例1、已知三角形abc的三個頂點均在橢圓上，且點a是橢圓短軸的乙個端點（點a在y軸正半軸上）.
（1）若三角形abc的重心是橢圓的右焦點，試求直線bc的方程;
（2）若角a為，ad垂直bc於d，試求點d的軌跡方程.
分析：第一問抓住「重心」，利用點差法及重心座標公式可求出中點弦bc的斜率，從而寫出直線bc的方程。第二問抓住角a為可得出ab⊥ac，從而得，然後利用聯立消元法及交軌法求出點d的軌跡方程；
解：（1）設b（,）,c(,),bc中點為(),f(2,0)則有
兩式作差有 (1)
f(2,0)為三角形重心，所以由，得，由得，代入（1）得
直線bc的方程為
2)由ab⊥ac得 （2）
設直線bc方程為，得，
代入（2）式得，解得或
直線過定點（0，，設d（x,y），則，即
所以所求點d的軌跡方程是。
例2已知雙曲線，直線過點，斜率為，當時，雙曲線的上支上有且僅有一點b到直線的距離為，試求的值及此時點b的座標。
分析1：解析幾何是用代數方法來研究幾何圖形的一門學科，因此，數形結合必然是研究解析幾何問題的重要手段. 從「有且僅有」這個微觀入手，對照草圖，不難想到：
過點b作與平行的直線，必與雙曲線c相切. 而相切的代數表現形式是所構造方程的判別式. 由此出發，可設計如下解題思路：
解題過程略.
分析2：如果從代數推理的角度去思考，就應當把距離用代數式表達，即所謂「有且僅有一點b到直線的距離為」，相當於化歸的方程有唯一解. 據此設計出如下解題思路：
簡解：設點為雙曲線c上支上任一點，則點m到直線的距離為：
於是，問題即可轉化為如上關於的方程.
由於，所以，從而有
於是關於的方程
由可知：
方程的二根同正，故恆成立，於是等價於
. 由如上關於的方程有唯一解，得其判別式，就可解得 .
點評：上述解法緊扣解題目標，不斷進行問題轉換，充分體現了全域性觀念與整體思維的優越性.
例3橢圓長軸端點為，為橢圓中心，為橢圓的右焦點，且，．
（ⅰ）求橢圓的標準方程；
（ⅱ）記橢圓的上頂點為，直線交橢圓於兩點，問：是否存在直線，使點恰為的垂心？若存在，求出直線的方程;若不存在，請說明理由。
思維流程：
消元解題過程：
（ⅰ）如圖建系，設橢圓方程為,則
又∵即 ，∴
故橢圓方程為
（ⅱ）假設存在直線交橢圓於兩點，且恰為的垂心，則
設，∵，故，
於是設直線為 ，由得，
∵ 又得即
由韋達定理得
解得或（舍） 經檢驗符合條件．
點石成金：垂心的特點是垂心與頂點的連線垂直對邊，然後轉化為兩向量乘積為零．
例4、已知橢圓的中心在座標原點，焦點在座標軸上，且經過、、三點．
（ⅰ）求橢圓的方程：
（ⅱ）若點d為橢圓上不同於、的任意一點，，當δ內切圓的面積最大時，求δ內心的座標；
思維流程：
解題過程： （ⅰ）設橢圓方程為，將、、代入橢圓e的方程，得
解得.∴橢圓的方程
（ⅱ），設δ邊上的高為
當點在橢圓的上頂點時，最大為，所以的最大值為．
設δ的內切圓的半徑為，因為δ的周長為定值6．所以，
所以的最大值為．所以內切圓圓心的座標為.
點石成金：
例5、已知定點及橢圓，過點的動直線與橢圓相交於兩點.
（ⅰ）若線段中點的橫座標是，求直線的方程；
（ⅱ）在軸上是否存在點，使為常數？若存在，求出點的座標；若不存在，請說明理由.
思維流程：
（ⅰ）解：依題意，直線的斜率存在，設直線的方程為，
將代入， 消去整理得
設 則
由線段中點的橫座標是， 得，解得，符合題意。
所以直線的方程為，或
（ⅱ）解：假設在軸上存在點，使為常數.
當直線與軸不垂直時，由（ⅰ）知
所以將代入，整理得
注意到是與無關的常數， 從而有， 此時
當直線與軸垂直時，此時點的座標分別為，當時， 亦有
綜上，在軸上存在定點，使為常數.
點石成金：
例6、已知橢圓的中心在原點，焦點在x軸上，長軸長是短軸長的2倍且經過點m（2，1），平行於om的直線在y軸上的截距為m（m≠0），交橢圓於a、b兩個不同點。
（ⅰ）求橢圓的方程；
（ⅱ）求m的取值範圍；
（ⅲ）求證直線ma、mb與x軸始終圍成乙個等腰三角形.
思維流程：
解：（1）設橢圓方程為
則橢圓方程為
（ⅱ）∵直線l平行於om，且在y軸上的截距為m
又kom
由∵直線l與橢圓交於a、b兩個不同點，
（ⅲ）設直線ma、mb的斜率分別為k1，k2，只需證明k1+k2=0即可設 則
由而故直線ma、mb與x軸始終圍成乙個等腰三角形.
點石成金：直線ma、mb與x軸始終圍成乙個等腰三角形
例7、已知雙曲線的離心率，過的直線到原點的距離是
（1）求雙曲線的方程；
（2）已知直線交雙曲線於不同的點c，d且c，d都在以b為圓心的圓上，求k的值.
思維流程：
解：∵（1）原點到直線ab：的距離.
故所求雙曲線方程為
（2）把中消去y，整理得.
設的中點是，則
即故所求k=±.
點石成金: c，d都在以b為圓心的圓上bc=bdbe⊥cd;
例8、已知橢圓c的中心在座標原點，焦點在x軸上，橢圓c上的點到焦點距離的最大值為3，最小值為1．
（ⅰ）求橢圓c的標準方程；
（ii）若直線y=kx+m與橢圓c相交於a、b兩點（a、b不是左右頂點），且以ab為直徑的圓過橢圓c的右頂點．求證：直線過定點，並求出該定點的座標．
思維流程：
解：（ⅰ）由題意設橢圓的標準方程為，
由已知得：，
橢圓的標準方程為．
（ii）設．
聯立得 ，則
又．因為以為直徑的圓過橢圓的右頂點，
，即. ．
解得：，且均滿足．
當時，的方程，直線過點，與已知矛盾；
當時，的方程為，直線過定點．
所以，直線過定點，定點座標為．
點石成金：以ab為直徑的圓過橢圓c的右頂點ca⊥cb;
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