橢圓與雙曲線的對偶性質--（必背的經典結論）
橢圓1. 點p處的切線pt平分△pf1f2在點p處的外角.
2. pt平分△pf1f2在點p處的外角，則焦點在直線pt上的射影h點的軌跡是以長軸為直徑的圓，除去長軸的兩個端點.
3. 以焦點弦pq為直徑的圓必與對應準線相離.
4. 以焦點半徑pf1為直徑的圓必與以長軸為直徑的圓內切.
5. 若在橢圓上，則過的橢圓的切線方程是.
6. 若在橢圓外 ，則過po作橢圓的兩條切線切點為p1、p2，則切點弦p1p2的直線方程是.
7. 橢圓(a＞b＞0)的左右焦點分別為f1，f 2，點p為橢圓上任意一點，則橢圓的焦點角形的面積為.
8. 橢圓（a＞b＞0）的焦半徑公式：
, ( , ).
9. 設過橢圓焦點f作直線與橢圓相交 p、q兩點，a為橢圓長軸上乙個頂點，鏈結ap 和aq分別交相應於焦點f的橢圓準線於m、n兩點，則mf⊥nf.
10. 過橢圓乙個焦點f的直線與橢圓交於兩點p、q, a1、a2為橢圓長軸上的頂點，a1p和a2q交於點m，a2p和a1q交於點n，則mf⊥nf.
11. ab是橢圓的不平行於對稱軸的弦，m為ab的中點，則，
即。12. 若在橢圓內，則被po所平分的中點弦的方程是.
13. 若在橢圓內，則過po的弦中點的軌跡方程是.
雙曲線1. 點p處的切線pt平分△pf1f2在點p處的內角.
2. pt平分△pf1f2在點p處的內角，則焦點在直線pt上的射影h點的軌跡是以長軸為直徑的圓，除去長軸的兩個端點.
3. 以焦點弦pq為直徑的圓必與對應準線相交.
4. 以焦點半徑pf1為直徑的圓必與以實軸為直徑的圓相切.（內切：p在右支；外切：p在左支）
5. 若在雙曲線（a＞0,b＞0）上，則過的雙曲線的切線方程是.
6. 若在雙曲線（a＞0,b＞0）外 ，則過po作雙曲線的兩條切線切點為p1、p2，則切點弦p1p2的直線方程是.
7. 雙曲線（a＞0,b＞o）的左右焦點分別為f1，f 2，點p為雙曲線上任意一點，則雙曲線的焦點角形的面積為.
8. 雙曲線（a＞0,b＞o）的焦半徑公式：(,
當在右支上時，,.
當在左支上時，,
9. 設過雙曲線焦點f作直線與雙曲線相交 p、q兩點，a為雙曲線長軸上乙個頂點，鏈結ap 和aq分別交相應於焦點f的雙曲線準線於m、n兩點，則mf⊥nf.
10. 過雙曲線乙個焦點f的直線與雙曲線交於兩點p、q, a1、a2為雙曲線實軸上的頂點，a1p和a2q交於點m，a2p和a1q交於點n，則mf⊥nf.
11. ab是雙曲線（a＞0,b＞0）的不平行於對稱軸的弦，m為ab的中點，則，即。
12. 若在雙曲線（a＞0,b＞0）內，則被po所平分的中點弦的方程是.
13. 若在雙曲線（a＞0,b＞0）內，則過po的弦中點的軌跡方程是.
橢圓與雙曲線的對偶性質--（會推導的經典結論）
橢圓1. 橢圓（a＞b＞o）的兩個頂點為,，與y軸平行的直線交橢圓於p1、p2時a1p1與a2p2交點的軌跡方程是.
2. 過橢圓(a＞0, b＞0)上任一點任意作兩條傾斜角互補的直線交橢圓於b,c兩點，則直線bc有定向且（常數）.
3. 若p為橢圓（a＞b＞0）上異於長軸端點的任一點,f1, f 2是焦點, ,，則.
4. 設橢圓（a＞b＞0）的兩個焦點為f1、f2,p（異於長軸端點）為橢圓上任意一點，在△pf1f2中，記, ,，則有.
5. 若橢圓（a＞b＞0）的左、右焦點分別為f1、f2，左準線為l，則當0＜e≤時，可在橢圓上求一點p，使得pf1是p到對應準線距離d與pf2的比例中項.
6. p為橢圓（a＞b＞0）上任一點,f1,f2為二焦點，a為橢圓內一定點，則,當且僅當三點共線時，等號成立.
