6.（2009江西卷文）設和為雙曲線()的兩個焦點, 若，是正三角形的三個頂點,則雙曲線的離心率為
abc． d．3
【解析】由有,則,故選b.
7.（2009江西卷理）過橢圓()的左焦點作軸的垂線交橢圓於點，為右焦點，若，則橢圓的離心率為
abc． d
【解析】因為，再由有從而可得，故選b
8.（2009全國卷ⅱ理）已知雙曲線的右焦點為,過且斜率為的直線交於兩點，若,則的離心率 (a)
a． b. c. d.
9. （2008福建理11）雙曲線（a＞0,b＞0）的兩個焦點為f1、f2,若p為其上一點，且|pf1|=2|pf2|,則雙曲線離心率的取值範圍為（b）
a.(1,3bc.(3d.
利用第二定義及焦半徑判斷
10.（2008湖南理8）若雙曲線（a＞0,b＞0）上橫座標為的點到右焦點的距離大於它到左準線的距離，則雙曲線離心率的取值範圍是( b )
a.(1,2b.(2c.(1,5d. (5,+)
解析：利用第二定義
11.（2008江西理7）已知、是橢圓的兩個焦點，滿足的點總在橢圓內部，則橢圓離心率的取值範圍是（c）
a． b． c． d．
解析：滿足的點總在橢圓內部，所以c12.（2008全國二理9）設，則雙曲線的離心率的取值範圍是（ b ）
a． b． c． d．
13.（2008陝西理8）雙曲線（，）的左、右焦點分別是，過作傾斜角為的直線交雙曲線右支於點，若垂直於軸，則雙曲線的離心率為（ b ）
a． b． c． d．
14.（2008浙江理7）若雙曲線的兩個焦點到一條準線的距離之比為3：2,則雙曲線的離心率是（d）
（a）3 （b）5cd）
15.（2008全國二文11）設是等腰三角形，，則以為焦點且過點的雙曲線的離心率為（ b ）
a． bcd．
16.（2008湖南文10）雙曲線的右支上存在一點，它到右焦點及左準線的距離相等，則雙曲線離心率的取值範圍是( c )
ab． c． d．
利用焦半徑公式及，解不等式即可。
17.（2007全國2理）設分別是雙曲線的左、右焦點，若雙曲線上存在點，使且，則雙曲線的離心率為（ b ）
ab． c． d．
解18（07全國2文）．已知橢圓的長軸長是短軸長的2倍，則橢圓的離心率等於（ d ）
abcd．
19（07江蘇理3）．在平面直角座標系中，雙曲線中心在原點，焦點在軸上，一條漸近線方程為，則它的離心率為（a）
abcd．
（注意焦點在軸上）
20．設分別是橢圓（）的左、右焦點，若在其右準線上存在使線段的中垂線過點，則橢圓離心率的取值範圍是（ d ）
a． b． c． d．
21（07湖南文）．設分別是橢圓（）的左、右焦點，是其右準線上縱座標為（為半焦距）的點，且，則橢圓的離心率是（ d ）
abcd．
22（07北京文4）．橢圓的焦點為，，兩條準線與軸的交點分別為，若，則該橢圓離心率的取值範圍是（ d ）
23.（2009重慶卷文）已知橢圓的左、右焦點分別為，若橢圓上存在一點使，則該橢圓的離心率的取值範圍為
【答案】
. 解法1，因為在中，由正弦定理得
則由已知，得，即
設點由焦點半徑公式，得則
記得由橢圓的幾何性質知，整理得
解得，故橢圓的離心率
24.(2009湖南卷理)已知以雙曲線c的兩個焦點及虛軸的兩個端點為原點的四邊形中，有乙個內角為60 ，則雙曲線c的離心率為
【解析】連虛軸乙個端點、乙個焦點及原點的三角形，由條件知，這個三角形的兩邊直角分別是是虛半軸長，是焦半距，且乙個內角是，即得，所以，所以，離心率
25.（2008全國一理15）在中，，．若以為焦點的橢圓經過點，則該橢圓的離心率
26（2010遼寧文數）設雙曲線的乙個焦點為，虛軸的乙個端點為,如果直線與該雙曲線的一條漸近線垂直，那麼此雙曲線的離心率為
（a） （b） （c） （d）
解析：選d.不妨設雙曲線的焦點在軸上，設其方程為：，
則乙個焦點為
一條漸近線斜率為：，直線的斜率為：，，
，解得.
27（2010四川理數）（9）橢圓的右焦點，其右準線與軸的交點為a，在橢圓上存在點p滿足線段ap的垂直平分線過點，則橢圓離心率的取值範圍是
（abcd）
解析：由題意，橢圓上存在點p，使得線段ap的垂直平分線過點，
即f點到p點與a點的距離相等
而|fa|＝ ， |pf|∈[a－c,a＋c]，於是∈[a－c,a＋c]
即ac－c2≤b2≤ac＋c2
∴ 又e∈(0,1)故e∈
答案：d
28（2010廣東文數）7.若乙個橢圓長軸的長度、短軸的長度和焦距成等差數列，則該橢圓的離心率是
abcd.
（2010全國卷1文數）(16)已知是橢圓的乙個焦點，是短軸的乙個端點，線段的延長線交於點， 且，則的離心率為
【命題意圖】本小題主要考查橢圓的方程與幾何性質、第二定義、平面向量知識，考查了數形結合思想、方程思想,本題凸顯解析幾何的特點：「數研究形，形助數」，利用幾何性質可尋求到簡化問題的捷徑.
【解析1】如圖，,
作軸於點d1,則由，得
,所以,
即,由橢圓的第二定義得
又由,得
【解析2】設橢圓方程為第一標準形式，設，f分 bd所成的比為2，，代入
，（2010全國卷1理數）
（2010遼寧理數）(20)（本小題滿分12分）
設橢圓c：的左焦點為f，過點f的直線與橢圓c相交於a，b兩點，直線l的傾斜角為60o,.
(i) 求橢圓c的離心率；
(ii) 如果|ab|=，求橢圓c的方程.
解：設，由題意知＜0，＞0.
（ⅰ）直線l的方程為 ，其中.
聯立得解得
因為，所以.
即 得離心率6分
離心率問題
1.已知橢圓c 1 a b 0 的左焦點為f，橢圓c與過原點的直線相交於a，b兩點，連線af，bf.若 ab 10，af 6，cos abf 則c的離心率e 2.已知橢圓 1 a b 0 的兩焦點為f1 f2，以f1f2為邊作正三角形，若橢圓恰好平分正三角形的另兩條邊，則橢圓的離心率為 3.過點m ...
離心率的求法總結
圓錐曲線中的離心率問題 離心率兩大考點 求值 求範圍 求值 1.利用a與c的關係式 或齊次式 2.幾何法 3.與其它知識點結合 求範圍 1.利用圓錐曲線相關性質建立不等關係求解.2.運用數形結合建立不等關係求解 3.利用曲線的範圍，建立不等關係 4.運用函式思想求解離心率 5.運用判別式建立不等關係...
橢圓離心率的解法總結
橢圓的幾何性質中，對於離心率和離心率的取值範圍的處理，同學們很茫然，沒有方向性。題型變化很多，難以駕馭。以下，總結一些處理問題的常規思路，以幫助同學們理解和解決問題。一 運用幾何圖形中線段的幾何意義。基礎題目 如圖，o為橢圓的中心，f為焦點，a為頂點，準線l交oa於b，p q在橢圓上，pd l於d，...