尹建堂圓錐曲線的光學性質源於它的切線和法線的性質，因而為正確理解與掌握其光學性質，就要掌握其切線、法線方程的求法及性質。
該方程的推導，原則上用「△法」求出在點p處的切線斜率，進而用點斜式寫出切線方程，則在點p處的法線方程為。
1、拋物線的切線、法線性質
經過拋物線上一點作一條直線平行於拋物線的軸，那麼經過這一點的法線平分這條直線和這一點的焦半徑的夾角。如圖1中。
事實上，設為拋物線上一點，則切線mt的方程可由替換法則，得，即，斜率為，於是得在點m處的法線方程為
令，得法線與x軸的交點n的座標為，
所以又焦半徑
所以，從而得即
當點m與頂點o重合時，法線為x軸，結論仍成立。
所以過m的法線平分這條直線和這一點的焦半徑的夾角。
也可以利用點m處的切線方程求出，則，又故，從而得
也可以利用到角公式來證明
拋物線的這個性質的光學意義是：「從焦點發出的光線，經過拋物線上的一點反射後，反射光線平行於拋物線的軸」。
2、橢圓的切線、法線性質
經過橢圓上一點的法線，平分這一點的兩條焦點半徑的夾角。如圖2中
證明也不難，分別求出，然後用到角公式即可獲證。
橢圓的這個性質的光學意義是：「從橢圓的乙個焦點發出的光線，經過橢圓反射後，反射光線交於橢圓的另乙個焦點上」。
3、雙曲線的切線、法線性質
經過雙曲線上一點的切線，平分這一點的兩條焦點半徑的夾角，如圖3中。仍可利用到角公式獲證。
這個性質的光學意義是：「從雙曲線的乙個焦點發出的光線，經過雙曲線反射後，反射光線是散開的，它們就好像是從另乙個焦點射出的一樣」。
二、圓錐曲線光學性質的應用
光學性質在生產和科學技術上有著廣泛地應用。這裡僅舉例說明這些光學性質在解圓錐曲線的有關問題中的應用。
應用圓錐曲線光學性質解題，特別是切線問題是十分方便的。其間要注意乙個基本關係式的應用，即「過投射點的曲線的切線與入射線、反射線成等角」。如圖4，mn切曲線c於點p，則∠apm＝∠bpn。
這是很容易由物理學的「入射角等於反射角」及平面幾何中「等角的餘角相等來證明的。
例1求證：橢圓和雙曲線在交點處的切線互相垂直。
分析：如圖5，用圓錐曲線光學性質證明∠1＋∠3＝90°即可。
證明：如圖5，兩曲線的公共焦點，設p為兩曲線的乙個交點，pq、pr分別為橢圓、雙曲線的切線，連，並延長，由橢圓光學性質，推得∠1＝∠2；由雙曲線光學性質，得∠3＝∠4。
又∠2＝∠5，∠4＝∠6（對頂角相等），
所以∠1＝∠5，∠3＝∠6（等量代換）。
又∠1＋∠3＋∠5＋∠6＝180°，
所以∠1＋∠3＝90°，即pq⊥pr，命題得證。
評注：（1）本題也可採用代數運算證出的方法來證明，但比較複雜。這裡採用光學性質證明法則直觀簡捷。
（2）由本題得到乙個一般性命題：焦點相同的乙個橢圓與一雙曲線在交點處的切線互相垂直，於是有定義：兩圓錐曲線在交點處的兩條切線互相垂直，叫做這兩曲直交。
例2如圖6，已知是橢圓的焦點，分別是在橢圓任一切線cd上的射影。（1）求證：為定值；（2）求的軌跡方程。
分析：（1）欲證為定值，即證為定值（由光學性質推得），從而知應用餘弦定理於即可獲證。）（2）求出分別為定值即知其軌跡，易得軌跡方程。
證明：（1）設q為切線，由橢圓光學性質推知設為，則
所以又，則在中，
則所以為常數，即定值。
（2）設點o在cd上的射影為m，則om是直角梯形的中位線，於是有。
在中，同理
所以的軌跡是以o為圓心，a為半徑的圓，其方程為
例3設拋物線的焦點為f，以f與a（4，4）為焦點作橢圓，使其與已知拋物線有公共點（如圖7），當長軸最短時，求橢圓方程。
分析：求解的關鍵是光線fp的反射線pa平行於x軸。
解：設以點a（4，4）、f（4，0）為焦點的橢圓為（a為長半軸長）。①
再設p為拋物線與橢圓的公共點，
由橢圓第一定義知：
②即長軸長2a等於拋物線上一點p到兩定點a、f距離之和，若2a最小，當且僅當橢圓與拋物線相切。此時，由圓錐曲線的光學性質知，光線fp的反射線pa平行於x軸。
所以p（1，4）。由②知
所以所求的橢圓方程為
例4如圖8，已知探照燈的軸截面是拋物線，平行於對稱軸的光線於此拋物線上的入射點、反射點分別為p、q，設點p的縱座標為，當a為何值時，從入射點p到反射點q的路程pq最短？
分析：設，由拋物線光學性質知pq過焦點，故可用弦長公式建立目標函式，求出最小值條件a即可。
解：由拋物線光學性質知光線pq必過其焦點，設點，則直線pq的方程為
①將方程代入①，消去x，得
或故知點q座標為
則當且僅當，即時，等號成立。
此刻，即當時，亦即入射點、反射點時最短，過時p、q恰好關於x軸對稱。
圓錐曲線光學性質的證明及應用初探
圓錐曲線光學性質及生活中的應用 杭州高階中學高二 12 汪愈超 湯凱楠 王小川 學習完圓錐曲線的方程和性質後，課本上有幾條未證明的性質引起了我們的興趣，在反覆查詢資料，推理演算下，總算是確定了三條待證命題，大致地完成了其證明，並且找到了一些圓錐曲線在實際中的神奇應用。一 圓錐曲線的光學性質 首先說明...
圓錐曲線性質總結
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圓錐曲線性質專題
考點1 定義和性質 1.若橢圓的對稱軸為座標軸，長軸長與短軸長的和為，焦距為，則橢圓的方程為 a b c 或 d 以上都不對 2.動點到點及點的距離之差為，則點的軌跡是 a 雙曲線b 雙曲線的一支 c 兩條射線d 一條射線 3.設雙曲線的右焦點是f，左 右頂點分別是,過f做的垂線與雙曲線交於b，c兩...