7. 橢圓與直線有公共點的充要條件是.
8. 已知橢圓（a＞b＞0），o為座標原點，p、q為橢圓上兩動點，且.（1）;（2）|op|2+|oq|2的最大值為;（3）的最小值是.
9. 過橢圓（a＞b＞0）的右焦點f作直線交該橢圓右支於m,n兩點，弦mn的垂直平分線交x軸於p，則.
10. 已知橢圓（ a＞b＞0） ,a、b、是橢圓上的兩點，線段ab的垂直平分線與x軸相交於點, 則.
11. 設p點是橢圓（ a＞b＞0）上異於長軸端點的任一點,f1、f2為其焦點記，則(1).(2).
12. 設a、b是橢圓（ a＞b＞0）的長軸兩端點，p是橢圓上的一點，, ,，c、e分別是橢圓的半焦距離心率，則有(1).(2).(3).
13. 已知橢圓（ a＞b＞0）的右準線與x軸相交於點，過橢圓右焦點的直線與橢圓相交於a、b兩點,點在右準線上，且軸，則直線ac經過線段ef 的中點.
14. 過橢圓焦半徑的端點作橢圓的切線，與以長軸為直徑的圓相交，則相應交點與相應焦點的連線必與切線垂直.
15. 過橢圓焦半徑的端點作橢圓的切線交相應準線於一點，則該點與焦點的連線必與焦半徑互相垂直.
16. 橢圓焦三角形中,內點到一焦點的距離與以該焦點為端點的焦半徑之比為常數e(離心率).
（注:在橢圓焦三角形中,非焦頂點的內、外角平分線與長軸交點分別稱為內、外點.）
17. 橢圓焦三角形中,內心將內點與非焦頂點連線段分成定比e.
18. 橢圓焦三角形中,半焦距必為內、外點到橢圓中心的比例中項.
橢圓與雙曲線的對偶性質--（會推導的經典結論）
雙曲線1. 雙曲線（a＞0,b＞0）的兩個頂點為,，與y軸平行的直線交雙曲線於p1、p2時a1p1與a2p2交點的軌跡方程是.
2. 過雙曲線（a＞0,b＞o）上任一點任意作兩條傾斜角互補的直線交雙曲線於b,c兩點，則直線bc有定向且（常數）.
3. 若p為雙曲線（a＞0,b＞0）右（或左）支上除頂點外的任一點,f1, f 2是焦點, ,，則（或）.
4. 設雙曲線（a＞0,b＞0）的兩個焦點為f1、f2,p（異於長軸端點）為雙曲線上任意一點，在△pf1f2中，記, ,，則有.
5. 若雙曲線（a＞0,b＞0）的左、右焦點分別為f1、f2，左準線為l，則當1＜e≤時，可在雙曲線上求一點p，使得pf1是p到對應準線距離d與pf2的比例中項.
6. p為雙曲線（a＞0,b＞0）上任一點,f1,f2為二焦點，a為雙曲線內一定點，則,當且僅當三點共線且和在y軸同側時，等號成立.
7. 雙曲線（a＞0,b＞0）與直線有公共點的充要條件是.
8. 已知雙曲線（b＞a ＞0），o為座標原點，p、q為雙曲線上兩動點，且.
（1）;（2）|op|2+|oq|2的最小值為;（3）的最小值是.
9. 過雙曲線（a＞0,b＞0）的右焦點f作直線交該雙曲線的右支於m,n兩點，弦mn的垂直平分線交x軸於p，則.
10. 已知雙曲線（a＞0,b＞0）,a、b是雙曲線上的兩點，線段ab的垂直平分線與x軸相交於點, 則或.
11. 設p點是雙曲線（a＞0,b＞0）上異於實軸端點的任一點,f1、f2為其焦點記，則(1).(2).
12. 設a、b是雙曲線（a＞0,b＞0）的長軸兩端點，p是雙曲線上的一點，, ,，c、e分別是雙曲線的半焦距離心率，則有(1).(2).(3).
13. 已知雙曲線（a＞0,b＞0）的右準線與x軸相交於點，過雙曲線右焦點的直線與雙曲線相交於a、b兩點,點在右準線上，且軸，則直線ac經過線段ef 的中點.
14. 過雙曲線焦半徑的端點作雙曲線的切線，與以長軸為直徑的圓相交，則相應交點與相應焦點的連線必與切線垂直.
15. 過雙曲線焦半徑的端點作雙曲線的切線交相應準線於一點，則該點與焦點的連線必與焦半徑互相垂直.
