第一定義、第二定義、雙曲線漸近線等考查
1、(2010遼寧理數)設雙曲線的—個焦點為f;虛軸的—個端點為b，如果直線fb與該雙曲線的一條漸
近線垂直，那麼此雙曲線的離心率為
(a) (b) (c) (d)
【答案】d
2、(2010遼寧理數)設拋物線y2=8x的焦點為f，準線為l,p為拋物線上一點,pa⊥l,a為垂足.如果直線af的斜率為 ,那麼|pf|=
(a) (b)8 (c) (d) 16
【答案】b
3、(2010上海文數)8.動點到點的距離與它到直線的距離相等，則的軌跡方程為 y28x 。
4、(2010全國卷2理數)(15)已知拋物線的準線為 ，過且斜率為的直線與相交於點 ，與的乙個交點為 .若 ，則 .
若雙曲線 - =1(b>0)的漸近線方程式為y= ，則b等於。
【答案】1
5、已知橢圓的兩焦點為 ,點滿足 ,則| |+ |的取值範圍為_______，直線與橢圓c的公共點個數_____。
6、已知點p是雙曲線右支上一點， 、分別是雙曲線的左、右焦點，i為的內心，若成立，則雙曲線的離心率為(▲ )
a.4 b. c.2 d.
8、(2010重慶理數)(10)到兩互相垂直的異面直線的距離相等的點，在過其中一條直線且平行於另一條直線的平面內的軌跡是
a. 直線 b. 橢圓 c. 拋物線 d. 雙曲線
解析：排除法軌跡是軸對稱圖形，排除a、c，軌跡與已知直線不能有交點 ，排除b
9、(2010四川理數)橢圓的右焦點 ，其右準線與軸的交點為a，在橢圓上存在點p滿足線段ap的垂直平分線過點 ，則橢圓離心率的取值範圍是
(a) (b) (c) (d)
解析：由題意，橢圓上存在點p，使得線段ap的垂直平分線過點 ，
即f點到p點與a點的距離相等
而|fa|=
|pf|∈[a-c,a+c]
於是 ∈[a-c,a+c]
即ac-c2≤b2≤ ac+c2
∴又e∈(0,1)
故e∈答案：d
10、(2010福建理數)若點o和點分別是雙曲線的中心和左焦點,點p為雙曲線右支上的任意一點,則的取值範圍為 ( )
a. b. c. d.
【答案】b
11、(北京市海淀區2023年4月高三第一次模擬考試理科試題)已知有公共焦點的橢圓與雙曲線中心為原點，焦點在軸上，左右焦點分別為 ，且它們在第一象限的交點為p， 是以為底邊的等腰三角形.若 ，雙曲線的離心率的取值範圍為 .則該橢圓的離心率的取值範圍是 .
12、(2023年4月北京市西城區高三抽樣測試理科) 已知雙曲線的左頂點為 ，右焦點為 ， 為雙曲線右支上一點，則的最小值為
13、(北京市東城區2010屆高三第二學期綜合練習理科)直線過雙曲線的右焦點且與雙曲線的兩條漸近線分別交於 ， 兩點，若原點在以為直徑的圓外，則雙曲線離心率的取值範圍是 .
14、(2010全國卷1文數)已知 、 為雙曲線c: 的左、右焦點，點p在c上，∠ = ，則
(a)2 (b)4 (c) 6 (d) 8
15、(2010全國卷1理數)(9)已知 、 為雙曲線c: 的左、右焦點，點p在c上，∠ p = ，則p到x軸的距離為
(a) (b) (c) (d)
16、(2010重慶理數)(14)已知以f為焦點的拋物線上的兩點a、b滿足 ,則弦ab的中點到準線的距離為
解析：設bf=m,由拋物線的定義知
中，ac=2m,ab=4m,
直線ab方程為
與拋物線方程聯立消y得
所以ab中點到準線距離為
17、(2010上海文數)已知橢圓的方程為 ， 、 和為的三個頂點.
(1)若點滿足 ，求點的座標;
(2)設直線交橢圓於 、 兩點，交直線於點 .若 ，證明： 為的中點;
(3)設點在橢圓內且不在軸上，如何構作過中點的直線 ，使得與橢圓的兩個交點 、 滿足 ?令 ， ，點的座標是(-8，-1)，若橢圓上的點 、 滿足 ，求點 、 的座標.
解析：(1) ;
(2) 由方程組 ，消y得方程 ，
因為直線交橢圓於 、 兩點，
所以》0，即 ，
設c(x1,y1)、d(x2,y2)，cd中點座標為(x0,y0)，
則 ，由方程組 ，消y得方程(k2k1)xp，
又因為 ，所以 ，
故e為cd的中點;
(3) 因為點p在橢圓γ內且不在x軸上，所以點f在橢圓γ內，可以求得直線of的斜率k2，由知f為p1p2的中點，根據(2)可得直線l的斜率 ，從而得直線l的方程.
