圓錐曲線題型
第一定義、第二定義、雙曲線漸近線等考查
1、設雙曲線的—個焦點為f；虛軸的—個端點為b，如果直線fb與該雙曲線的一條漸
近線垂直，那麼此雙曲線的離心率為
(a) (b) (c) (d)
【答案】d
2、設拋物線y2=8x的焦點為f，準線為l,p為拋物線上一點,pa⊥l,a為垂足．如果直線af的斜率為,那麼|pf|=
(a) (b)8 (c) (d) 16
【答案】b
3、動點到點的距離與它到直線的距離相等，則的軌跡方程為 y28x 。
4、已知拋物線的準線為，過且斜率為的直線與相交於點，與的乙個交點為．若，則
若雙曲線-=1(b>0)的漸近線方程式為y=，則ｂ等於 。
【答案】1
5、已知橢圓的兩焦點為,點滿足,則||+|的取值範圍為_______，直線與橢圓c的公共點個數_____。
6、已知點p是雙曲線右支上一點，、分別是雙曲線的左、右焦點，i為的內心，若成立，則雙曲線的離心率為（▲ ）
a．4 b． c．2 d．
8、到兩互相垂直的異面直線的距離相等的點，在過其中一條直線且平行於另一條直線的平面內的軌跡是
a. 直線 b. 橢圓 c. 拋物線 d. 雙曲線
解析：排除法軌跡是軸對稱圖形，排除a、c，軌跡與已知直線不能有交點，排除b
9、橢圓的右焦點，其右準線與軸的交點為a，在橢圓上存在點p滿足線段ap的垂直平分線過點，則橢圓離心率的取值範圍是
（abcd）
解析：由題意，橢圓上存在點p，使得線段ap的垂直平分線過點，
即f點到p點與a點的距離相等
而|fa|＝
|pf|∈[a－c,a＋c]
於是∈[a－c,a＋c]
即ac－c2≤b2≤ac＋c2
∴又e∈(0,1)
故e∈答案：d
10、若點o和點分別是雙曲線的中心和左焦點,點p為雙曲線右支上的任意一點,則的取值範圍為 ( )
a． b． c． d．
【答案】b
11、已知有公共焦點的橢圓與雙曲線中心為原點，焦點在軸上，左右焦點分別為，且它們在第一象限的交點為p，是以為底邊的等腰三角形.若，雙曲線的離心率的取值範圍為.則該橢圓的離心率的取值範圍是
12、已知雙曲線的左頂點為，右焦點為，為雙曲線右支上一點，則的最小值為
13、直線過雙曲線的右焦點且與雙曲線的兩條漸近線分別交於，兩點，若原點在以為直徑的圓外，則雙曲線離心率的取值範圍是
14、已知、為雙曲線c:的左、右焦點，點p在c上，∠ =，則
(a)2 (b)4 (c) 6 (d) 8
15、已知、為雙曲線c:的左、右焦點，點p在c上，∠ p=，則p到x軸的距離為
(a) (b) (c) (d)
16、 已知以f為焦點的拋物線上的兩點a、b滿足,則弦ab的中點到準線的距離為
解析：設bf=m,由拋物線的定義知
中，ac=2m,ab=4m,
直線ab方程為
與拋物線方程聯立消y得
所以ab中點到準線距離為
17、已知橢圓的方程為，、和為的三個頂點.
（1）若點滿足，求點的座標；
（2）設直線交橢圓於、兩點，交直線於點.若，證明：為的中點；
（3）設點在橢圓內且不在軸上，如何構作過中點的直線，使得與橢圓的兩個交點、滿足？令，，點的座標是（-8，-1），若橢圓上的點、滿足，求點、的座標.
