如何研究圓錐曲線離心率的問題
南京市第一中學（210001） 孔凡海
在新課程中，圓錐曲線的離心率問題是高考中常考的問題，通常有兩類：一是求橢圓和雙曲線的離心率的值；二是求橢圓和雙曲線離心率的取值範圍。由於它涉及圓錐曲線較多的基本量，方程與曲線問題，方程組與不等式的求解問題，等等，所以相對比較複雜，學生常常感到難以下手，不好把握。
下面就通過近年的一些高考題和模擬題的分析、研究和求解，總結出一般的解題策略和方法。
1．求圓錐曲線離心率的值
例1．（2008江蘇）在平面直角座標系中，橢圓的焦距為，以o為圓心，為半徑的圓，過點作圓的兩切線互相垂直，則離心率
分析：如圖，，與圓o相切，由於切線，互相垂直，所以四邊形oapb為正方形，，這樣就得到乙個關於基本量，的齊次方程，從而求解出比值的值。
解：由已知條件，四邊形oapb為正方形，所以，所以，解出
，即例2．（2010南通二模）a，b是雙曲線c的兩個頂點，直線l與雙曲線c交於不同的兩點p，q，且與實軸垂直，若，則雙曲線c的離心率
分析：直線l的任意性，取特殊情況，例如，這樣可以得到結果。當然我們應用多項式恆等於0，可以得到對應的係數為0，從而得到乙個關於基本量的方程，再解出比值的值。
解：不妨設雙曲線c的方程，則，，
根據已知條件，設，，所以，，
由，得，又，所以，
即恆成立，所以，得，所以，
所以，從而。
2．求圓錐曲線離心率的取值範圍
例3．（2010四川）橢圓的右焦點f，其右準線與x軸的交點為a，在橢圓上存在點p滿足線段ap的垂直平分線過點f，則橢圓離心率的取值範圍是 ．
分析：由題意，橢圓上存在點p，使得線段ap的垂直平分線過點f，即f點到p點與a點的距離相等，。如果我們考慮幾何的大小，易知不超過，得到乙個關於基本量，，，的不等式，從而求出離心率的範圍；如果我們考慮，通過設橢圓上的點，注意到橢圓本身的範圍，也可以求出離心率的範圍。
解法1：由題意，橢圓上存在點p，使得線段ap的垂直平分線過點f，所以，
而，，所以，所以。
又，所以，所以，
即，又，所以
解法2：設點。由題意，橢圓上存在點p，使得線段ap的垂直平分線過點f，所以，由橢圓第二定義，，所以，
而，，所以，解出，
由於，所以，又，所以，
即，又，所以
例4．（2009重慶理）已知雙曲線的左、右焦點分別為，若雙曲線上存在一點使，則該雙曲線的離心率的取值範圍是
分析：由正弦定理，所以，又根據雙曲線的定義，，所以易得到，。因為，所以p點在
雙曲線的右半支上，如果我們考慮幾何的大小，易知，得到乙個關於基本量，，，的不等式，從而求出離心率的範圍；如果我們考慮，通過設雙曲線上的點，注意到雙曲線本身的範圍，也可以求出離心率的範圍。
解法1：在中，由正弦定理得，，所以，又根據雙曲線的定義，，所以易得到，，
由已知，，所以點p在雙曲線的右支上，所以，
所以，，因為，所以，所以。
解法2：設點。由雙曲線第二定義，，，所以，，，又，所以，。
在中，由正弦定理得，，所以，則，
所以，由已知，，所以點p在雙曲線的右支上，
所以，，因為，所以，所以。
例5．（2010南京三模）已知橢圓的焦點分別為，，若該橢圓上存在一點p，使得，則橢圓離心率的取值範圍是 ．
分析：如果我們考慮幾何的大小，我們發現噹噹p為橢圓的短軸的頂點b1（或b2）時∠f1pf2最大（需要證明），從而有0＜∠f1pf2≤∠f1 b1f2．（或），此時離心率，當橢圓比此時更圓，則就不存在點p，使得了，根據條件可得∠f1 b1f2≥60°，易得≥，故≤e＜1。；如果我們考慮，通過設橢圓點，利用橢圓本身的範圍，也可以求出該橢圓離心率的取值範圍。
解法1：首先證明，在三角形中，由餘弦定理，
當且僅當時，等號成立，即當m與橢圓的短軸的頂點（或）重合時最大。
餘同分析。
解法2：設點。由橢圓第二定義，，，所以，，，又，所以，，在三角形中，由餘弦定理，，
代入並整理得，而，所以，，又，所以。
3．總結：
（1）．圓錐曲線離心率的問題，通常有兩類：一是求橢圓和雙曲線的離心率；二是求橢圓和雙曲線離心率的取值範圍。
（2）．一般來說，求橢圓（或雙曲線）的離心率，只需要由條件得到乙個關於基本量，，，的乙個方程，就可以從中求出離心率。
（3）．一般來說，求橢圓（或雙曲線）的離心率的取值範圍，通常可以從三個方面來研究：一是考慮幾何的大小，例如線段的長度、角的大小等；二是通過設橢圓（或雙曲線）點的座標，利用橢圓（或雙曲線）本身的範圍。
（4）．離心率是描述圓錐曲線性質的乙個關鍵量，它是乙個比值，它與圓錐曲線的大小無關，只與其形狀有關。在橢圓中，離心率越大，橢圓越扁平，離心率越小，橢圓越圓，橢圓離心率的取值範圍；在雙曲線中，離心率越大，雙曲線的形狀從扁狹逐漸變得開闊，即雙曲線的「張口」逐漸增大，雙曲線離心率的取值範圍；在拋物線中，離心率。
求圓錐曲線的離心率的方法
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解圓錐曲線離心率的求法大全
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求解圓錐曲線離心率的常用方法人教版
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