二、雙曲線
1、（21）（本小題滿分14分）08天津
已知中心在原點的雙曲線c的乙個焦點是，一條漸近線的方程是.
（ⅰ）求雙曲線c的方程；
（ⅱ）若以為斜率的直線與雙曲線c相交於兩個不同的點m，n，線段mn的垂直平分線與兩座標軸圍成的三角形的面積為，求的取值範圍.
（21）本小題主要考查雙曲線的標準方程和幾何性質、直線方程、兩條直線垂直、線段的定比分點等基礎知識，考查曲線和方程的關係等解析幾何的基本思想方法，考查推理運算能力．滿分14分．
（ⅰ）解：設雙曲線的方程為（）．由題設得
，解得，所以雙曲線方程為．
（ⅱ）解：設直線的方程為（）．點，的座標滿足方程組
將①式代入②式，得，整理得．
此方程有兩個一等實根，於是，且．整理得． ③
由根與係數的關係可知線段的中點座標滿足
，．從而線段的垂直平分線方程為．
此直線與軸，軸的交點座標分別為，．由題設可得．整理得，．
將上式代入③式得，整理得，．
解得或．所以的取值範圍是
2、（2008上海理18）已知雙曲線，為上的任意點。
（1）求證：點到雙曲線的兩條漸近線的距離的乘積是乙個常數；
（2）設點的座標為，求的最小值；
解；（1）設是雙曲線上任意一點，該雙曲的兩條漸近線方程分別是和
點到兩條漸近線的距離分別是和，
它們的乘積是.點到雙曲線的兩條漸線的距離的乘積是一常數
（2）設的座標為，則
， 當時，的最小值為，
即的最小值為
3、（2007湖南理20）
已知雙曲線的左、右焦點分別為，，過點的動直線與雙曲線相交於兩點.
（i）若動點滿足（其中為座標原點），求點的軌跡方程；
（ii）在軸上是否存在定點，使·為常數？若存在，求出點的座標；
若不存在，請說明理由.
解：由條件知，，設，.
解法一：（i）設，則則，，
，由得即於是的中點座標為.
當不與軸垂直時，，即.
又因為兩點在雙曲線上，所以，，兩式相減得
，即.將代入上式，化簡得.
當與軸垂直時，，求得，也滿足上述方程.
所以點的軌跡方程是.
（ii）假設在軸上存在定點，使為常數.
當不與軸垂直時，設直線的方程是.
代入有.
則是上述方程的兩個實根，所以，，於是.
因為是與無關的常數，所以，即，此時=.
當與軸垂直時，點的座標可分別設為，，
此時.故在軸上存在定點，使為常數.
解法二：（i）同解法一的（i）有
當不與軸垂直時，設直線的方程是.
代入有.
則是上述方程的兩個實根，所以.
. 由①②③得.…………..…④
當時，，由④⑤得，，將其代入⑤有
.整理得.當時，點座標為，滿足上述方程.
當與軸垂直時，，求得，也滿足上述方程.
故點的軌跡方程是.
（ii）假設在軸上存在定點點，使為常數，
當不與軸垂直時，由（i）有，.
以上同解法一的（ii）.
4、21．（本小題滿分12分）06山東
雙曲線c與橢圓有相同的焦點，直線為c的一條漸近線。
（1）求雙曲線c的方程；
（2）過點的直線，交雙曲線c於a、b兩點，交軸於q點（q點與c的頂點不重合），當，且時，求點的座標。
解：（ⅰ）設雙曲線方程為由橢圓
求得兩焦點為，對於雙曲線，又為雙曲線的一條漸近線
解得 ，雙曲線的方程為
（ⅱ）解法一：由題意知直線的斜率存在且不等於零。
設的方程：，
則在雙曲線上，
同理有：
若則直線過頂點，不合題意.
是二次方程的兩根.
，此時.所求的座標為.
解法二：由題意知直線的斜率存在且不等於零
設的方程，，則.，分的比為.
由定比分點座標公式得
下同解法一
解法三：由題意知直線的斜率存在且不等於零
設的方程：，則.
， .
， ，，
又，即將代入得
，否則與漸近線平行。
。解法四：由題意知直線l得斜率k存在且不等於零，設的方程：，
則 , 。
同理 .
即又消去y得.
當時，則直線l與雙曲線得漸近線平行，不合題意，。
由韋達定理有： 代入（*）式得所求q點的座標為
［例1］求經過兩點p1（2，1）和p2（m，2）（m∈r)的直線l的斜率，並且求出l的傾斜角α及其取值範圍.
選題意圖：考查傾斜角與斜率之間的關係及斜率公式.
解：(1)當m=2時，x1＝x2＝2，∴直線l垂直於x軸，因此直線的斜率不存在，傾斜角α=
(2)當m≠2時，直線l的斜率k=∵m＞2時，k＞0.
∴α=arctan,α∈（0，），
∵當m＜2時，k＜0
∴α＝π＋arctan，α∈(,π).
說明：利用斜率公式時，應注意斜率公式的應用範圍.
［例2］若三點a(－2，3），b（3，－2），c（，m）共線，求m的值.
選題意圖：考查利用斜率相等求點的座標的方法.
解：∵a、b、c三點共線，
∴ｋab＝ｋac，
解得m=.
說明：若三點共線，則任意兩點的斜率都相等，此題也可用距離公式來解.
［例3］已知兩點a(－1,－5),b(3,－2),直線l的傾斜角是直線ab傾斜角的一半，求直線l的斜率.
選題意圖：強化斜率公式.
解：設直線l的傾斜角α，則由題得直線ab的傾斜角為2α.
∵tan2α=ｋab=
即3tan2α+8tanα－3=0，
解得tanα＝或tanα＝－3.
∵tan2α＝＞0,∴0°＜2α＜90°,
0°＜α＜45°，
∴tanα＝.
因此，直線l的斜率是
說明：由2α的正切值確定α的範圍及由α的範圍求α的正切值是本例解法中易忽略的地方.
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