解析：(1) ；
(2) 由方程組，消y得方程，
因為直線交橢圓於、兩點，
所以》0，即，
設c(x1,y1)、d(x2,y2)，cd中點座標為(x0,y0)，
則，由方程組，消y得方程(k2k1)xp，
又因為，所以，
故e為cd的中點；
(3) 因為點p在橢圓γ內且不在x軸上，所以點f在橢圓γ內，可以求得直線of的斜率k2，由知f為p1p2的中點，根據(2)可得直線l的斜率，從而得直線l的方程．
，直線of的斜率，直線l的斜率，
解方程組，消y：x22x480，解得p1(6,4)、p2(8,3)．
18、己知斜率為1的直線l與雙曲線c：相交於b、d兩點，且bd的中點為．
（ⅰ）求c的離心率；
（ⅱ）設c的右頂點為a，右焦點為f，，證明：過a、b、d三點的圓與x軸相切．
19、橢圓經過點，對稱軸為座標軸，
焦點在軸上，離心率。
(ⅰ)求橢圓的方程；
(ⅱ)求的角平分線所在直線的方程。
20、 已知拋物線的焦點為f，過點的直線與相交於、兩點，點a關於軸的對稱點為d.
（ⅰ）證明：點f在直線bd上；
（ⅱ）設，求的內切圓m的方程 .
21、（2010江蘇卷）在平面直角座標系中，如圖，已知橢圓的左、右頂點為a、b，右焦點為f。設過點t（）的直線ta、tb與橢圓分別交於點m、，其中m>0,。
（1）設動點p滿足,求點p的軌跡；
（2）設，求點t的座標；
（3）設,求證：直線mn必過x軸上的一定點（其座標與m無關）。
22、在直角座標系中，點m到點的距離之和是4，點m的軌跡是c與x軸的負半軸交於點a，不過點a的直線與軌跡c交於不同的兩點p和q.
（i）求軌跡c的方程；
（ii）當時，求k與b的關係，並證明直線過定點.
解：（1）的距離之和是4，
的軌跡c是長軸為4，焦點在x軸上焦中為的橢圓，
其方程為 …………3分
（2）將，代入曲線c的方程，
整理得5分因為直線與曲線c交於不同的兩點p和q，
所以①設，則
7分且③
顯然，曲線c與x軸的負半軸交於點a（-2，0），所以由
將②、③代入上式，整理得 …………10分
所以即經檢驗，都符合條件①
當b=2k時，直線的方程為
顯然，此時直線經過定點（-2，0）點.
即直線經過點a，與題意不符.
當時，直線的方程為
顯然，此時直線經過定點點，且不過點a.
綜上，k與b的關係是：
且直線經過定點點13分
23、已知中心在原點，焦點在軸上的橢圓c的離心率為，且經過點，過點p（2，1）的直線與橢圓c在第一象限相切於點m .
（1）求橢圓c的方程；
（2）求直線的方程以及點m的座標；
（3））是否存過點p的直線與橢圓c相交於不同的兩點a、b，滿足？若存在，求出直線l1的方程；若不存在，請說明理由.
解（ⅰ）設橢圓c的方程為，由題意得
解得，故橢圓c的方程為.……………………4分
（ⅱ）因為過點p（2，1）的直線l與橢圓在第一象限相切，所以l的斜率存在，故可調直線l的議程為
由得. ①
因為直線與橢圓相切，所以
整理，得解得[
所以直線l方程為
將代入①式，可以解得m點橫座標為1，故切點m座標為…………9分
（ⅲ）若存在直線l1滿足條件，的方程為，代入橢圓c的方程得
因為直線l1與橢圓c相交於不同的兩點a，b，設a，b兩點的座標分別為
所以所以.
又， 因為即，
所以.即所以，解得
因為a，b為不同的兩點，所以.
於是存在直線1滿足條件，其方程為13分
24、直線的右支交於不同的兩點a、b.
（i）求實數k的取值範圍；
（ii）是否存在實數k，使得以線段ab為直徑的圓經過雙曲線c的右焦點f？若存在，求出k的值；若不存在，說明理由.
答案：.解：（ⅰ）將直線
……①依題意，直線l與雙曲線c的右支交於不同兩點，故
（ⅱ）設a、b兩點的座標分別為、，則由①式得
……②假設存在實數k，使得以線段ab為直徑的圓經過雙曲線c的右焦點f（c,0）.
則由fa⊥fb得：
整理得……③
把②式及代入③式化簡得
解得可知使得以線段ab為直徑的圓經過雙曲線c的右焦點.
高考圓錐曲線最經典題型總結
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