，直線of的斜率 ，直線l的斜率 ，
解方程組 ，消y：x22x480，解得p1(6,4)、p2(8,3).
18、(2010全國卷2理數)(21)(本小題滿分12分)
己知斜率為1的直線l與雙曲線c： 相交於b、d兩點，且bd的中點為 .
(ⅰ)求c的離心率;
(ⅱ)設c的右頂點為a，右焦點為f， ，證明：過a、b、d三點的圓與x軸相切.
19、(2010安徽文數)橢圓經過點 ，對稱軸為座標軸，
焦點在軸上，離心率 。
(ⅰ)求橢圓的方程;
(ⅱ)求的角平分線所在直線的方程。
20、(2010全國卷1理數)(21)(本小題滿分12分)
已知拋物線的焦點為f，過點的直線與相交於 、 兩點，點a關於軸的對稱點為d.
(ⅰ)證明：點f在直線bd上;
(ⅱ)設 ，求的內切圓m的方程 .
21、(2010江蘇卷)在平面直角座標系中，如圖，已知橢圓的左、右頂點為a、b，右焦點為f。設過點t( )的直線ta、tb與橢圓分別交於點m 、 ，其中m>0, 。
(1)設動點p滿足 ,求點p的軌跡;
(2)設 ，求點t的座標;
(3)設 ,求證：直線mn必過x軸上的一定點(其座標與m無關)。
22、在直角座標系中，點m到點的距離之和是4，點m的軌跡是c與x軸的負半軸交於點a，不過點a的直線與軌跡c交於不同的兩點p和q.
(i)求軌跡c的方程;
(ii)當時，求k與b的關係，並證明直線過定點.
解：(1) 的距離之和是4，
的軌跡c是長軸為4，焦點在x軸上焦中為的橢圓，
其方程為 …………3分
(2)將 ，代入曲線c的方程，
整理得…………5分
因為直線與曲線c交於不同的兩點p和q，
所以 ①
設 ，則
② ………… 7分
且 ③顯然，曲線c與x軸的負半軸交於點a(-2，0)，所以由
將②、③代入上式，整理得 …………10分
所以即經檢驗，都符合條件①
當b=2k時，直線的方程為
顯然，此時直線經過定點(-2，0)點.
即直線經過點a，與題意不符.
當時，直線的方程為
顯然，此時直線經過定點點，且不過點a.
綜上，k與b的關係是：
且直線經過定點點 …………13分
23、(北京市朝陽區2023年4月高三年級第二學期統一考試理科)(本小題滿分13分)
已知中心在原點，焦點在軸上的橢圓c的離心率為 ，且經過點 ，過點p(2，1)的直線與橢圓c在第一象限相切於點m .
(1)求橢圓c的方程;
(2)求直線的方程以及點m的座標;
(3))是否存過點p的直線與橢圓c相交於不同的兩點a、b，滿足 ?若存在，求出直線l1的方程;若不存在，請說明理由.
解(ⅰ)設橢圓c的方程為 ，由題意得
解得 ，故橢圓c的方程為4分
(ⅱ)因為過點p(2，1)的直線l與橢圓在第一象限相切，所以l的斜率存在，故可調直線l的議程為
由得 . ①
因為直線與橢圓相切，所以
整理 ，得解得 [
所以直線l方程為
將代入①式，可以解得m點橫座標為1，故切點m座標為 …………9分
(ⅲ)若存在直線l1滿足條件，的方程為 ，代入橢圓c的方程得
因為直線l1與橢圓c相交於不同的兩點a，b，設a，b兩點的座標分別為
所以所以 .
又 ，因為即 ，
所以 .
即所以 ，解得
因為a，b為不同的兩點，所以 .
於是存在直線 1滿足條件，其方程為13分
24、直線的右支交於不同的兩點a、b.
(i)求實數k的取值範圍;
(ii)是否存在實數k，使得以線段ab為直徑的圓經過雙曲線c的右焦點f?若存在，求出k的值;若不存在，說明理由.
答案：.解：(ⅰ)將直線
……①依題意，直線l與雙曲線c的右支交於不同兩點，故
(ⅱ)設a、b兩點的座標分別為 、 ，則由①式得
……②假設存在實數k，使得以線段ab為直徑的圓經過雙曲線c的右焦點f(c,0).
則由fa⊥fb得：
整理得……③
把②式及代入③式化簡得
解得可知使得以線段ab為直徑的圓經過雙曲線c的右焦點.
高考圓錐曲線最經典題型總結
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