直線和圓錐曲線常考ian錐曲線經題型
直線與橢圓、雙曲線、拋物線中每乙個曲線的位置關係都有相交、相切、相離三種情況，從幾何角度可分為三類：無公共點，僅有乙個公共點及有兩個相異公共點對於拋物線來說，平行於對稱軸的直線與拋物線相交於一點，但並不是相切；對於雙曲線來說，平行於漸近線的直線與雙曲線只有乙個交點，但並不相切．
直線和橢圓、雙曲線、拋物線中每乙個曲線的公共點問題，可以轉化為它們的方程所組成的方程組求解的問題，從而用代數方法判斷直線與曲線的位置關係。
解決直線和圓錐曲線的位置關係的解題步驟是：
（1）直線的斜率不存在，直線的斜率存，
（2）聯立直線和曲線的方程組；
（3）討論類一元二次方程
（4）一元二次方程的判別式
（5）韋達定理，同類座標變換
（6）同點縱橫座標變換
（7）x,y，k(斜率)的取值範圍
（8）目標：弦長，中點，垂直，角度，向量，面積，範圍等等
運用的知識：
1、中點座標公式：，其中是點的中點座標。
2、弦長公式：若點在直線上，
則，這是同點縱橫座標變換，是兩大座標變換技巧之一，或者。
3、兩條直線垂直：則
兩條直線垂直，則直線所在的向量
4、韋達定理：若一元二次方程有兩個不同的根，則。
常見的一些題型：
題型一：數形結合確定直線和圓錐曲線的位置關係
例題1、已知直線與橢圓始終有交點，求的取值範圍
思路點撥：直線方程的特點是過定點（0，1），橢圓的特點是過定點（-2，0）和（2，0），和動點。
解：根據直線的方程可知，直線恆過定點（0，1），橢圓過動點，如果直線和橢圓始終有交點，則，即。
規律提示：通過直線的代數形式，可以看出直線的特點：
證明直線過定點，也是將滿足條件的直線整理成以上三種形式之一，再得出結論。
練習：1、過點p(3,2) 和拋物線只有乙個公共點的直線有（ ）條。
a．4 b．3 c．2 d．1
分析：作出拋物線，判斷點p(3,2)相對拋物線的位置。
解：拋物線如圖，點p（3，2）在拋物線的內部，根據過拋物線內一點和拋物線的對稱軸平行或重合的直線和拋物線只有乙個交點，可知過點p(3,2) 和拋物線只有乙個公共點的直線有一條。故選擇d
規律提示：含焦點的區域為圓錐曲線的內部。（這裡可以用公司的裝置畫圖）
一、過一定點p和拋物線只有乙個公共點的直線的條數情況：
（1）若定點p在拋物線外，則過點p和拋物線只有乙個公共點的直線有3條：兩條切線，一條和對稱軸平行或重合的直線；
（2）若定點p在拋物線上，則過點p和拋物線只有乙個公共點的直線有2條：一條切線，一條和對稱軸平行或重合的直線；
（3）若定點p在拋物線內，則過點p和拋物線只有乙個公共點的直線有1條：和拋物線的對稱軸平行或重合的直線和拋物線只有乙個交點。
二、過定點p和雙曲線只有乙個公共點的直線的條數情況：
（1）若定點p在雙曲線內，則過點p和雙曲線只有乙個公共點的直線有2條：和雙曲線的漸近線平行的直線和雙曲線只有乙個公共點；
（2）若定點p在雙曲線上，則過點p和雙曲線只有乙個公共點的直線有3條：一條切線，2條和漸近線平行的直線；
（3）若定點p在雙曲線外且不在漸近線上，則過點p和雙曲線只有乙個公共點的直線有4條：2條切線和2條和漸近線平行的直線；
（4）若定點p在雙曲線外且在一條漸近線上，而不在另一條漸近線上，則過點p和雙曲線只有乙個公共點的直線有2條：一條切線，一條和另一條漸近線平行的直線；
（5）若定點p在兩條漸近線的交點上，即對稱中心，過點p和雙曲線只有乙個公共點的直線不存在。