16. 雙曲線焦三角形中,外點到一焦點的距離與以該焦點為端點的焦半徑之比為常數e(離心率).
(注:在雙曲線焦三角形中,非焦頂點的內、外角平分線與長軸交點分別稱為內、外點).
17. 雙曲線焦三角形中,其焦點所對的旁心將外點與非焦頂點連線段分成定比e.
18. 雙曲線焦三角形中,半焦距必為內、外點到雙曲線中心的比例中項.
拋物線焦點弦性質總結30條
基礎回顧
1. 以ab為直徑的圓與準線相切；
2. ;
3. ;
4. ;
5. ;
6. ;
7. ;
8. a、o、三點共線；
9. b、o、三點共線；
10. ；
11. （定值）；
12. ；；
13. 垂直平分；
14. 垂直平分；
15. ；
16. ；
17. ；
18. ；
19. ;
20. ;
21. .
22. 切線方程高考資源網
性質深究
一)焦點弦與切線
1、 過拋物線焦點弦的兩端點作拋物線的切線，兩切線交點位置有何特殊之處？
結論1：交點在準線上
先猜後證：當弦軸時，則點p的座標為在準線上．
證明: 從略
結論2 切線交點與弦中點連線平行於對稱軸
結論3 弦ab不過焦點即切線交點p不在準線上時，切線交點與弦中點的連線也平行於對稱軸．
2、上述命題的逆命題是否成立？
結論4 過拋物線準線上任一點作拋物線的切線，則過兩切點的弦必過焦點
先猜後證：過準線與x軸的交點作拋物線的切線，則過兩切點ab的弦必過焦點．
結論5過準線上任一點作拋物線的切線，過兩切點的弦最短時，即為通徑．
3、ab是拋物線（p＞0）焦點弦，q是ab的中點，l是拋物線的準線，，，過a，b的切線相交於p，pq與拋物線交於點m．則有
結論6pa⊥pb．
結論7pf⊥ab．
結論8 m平分pq．
結論9 pa平分∠a1ab，pb平分∠b1ba．
結論10
結論11
二)非焦點弦與切線
思考：當弦ab不過焦點，切線交於p點時，
也有與上述結論類似結果：
結論12 ①，
結論13 pa平分∠a1ab，同理pb平分∠b1ba．
結論14
結論15 點m平分pq
結論16
相關考題
1、已知拋物線的焦點為f，a，b是拋物線上的兩動點，且（＞0），過a，b兩點分別作拋物線的切線，設其交點為m，
（1）證明：的值；
（2）設的面積為s，寫出的表示式，並求s的最小值．
2、已知拋物線c的方程為，焦點為f，準線為l，直線m交拋物線於兩點a，b；
（1）過點a的拋物線c的切線與y軸交於點d，求證：；
（2）若直線m過焦點f，分別過點a，b的兩條切線相交於點m，求證：am⊥bm，且點m在直線l上．
3、對每個正整數n，是拋物線上的點，過焦點f的直線fan交拋物線於另一點， （1）試證：（n≥1）
（2）取，並cn為拋物線上分別以an與bn為切點的兩條切線的交點，求證：（n≥1）
高考圓錐曲線經典題型
圓錐曲線題型 第一定義 第二定義 雙曲線漸近線等考查 1 設雙曲線的 個焦點為f 虛軸的 個端點為b，如果直線fb與該雙曲線的一條漸 近線垂直，那麼此雙曲線的離心率為 a b c d 答案 d 2 設拋物線y2 8x的焦點為f，準線為l,p為拋物線上一點,pa l,a為垂足 如果直線af的斜率為,那...
圓錐曲線性質總結
橢圓的定義 標準方程 圖象及幾何性質 雙曲線的定義 標準方程 圖象及幾何性質 拋物線的定義 標準方程 圖象及幾何性質 圓錐曲線的統一定義 若平面內乙個動點到乙個定點和一條定直線的距離之比等於乙個常數，則動點的軌跡為圓錐曲線。其中定點為焦點，定直線為準線，為離心率。當時，軌跡為橢圓 當時，軌跡為拋物線...
圓錐曲線性質專題
考點1 定義和性質 1.若橢圓的對稱軸為座標軸，長軸長與短軸長的和為，焦距為，則橢圓的方程為 a b c 或 d 以上都不對 2.動點到點及點的距離之差為，則點的軌跡是 a 雙曲線b 雙曲線的一支 c 兩條射線d 一條射線 3.設雙曲線的右焦點是f，左 右頂點分別是,過f做的垂線與雙曲線交於b，c兩...