高三數學概念、方法、題型、易誤點總結（八）
八、圓錐曲線
1.圓錐曲線的兩個定義：
（1）第一定義中要重視「括號」內的限制條件：橢圓中，與兩個定點f，f的距離的和等於常數，且此常數一定要大於，當常數等於時，軌跡是線段ff，當常數小於時，無軌跡；雙曲線中，與兩定點f，f的距離的差的絕對值等於常數，且此常數一定要小於|ff|，定義中的「絕對值」與＜|ff|不可忽視。若＝|ff|，則軌跡是以f，f為端點的兩條射線，若﹥|ff|，則軌跡不存在。
若去掉定義中的絕對值則軌跡僅表示雙曲線的一支。
如（1）已知定點，在滿足下列條件的平面上動點p的軌跡中是橢圓的是 a． b．
c． d．
（2）方程表示的曲線是_____
（2）第二定義中要注意定點和定直線是相應的焦點和準線，且「點點距為分子、點線距為分母」，其商即是離心率。圓錐曲線的第二定義，給出了圓錐曲線上的點到焦點距離與此點到相應準線距離間的關係，要善於運用第二定義對它們進行相互轉化。
如已知點及拋物線上一動點p（x,y）,則y+|pq|的最小值是__ ___
2.圓錐曲線的標準方程（標準方程是指中心（頂點）在原點，座標軸為對稱軸時的標準位置的方程）：
（1）橢圓：焦點在軸上時（）（引數方程，其中為引數），焦點在軸上時＝1（）。方程表示橢圓的充要條件是什麼？（abc≠0，且a，b，c同號，a≠b）。
如（1）已知方程表示橢圓，則的取值範圍為____
（2）若，且，則的最大值是____，的最小值是___
（2）雙曲線：焦點在軸上： =1，焦點在軸上：＝1（）。方程表示雙曲線的充要條件是什麼？（abc≠0，且a，b異號）。
如（1）雙曲線的離心率等於，且與橢圓有公共焦點，則該雙曲線的方程_______
（2）設中心在座標原點，焦點、在座標軸上，離心率的雙曲線c過點，則c的方程為_______
（3）拋物線：開口向右時，開口向左時，開口向上時，開口向下時。
3.圓錐曲線焦點位置的判斷（首先化成標準方程，然後再判斷）：
（1）橢圓：由,分母的大小決定，焦點在分母大的座標軸上。
如已知方程表示焦點在y軸上的橢圓，則m的取值範圍是
（2）雙曲線：由,項係數的正負決定，焦點在係數為正的座標軸上；
（3）拋物線：焦點在一次項的座標軸上，一次項的符號決定開口方向。
特別提醒：（1）在求解橢圓、雙曲線問題時，首先要判斷焦點位置，焦點f，f的位置，是橢圓、雙曲線的定位條件，它決定橢圓、雙曲線標準方程的型別，而方程中的兩個引數，確定橢圓、雙曲線的形狀和大小，是橢圓、雙曲線的定形條件；在求解拋物線問題時，首先要判斷開口方向；（2）在橢圓中，最大，，在雙曲線中，最大，。
4.圓錐曲線的幾何性質：
（1）橢圓（以（）為例）：①範圍：；②焦點：
兩個焦點；③對稱性：兩條對稱軸，乙個對稱中心（0,0），四個頂點，其中長軸長為2，短軸長為2；④準線：兩條準線； ⑤離心率：
，橢圓，越小，橢圓越圓；越大，橢圓越扁。
如（1）若橢圓的離心率，則的值是
（2）以橢圓上一點和橢圓兩焦點為頂點的三角形的面積最大值為1時，則橢圓長軸的最小值為
（2）雙曲線（以（）為例）：①範圍：或；②焦點：
兩個焦點；③對稱性：兩條對稱軸，乙個對稱中心（0,0），兩個頂點，其中實軸長為2，虛軸長為2，特別地，當實軸和虛軸的長相等時，稱為等軸雙曲線，其方程可設為；④準線：兩條準線； ⑤離心率：
，雙曲線，等軸雙曲線，越小，開口越小，越大，開口越大；⑥兩條漸近線：。
如（1）雙曲線的漸近線方程是，則該雙曲線的離心率等於______
（2）雙曲線的離心率為，則