題型二：弦的垂直平分線問題
弦的垂直平分線問題和對稱問題是一種解題思維，首先弄清楚哪個是弦，哪個是對稱軸，用到的知識是：垂直（兩直線的斜率之積為-1）和平分（中點座標公式）。
例題2、過點t(-1,0)作直線與曲線n ：交於a、b兩點，在x軸上是否存在一點e(,0)，使得是等邊三角形，若存在，求出；若不存在，請說明理由。
分析：過點t(-1,0)的直線和曲線n ：相交a、b兩點，則直線的斜率存在且不等於0，可以設直線的方程，聯立方程組，消元，分析類一元二次方程，看判別式，運用韋達定理，得弦的中點座標，再由垂直和中點，寫出垂直平分線的方程，得出e點座標，最後由正三角形的性質：
中線長是邊長的倍。運用弦長公式求弦長。
解：依題意知，直線的斜率存在，且不等於0。
設直線，，，。
由消y整理，得
由直線和拋物線交於兩點，得
即由韋達定理，得： 。
則線段ab的中點為。
線段的垂直平分線方程為：
令y=0,得，則為正三角形，
到直線ab的距離d為。
解得滿足式
此時。思維規律：直線過定點設直線的斜率k，利用韋達定理法，將弦的中點用k表示出來，再利用垂直關係將弦的垂直平分線方程寫出來，求出了橫截距的座標；再利用正三角形的性質：
高是邊長的倍，將k確定，進而求出的座標。
例題3、已知橢圓的左焦點為f，o為座標原點。
（ⅰ）求過點o、f，並且與相切的圓的方程；
（ⅱ）設過點f且不與座標軸垂直的直線交橢圓於a、b兩點，線段ab的垂直平分線與x軸交於點g，求點g橫座標的取值範圍。
分析：第一問求圓的方程，運用幾何法：圓心在弦的垂直平分線上，圓心到切線的距離等於圓心到定點的距離；第二問，過定點的弦的垂直平分線如果和x軸相交，則弦的斜率存在，且不等於0，設出弦ab所在的直線的方程，運用韋達定理求出弦中點的橫座標，由弦ab的方程求出中點的總座標，再有弦ab的斜率，得到線段ab的垂直平分線的方程，就可以得到點g的座標。
解：(i) ∵a2=2，b2=1，∴c=1，f(-1，0)，l:x=-2.
∵圓過點o、f,∴圓心m在直線x=-
設m(-)，則圓半徑：r=|(-)-(-2)|=
由|om|=r，得，解得t=±，
∴所求圓的方程為(x+)2+(y±)2=.
(ii)由題意可知，直線ab的斜率存在，且不等於0,
設直線ab的方程為y=k(x+1)(k≠0)，
代入+y2=1，整理得
(1+2k2)x2+4k2x+2k2-2=0
∵直線ab過橢圓的左焦點f，
∴方程一定有兩個不等實根,
設a(x1，y1)，b(x2，y2)，ab中點n(x0，y0)，
則x1+x1=-
∴ab垂直平分線ng的方程為
令y=0，得
∵∴點g橫座標的取值範圍為（）。
技巧提示：直線過定點設直線的斜率k，利用韋達定理，將弦的中點用k表示出來，韋達定理就是同類座標變換的技巧，是解析幾何中解決直線和圓錐曲線問題的兩大技巧之第乙個技巧。再利用垂直關係將弦ab的垂直平分線方程寫出來，就求出了橫截距的座標（關於k的函式）。
直線和圓錐曲線中引數的範圍問題，就是函式的值域問題。
練習1：已知橢圓過點，且離心率。
（ⅰ）求橢圓方程；
（ⅱ）若直線與橢圓交於不同的兩點、，且線段的垂直平分線過定點，求的取值範圍。
分析：第一問中已知橢圓的離心率，可以得到的關係式，再根據「過點」得到的第2個關係式，解方程組，就可以解出的值，確定橢圓方程。
