與圓錐曲線有關的幾種典型題，如圓錐曲線的弦長求法、與圓錐曲線有關的最值(極值)問題、與圓錐曲線有關的證明問題以及圓錐曲線與圓錐曲線有關的證明問題等，在圓錐曲線的綜合應用中經常見到，為了讓同學們對這方面的知識有乙個比較系統的了解，本文系統闡述一下「與圓錐曲線有關的幾種典型題」．
一、重、難、疑點分析
1．重點：圓錐曲線的弦長求法、與圓錐曲線有關的最值(極值)問題、與圓錐曲線有關的證明問題．
2．難點：雙圓錐曲線的相交問題．(應當提醒注意的是:除了要用一元二次方程的判別式，還要結合圖形分析．)
3．疑點：與圓錐曲線有關的證明問題．(解決辦法：因為這類問題涉及到線段相等、角相等、直線平行、垂直的證明方法，以及定點、定值問題的判斷方法，所以比較靈活，只能通過一些例題予以示範．)
二、題型展示
1．圓錐曲線的弦長求法
設圓錐曲線c∶f(x，y)=0與直線l∶y=kx+b相交於a()、b()兩點，則弦長|ab|為：
(2)若弦ab過圓錐曲線的焦點f，則可用焦半徑求弦長，|ab|=|af|+|bf|．
例1 過拋物線的焦點作傾斜角為的直線與拋物線交於a、b兩點，旦|ab|=8，求傾斜角．
分析一：由弦長公式易解．解答為：
∵ 拋物線方程為x2=-4y， ∴焦點為(0，-1)．
設直線l的方程為y-(-1)=k(x-0)，即y=kx-1．
將此式代入x2=-4y中得：x2+4kx-4=0．∴x1+x2=-4，x1+x2=-4k．
由|ab|=8得: ∴
又有得:或.
分析二:利用焦半徑關係.∵
∴|ab|=-(+y2)+p=-[(kx1-1)+(kx2-1)]+p=-k(+x2)+2+p．由上述解法易求得結果，可由同學們自己試試完成．
2．與圓錐曲線有關的最值(極值)的問題
在解析幾何中求最值，關鍵是建立所求量關於自變數的函式關係，再利用代數方法求出相應的最值．注意點是要考慮曲線上點座標(x，y)的取值範圍．
例2已知+4(y-1)2=4，求：(1) +y2的最大值與最小值;(2)x+y的最大值與最小值．
解一：將+4(y-1)2=4代入得： +y2=4-4(y-1)2+y2=-3y2+8y
由點(x，y)滿足+4(y-1)2=4知：4(y-1)2≤4 即|y-1|≤1．∴0≤y≤2．
當y=0時，(+y2)min=0．
解二：分析：顯然採用(1)中方法行不通．如果令u=x+y，則將此代入+4(y-1)2=4中得關於y的一元二次方程，借助於判別式可求得最值．
令x+y=u， 則有x=u-y,代入+4(y-1)2=4得：5-(2u+8)y+=0．
又∵0≤y≤2，(由(1)可知) ∴[-(2u+8)]2-4×5×≥0．
∴當時,; 當時,
∴;3．與圓錐曲線有關的證明問題
它涉及到線段相等、角相等、直線平行、垂直的證明方法，以及定點、定值問題的判斷方法．
例3.在拋物線x2＝4y上有兩點a(x1，y1)和b(x2，y2)且滿足|ab|=y1+y2+2，求證：
(1)a、b和這拋物線的焦點三點共線；(2)為定值.
證明：(1)∵拋物線的焦點為f(0，1)，準線方程為y=-1．
∴ a、b到準線的距離分別d1＝y1+1，d2=y2+1(如圖2－46所示)．
由拋物線的定義：|af|=d1=y1+1，|bf|=d2=y2+1．
∴|af|+|bf|=y1+y2+2=|ab| 即a、b、f三點共線．
(2)如圖2－46，設∠afk=θ．
∵|af|=|aa1|=|ak|+2=|af|sinθ+2 ∴
又|bf|=|bb1|=2-|bf|sinθ ∴
小結:與圓錐曲線有關的證明問題解決的關鍵是要靈活運用圓錐曲線的定義和幾何性質.
4．圓錐曲線與圓錐曲線的相交問題
直線與圓錐曲線相交問題，一般可用兩個方程聯立後，用△≥0來處理．但用△≥0來判斷雙圓錐曲線相交問題是不可靠的．解決這類問題：方法1，由「△≥0」與直觀圖形相結合；方法2，由「△≥0」與根與係數關係相結合；方法3，轉換引數法(以後再講)．
例4 已知曲線及有公共點,求實數a的取值範圍．
可得： =2(1-a)y+-4=0．
∵ △=4(1-a)2-4(a2-4)≥0， ∴.
如圖2－47，可知：
橢圓中心,半軸長,拋物線頂點為,所以當圓錐曲線在下方相切或相交時,.
綜上所述,當時, 曲線與相交.
5．利用共線向量解決圓錐曲線中的引數範圍問題
例5.已知橢圓的長、短軸端點分別為a、b，從此橢圓上一點m向x軸作垂線，恰好通過橢圓的左焦點，向量與是共線向量。（1）求橢圓的離心率e；（2）設q是橢圓上任意一點，、分別是左、右焦點，求∠的取值範圍；
解：（1）∵，∴。
∵是共線向量，∴，∴b=c,故。
（2）設
當且僅當時，cosθ=0，∴θ。
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