（3）設雙曲線（a>0,b>0）中，離心率e∈[,2],則兩條漸近線夾角θ的取值範圍是________
（3）拋物線（以為例）：①範圍：；②焦點：
乙個焦點，其中的幾何意義是：焦點到準線的距離；③對稱性：一條對稱軸，沒有對稱中心，只有乙個頂點（0,0）；④準線：
一條準線； ⑤離心率：，拋物線。
如設，則拋物線的焦點座標為________
5、點和橢圓（）的關係：
（1）點在橢圓外；
（2）點在橢圓上＝1；
（3）點在橢圓內
6．直線與圓錐曲線的位置關係：
（1）相交： 直線與橢圓相交；直線與雙曲線相交，但直線與雙曲線相交不一定有，當直線與雙曲線的漸近線平行時，直線與雙曲線相交且只有乙個交點，故是直線與雙曲線相交的充分條件，但不是必要條件；直線與拋物線相交，但直線與拋物線相交不一定有，當直線與拋物線的對稱軸平行時，直線與拋物線相交且只有乙個交點，故也僅是直線與拋物線相交的充分條件，但不是必要條件。
如（1）若直線y=kx+2與雙曲線x2-y2=6的右支有兩個不同的交點，則k的取值範圍是_______；
（2）直線y―kx―1=0與橢圓恒有公共點，則m的取值範圍是_______
（3）過雙曲線的右焦點直線交雙曲線於a、b兩點，若│ab︱＝4，則這樣的直線有_____條
（2）相切： 直線與橢圓相切； 直線與雙曲線相切； 直線與拋物線相切；
（3）相離： 直線與橢圓相離； 直線與雙曲線相離； 直線與拋物線相離。
特別提醒：（1）直線與雙曲線、拋物線只有乙個公共點時的位置關係有兩種情形：相切和相交。
如果直線與雙曲線的漸近線平行時,直線與雙曲線相交,但只有乙個交點；如果直線與拋物線的軸平行時,直線與拋物線相交,也只有乙個交點；
（2）過雙曲線＝1外一點的直線與雙曲線只有乙個公共點的情況如下：①p點在兩條漸近線之間且不含雙曲線的區域內時，有兩條與漸近線平行的直線和分別與雙曲線兩支相切的兩條切線，共四條；②p點在兩條漸近線之間且包含雙曲線的區域內時，有兩條與漸近線平行的直線和只與雙曲線一支相切的兩條切線，共四條；③p在兩條漸近線上但非原點，只有兩條：一條是與另一漸近線平行的直線，一條是切線；④p為原點時不存在這樣的直線；
（3）過拋物線外一點總有三條直線和拋物線有且只有乙個公共點：兩條切線和一條平行於對稱軸的直線。
如（1）過點作直線與拋物線只有乙個公共點，這樣的直線有______
（2）過點(0,2)與雙曲線有且僅有乙個公共點的直線的斜率的取值範圍為______
（3）對於拋物線c：，我們稱滿足的點在拋物線的內部，
若點在拋物線的內部，則直線：與拋物線c的位置關係是_______
（4）過拋物線的焦點作一直線交拋物線於p、q兩點，若線段pf與fq的長
分別是、，則_______
（5）設雙曲線的右焦點為，右準線為，設某直線交其左支、右支和
右準線分別於，則和的大小關係為
（6）求橢圓上的點到直線的最短距離
（7）直線與雙曲線交於、兩點。①當為何值時，、分
別在雙曲線的兩支上？②當為何值時，以ab為直徑的圓過座標原點？
7、焦半徑（圓錐曲線上的點p到焦點f的距離）的計算方法：利用圓錐曲線的第二定義，轉化到相應準線的距離，即焦半徑，其中表示p到與f所對應的準線的距離。
如（1）已知橢圓上一點p到橢圓左焦點的距離為3，則點p到右準線的距離為____
（2）已知拋物線方程為，若拋物線上一點到軸的距離等於5，則它到拋物線的焦點的距離等於____；
（3）若該拋物線上的點到焦點的距離是4，則點的座標為_____
（4）點p在橢圓上，它到左焦點的距離是它到右焦點距離的兩倍，則點p
的橫座標為_______
