圓錐曲線的常見題型包括：1.圓錐曲線的弦長求法、2.
與圓錐曲線有關的最值(極值)問題、3.與圓錐曲線有關的證明問題4.圓錐曲線與圓錐曲線有關的證明問題等，5.
直線與圓錐曲線位置關係等。下面分別作簡單介紹。．
一、重、難、疑點分析
1．重點：圓錐曲線的弦長求法、與圓錐曲線有關的最值(極值)問題、與圓錐曲線有關的證明問題，利用座標法研究直線與圓錐曲線的有關的問題.
2．難點：雙圓錐曲線的相交問題 (應當提醒注意的是:除了要用一元二次方程的判別式，還要結合圖形分析．) ，運用解析幾何的思想方法解決幾何問題.
3．疑點：與圓錐曲線有關的證明問題．(解決辦法：因為這類問題涉及到線段相等、角相等、直線平行、垂直的證明方法，以及定點、定值問題的判斷方法，所以比較靈活，只能通過一些例題予以示範．)
二．教學目標
1. 理解直線與圓錐曲線的位置關係，能利用對方程組的解的討論來研究直線與圓錐曲線的位置關係，進而研究直線與圓錐曲線的有關問題；
2.在**過程中,幫助學生體會運用數形結合思想，方程的思想、轉化思想以及運動變化的觀點，分析和解決問題，提高學生的數學思維能力；
3.讓學生體會解析幾何的思想方法——用代數方法解決幾何問題，並強調理解代數關係的幾何意義，有助於學生認識數學內容之間的內在聯絡，逐步形成正確的數學觀．
三．簡單複習
1.研究直線與圓錐曲線的位置關係可通過代數方法即解方程組的辦法來分析，因為方程組解的個數與直線與圓錐曲線的公共點的個數是一樣的．
２.直線與圓錐曲線相交的弦長公式
設直線l: y=kx+b，圓錐曲線：f(x,y)=0，它們的交點為a (x1,y1)，b (x2,y2)，
則|ab|==
．四、題型展示
1．圓錐曲線的弦長求法
設圓錐曲線c∶f(x，y)=0與直線l∶y=kx+b相交於a()、b()兩點，則弦長|ab|為：
(2)若弦ab過圓錐曲線的焦點f，則可用焦半徑求弦長，|ab|=|af|+|bf|．
例1 過拋物線的焦點作傾斜角為的直線與拋物線交於a、b兩點，旦|ab|=8，求傾斜角．
分析一：由弦長公式易解．解答為：
∵ 拋物線方程為x2=-4y， ∴焦點為(0，-1)．
設直線l的方程為y-(-1)=k(x-0)，即y=kx-1．
將此式代入x2=-4y中得：x2+4kx-4=0．∴x1+x2=-4，x1+x2=-4k．
由|ab|=8得: ∴
又有得:或.
分析二:利用焦半徑關係.∵
∴|ab|=-(+y2)+p=-[(kx1-1)+(kx2-1)]+p=-k(+x2)+2+p．由上述解法易求得結果，可由同學們自己試試完成．
2．與圓錐曲線有關的最值(極值)的問題
在解析幾何中求最值，關鍵是建立所求量關於自變數的函式關係，再利用代數方法求出相應的最值．注意點是要考慮曲線上點座標(x，y)的取值範圍．
例2已知+4(y-1)2=4，求：(1) +y2的最大值與最小值;(2)x+y的最大值與最小值．
解一：將+4(y-1)2=4代入得： +y2=4-4(y-1)2+y2=-3y2+8y
由點(x，y)滿足+4(y-1)2=4知：4(y-1)2≤4 即|y-1|≤1．∴0≤y≤2．
當y=0時，(+y2)min=0．
解二：分析：顯然採用(1)中方法行不通．如果令u=x+y，則將此代入+4(y-1)2=4中得關於y的一元二次方程，借助於判別式可求得最值．
令x+y=u， 則有x=u-y,代入+4(y-1)2=4得：5-(2u+8)y+=0．
又∵0≤y≤2，(由(1)可知) ∴[-(2u+8)]2-4×5×≥0．
∴當時,; 當時,
∴;3．與圓錐曲線有關的證明問題
它涉及到線段相等、角相等、直線平行、垂直的證明方法，以及定點、定值問題的判斷方法．
例3.在拋物線x2＝4y上有兩點a(x1，y1)和b(x2，y2)且滿足|ab|=y1+y2+2，求證：
(1)a、b和這拋物線的焦點三點共線；(2)為定值.
證明：(1)∵拋物線的焦點為f(0，1)，準線方程為y=-1．
∴ a、b到準線的距離分別d1＝y1+1，d2=y2+1(如圖2－46所示)．
由拋物線的定義：|af|=d1=y1+1，|bf|=d2=y2+1．
∴|af|+|bf|=y1+y2+2=|ab| 即a、b、f三點共線．
(2)如圖2－46，設∠afk=θ．
∵|af|=|aa1|=|ak|+2=|af|sinθ+2 ∴
又|bf|=|bb1|=2-|bf|sinθ ∴
小結:與圓錐曲線有關的證明問題解決的關鍵是要靈活運用圓錐曲線的定義和幾何性質.
4．圓錐曲線與圓錐曲線的相交問題
直線與圓錐曲線相交問題，一般可用兩個方程聯立後，用△≥0來處理．但用△≥0來判斷雙圓錐曲線相交問題是不可靠的．解決這類問題：方法1，由「△≥0」與直觀圖形相結合；方法2，由「△≥0」與根與係數關係相結合；方法3，轉換引數法(以後再講)．
例4 已知曲線及有公共點,求實數a的取值範圍．
可得： =2(1-a)y+-4=0．
∵ △=4(1-a)2-4(a2-4)≥0， ∴.