第二問，設出交點座標，聯立方程組，轉化為一元二次方程，通過判別式得出的不等式，再根據韋達定理，得出弦mn的中點的橫座標，利用弦的直線方程，得到中點的縱座標，由中點座標和定點，得垂直平分線的斜率，有垂直平分線的斜率和弦的斜率之積為-1，可得的等式，用k表示m再代入不等式，就可以求出k的取值範圍。
解：（ⅰ）離心率，，即（1）；
又橢圓過點，則，（1）式代入上式，解得，，橢圓方程為。
（ⅱ）設，弦mn的中點a
由得：，
直線與橢圓交於不同的兩點，
，即………………（1）
由韋達定理得：，
則，直線ag的斜率為：，
由直線ag和直線mn垂直可得：，即，代入（1）式，可得，即，則。
老師支招：如果只說一條直線和橢圓相交，沒有說直線過點或沒給出直線的斜率，就直接設直線的方程為：，再和曲線聯立，轉化成一元二次方程，就能找到解決問題的門路。
本題解決過程中運用了兩大解題技巧：與韋達定理有關的同類座標變換技巧，與點的縱、橫座標有關的同點縱橫座標變換技巧。解決直線和圓錐曲線的問題的關鍵就是充分、靈活的運用這兩大解題技巧。
練習2、設、分別是橢圓的左右焦點．是否存在過點的直線l與橢圓交於不同的兩點c、d，使得？若存在，求直線l的方程；若不存在，請說明理由．
分析：由得，點c、d關於過的直線對稱，由直線l過的定點a(5,0)不在的內部，可以設直線l的方程為：，聯立方程組，得一元二次方程，根據判別式，得出斜率k的取值範圍，由韋達定理得弦cd的中點m的座標，由點m和點f1的座標，得斜率為，解出k值，看是否在判別式的取值範圍內。
解：假設存在直線滿足題意，由題意知，過a的直線的斜率存在，且不等於。設直線l的方程為：，c、d，cd的中點m。
由得：，
又直線l與橢圓交於不同的兩點c、d，則，即。
由韋達定理得：，
則，m(，)。
又點，則直線的斜率為，
根據得：，即，此方程無解，即k不存在，也就是不存在滿足條件的直線。
老師提醒：通過以上2個例題和2個練習，我們可以看出，解決垂直平分線的問題，即對稱問題分兩步：第一步，有弦所在的直線和曲線聯立，轉化為一元二次方程（或類一元二次方程），通過判別式得不等式，由韋達定理得出弦中點的座標；第二步是利用垂直關係，得出斜率之積為-1，或者是利用中點座標和對稱軸直線的斜率，寫出垂直平分線的方程，就可以解決問題。
需要注意的一點是，求出的引數一定要滿足判別式。
題型三：動弦過定點的問題
高考數學直線與圓錐曲線作業
圓錐曲線 二 直線與圓錐曲線的位置關係 班級姓名 1.設拋物線與過焦點的直線交於兩點，則的值 a b cd 2.直線與曲線 a.沒有交點 b.有乙個交點 c.有兩個交點 d.有三個交點 3.已知對，直線與橢圓恒有公共點，則實數的取值範圍是 a bcd 4.若雙曲線的右支上一點到直線的距離為，則的值為...
高考圓錐曲線經典題型
圓錐曲線題型 第一定義 第二定義 雙曲線漸近線等考查 1 設雙曲線的 個焦點為f 虛軸的 個端點為b，如果直線fb與該雙曲線的一條漸 近線垂直，那麼此雙曲線的離心率為 a b c d 答案 d 2 設拋物線y2 8x的焦點為f，準線為l,p為拋物線上一點,pa l,a為垂足 如果直線af的斜率為,那...
直線與圓錐曲線
主備人 段柏嬌把關人 李德道編號19 一學習目標 1 掌握直線與圓錐曲線的位置關係的判定方法，能夠把研究直線與圓錐曲線的位置關係的問題轉化為研究方程組的解的問題 2 會利用直線與圓錐曲線的方程所組成的方程組消去乙個變數，將交點問題問題轉化為一元二次方程根的問題，結合根與係數關係及判別式解決問題 二 ...