（5）拋物線上的兩點a、b到焦點的距離和是5，則線段ab的中點到軸的距離為______
（6）橢圓內有一點，f為右焦點，在橢圓上有一點m，使之值最小，則點m的座標為_______
8、焦點三角形（橢圓或雙曲線上的一點與兩焦點所構成的三角形）問題：常利用第一定義和正弦、餘弦定理求解。設橢圓或雙曲線上的一點到兩焦點的距離分別為，焦點的面積為，則在橢圓中， ①＝，且當即為短軸端點時，最大為＝；②，當即為短軸端點時，的最大值為bc；對於雙曲線的焦點三角形有：
①；②。
如（1）短軸長為，離心率的橢圓的兩焦點為、，過作直線交橢圓於a、b兩點，則的周長為________
（2）設p是等軸雙曲線右支上一點，f1、f2是左右焦點，若，|pf1|=6，則該雙曲線的方程為
（3）橢圓的焦點為f1、f2，點p為橢圓上的動點，當·<0時，點p的橫座標的取值範圍是
（4）雙曲線的虛軸長為4，離心率e＝，f1、f2是它的左右焦點，若過f1的直線與雙曲線的左支交於a、b兩點，且是與等差中項，則
（5）已知雙曲線的離心率為2，f1、f2是左右焦點，p為雙曲線上一點，且，．求該雙曲線的標準方程
9、拋物線中與焦點弦有關的一些幾何圖形的性質：（1）以過焦點的弦為直徑的圓和準線相切；（2）設ab為焦點弦， m為準線與x軸的交點，則∠amf＝∠bmf；（3）設ab為焦點弦，a、b在準線上的射影分別為a，b，若p為ab的中點，則pa⊥pb；（4）若ao的延長線交準線於c，則bc平行於x軸，反之，若過b點平行於x軸的直線交準線於c點，則a，o，c三點共線
10、弦長公式：若直線與圓錐曲線相交於兩點a、b，且分別為a、b的橫座標，則＝，若分別為a、b的縱座標，則＝，若弦ab所在直線方程設為，則＝。特別地，焦點弦（過焦點的弦）：
焦點弦的弦長的計算，一般不用弦長公式計算，而是將焦點弦轉化為兩條焦半徑之和後，利用第二定義求解。
如（1）過拋物線y2=4x的焦點作直線交拋物線於a（x1，y1），b（x2，y2）兩點，若x1+x2=6，那麼|ab|等於_______
（2）過拋物線焦點的直線交拋物線於a、b兩點，已知|ab|=10，o為座標原點，則δabc重心的橫座標為_______
11、圓錐曲線的中點弦問題：遇到中點弦問題常用「韋達定理」或「點差法」求解。在橢圓中，以為中點的弦所在直線的斜率k=－；在雙曲線中，以為中點的弦所在直線的斜率k=；在拋物線中，以為中點的弦所在直線的斜率k=。
圓錐曲線題型總結
與圓錐曲線有關的幾種典型題，如圓錐曲線的弦長求法 與圓錐曲線有關的最值 極值 問題 與圓錐曲線有關的證明問題以及圓錐曲線與圓錐曲線有關的證明問題等，在圓錐曲線的綜合應用中經常見到，為了讓同學們對這方面的知識有乙個比較系統的了解，本文系統闡述一下 與圓錐曲線有關的幾種典型題 一 重 難 疑點分析 1 ...
高考圓錐曲線壓軸題型總結
直線與圓錐曲線相交，一般採取設而不求，利用韋達定理，在這裡我將這個問題分成了三種型別，其中第一種型別的變式比較多。而方程思想，函式思想在這裡也用得多，兩種思想可以提供簡單的思路，簡單的說就是只需考慮未知數個數和條件個數,使用韋達定理時需注意成立的條件。題型一 條件和結論可以直接或經過轉化後可用兩根之...
高考數學圓錐曲線 雙曲線題型總結
二 雙曲線 1 21 本小題滿分14分 08天津 已知中心在原點的雙曲線c的乙個焦點是，一條漸近線的方程是.求雙曲線c的方程 若以為斜率的直線與雙曲線c相交於兩個不同的點m，n，線段mn的垂直平分線與兩座標軸圍成的三角形的面積為，求的取值範圍.21 本小題主要考查雙曲線的標準方程和幾何性質 直線方程...