如圖2－47，可知：
橢圓中心,半軸長,拋物線頂點為,所以當圓錐曲線在下方相切或相交時,.
綜上所述,當時, 曲線與相交.
5．利用共線向量解決圓錐曲線中的引數範圍問題
例5.已知橢圓的長、短軸端點分別為a、b，從此橢圓上一點m向x軸作垂線，恰好通過橢圓的左焦點，向量與是共線向量。（1）求橢圓的離心率e；（2）設q是橢圓上任意一點，、分別是左、右焦點，求∠的取值範圍；
解：（1）∵，∴。
∵是共線向量，∴，∴b=c,故。
（2）設
當且僅當時，cosθ=0，∴θ。
由於共線向量與解析幾何中平行線、三點共線等具有異曲同工的作用，因此，解析幾何中與平行線、三點共線等相關的問題均可在向量共線的新情景下設計問題。求解此類問題的關鍵是：正確理解向量共線與解析幾何中平行、三點共線等的關係，把有關向量的問題轉化為解析幾何問題.
6. 利用向量的數量積解決圓錐曲線中的引數範圍問題
例6.橢圓的焦點為ff，點p為其上的動點，當∠fp f為鈍角時，點p橫座標的取值範圍是___。
解：由橢圓的知焦點為f1（－,0）f2（,0）.
設橢圓上的點可設為p（3cos,2sin）.為鈍角
∴ =9cos2－5＋4sin2=5 cos2－1<0
解得： ∴點p橫座標的取值範圍是（）.
解決與角有關的一類問題，總可以從數量積入手。本題中把條件中的角為鈍角轉化為向量的數量積為負值，通過座標運算列出不等式，簡潔明瞭.
7. 直線與圓錐曲線
（2）設點c是橢圓上一點，求它到直線ab的距離的最大值．
【分析】方法1：可用把直線ab平移至直線l的位置，直線l與橢圓相切，求直線l的方程，再求切線l到直線ab的最大距離。方法2：
先設c(x,y),表示出c到直線ab的距離，考慮到用函式的思想方法來求最值，所以想到把x,y用三角函式表示出來，求點c到直線ab的距離的最大值．
【解】法1：設直線l:y=x+m與橢圓相切，聯立直線l與橢圓的方程，得到：
，則即有：，即，解得m=，
算得：當m=3時，直線l與直線ab距離d有最大值， =,此時橢圓上的點c的座標為.
法2：設點c到直線ab的距離為d，則d=,
因為點c在橢圓上，設,代入上式，得到：
d==令=,=,則d=，當=-1， =-,=,即c時，d有最大值， =。
【點評】本題考查橢圓的性質與方程，直線與橢圓的位置關係，點到直線的距離，函式與不等式的知識，以及解決綜合問題的能力。
例2. 已知橢圓,弦ab的中點是p(1，1),求弦ab所在直線的方程.
【分析】目標問題：「求直線的方程」 「過一點，確定斜率（包括斜率是否存在，存在時是多少）」
幾何條件：直線ab與橢圓交於a，b；弦ab的中點
代數關係：；.
由此建立關於斜率的方程求解.
【解】直線ab垂直x軸時，直線ab中點在x軸上，所以直線ab的斜率存在.設直線ab：y-1=k(x-1)，設a(x1,y1),b(x2,y2)，由方程組：，
得：有：
，，則，得到，把代入判別式驗證成立（其實我們還能判斷出點p必在橢圓內）.
則ab的方程為：，即
【解2】設a(x1,y1),b(x2,y2)，（）因為點a、b在橢圓上，
所以，，得到：，
，，因為線段ab的中點是p（1，1），所以，得到：
， 所以=，
所以ab的方程為：，即.
【小結】
（1）本題是弦的中點問題，基本解法是聯立直線與圓錐曲線的方程，用弦的端點座標表示弦的中點座標來解決問題。這類問題的解決仍然深刻體現了座標法的應用.
（2）同樣要檢驗判別式大於0。
（３）注意點差法的使用範圍.
例3.設是乙個大於0的常數，過點的直線與拋物線相交於a、b兩點，以弦ab為直經作圓h（h為圓心），求證：拋物線頂點在圓h的圓周上.
【分析】對運動變化過程進行描述：用幾何畫板。目標問題：「點在圓上」 「點到圓心的距離等於直徑ａｂ的一半」；「此點與直徑端點連線形成的圓周角等於９０.
幾何條件：點在圓上
代數關係：法1： .
法2：【解題指導】（1）深入**對幾何特徵的理解，轉化出不同的代數關係，分析多種證明策略.
（2）總結較複雜的解析幾何問題的解題思路.（３）通過演示讓學生體會幾何直觀對他們的思路開啟有一定的幫助.
【解】法1：設，
顯然直線ab不平行於軸，設直線ab：
由方程組得：
則 ，得：.
因此：.
所以拋物線的頂點o在圓h的圓周上.
法2：設，設直線ab：，
由方程組得：
所以，點，
．，所以拋物線的頂點o在圓h的圓周上.
【變式】設是一常數，過拋物線的頂點o作兩條互相垂直的弦oa和ob.試說明動直線ab是否過乙個定點.
【解】設，
設直線ab：
由方程組得：
則 ，得：
.因為，所以，即，
因為ab不能過原點，所以b≠0，所以，
即直線ab：，所以直線ab過定點（2p,0）.
【小結】
（1）在解題過程中綜合用到了弦長、弦的中點和向量垂直等知識，而問題的解決仍然是轉化為弦的端點座標來表示。
（2）設直線方程和計算時有一些特別方法。如：不知斜率是否存在時，直線方程怎麼設，如何由縱座標的數量關係計算出橫座標的數量關係。
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