直線與圓錐曲線聯絡在一起的綜合題在高考中多以高檔題、壓軸題出現，主要涉及位置關係的判定，弦長問題、最值問題、對稱問題、軌跡問題等.突出考查了數形結合、分類討論、函式與方程、等價轉化等數學思想方法，要求考生分析問題和解決問題的能力、計算能力較高，起到了拉開考生「檔次」，有利於選拔的功能.
●案例**
［例1］如圖所示，拋物線y2=4x的頂點為o，點a的座標為(5，0)，傾斜角為的直線l與線段oa相交(不經過點o或點a)且交拋物線於m、n兩點，求△amn面積最大時直線l的方程，並求△amn的最大面積.
知識依託：弦長公式、三角形的面積公式、不等式法求最值、函式與方程的思想.
錯解分析：將直線方程代入拋物線方程後，沒有確定m的取值範圍.不等式法求最值忽略了適用的條件.
技巧與方法：涉及弦長問題，應熟練地利用韋達定理設而不求計算弦長，涉及垂直關係往往也是利用韋達定理，設而不求簡化運算.
解：由題意，可設l的方程為y=x+m,－5＜m＜0.
由方程組,消去y,得x2+(2m－4)x+m2=0
∵直線l與拋物線有兩個不同交點m、n，
∴方程①的判別式δ=(2m－4)2－4m2=16(1－m)＞0,
解得m＜1,又－5＜m＜0,∴m的範圍為(－5，0)
設m(x1,y1),n(x2,y2)則x1+x2=4－2m，x1·x2=m2,
∴|mn|=4.
點a到直線l的距離為d=.
∴s△=2(5+m),從而s△2=4(1－m)(5+m)2
=2(2－2m)·(5+m)(5+m)≤2()3=128.
∴s△≤8,當且僅當2－2m=5+m,即m=－1時取等號.
故直線l的方程為y=x－1，△amn的最大面積為8.
［例2］已知雙曲線c：2x2－y2=2與點p(1，2)
(1)求過p(1，2)點的直線l的斜率取值範圍，使l與c分別有乙個交點，兩個交點，沒有交點.
(2)若q(1，1)，試判斷以q為中點的弦是否存在.
知識依託：二次方程根的個數的判定、兩點連線的斜率公式、中點座標公式.
錯解分析：第一問，求二次方程根的個數，忽略了二次項係數的討論.第二問，算得以q為中點弦的斜率為2，就認為所求直線存在了.
技巧與方法：涉及弦長的中點問題，常用「差分法」設而不求，將弦所在直線的斜率，弦的中點座標聯絡起來，相互轉化.
解：(1)當直線l的斜率不存在時，l的方程為x=1,與曲線c有乙個交點.當l的斜率存在時，設直線l的方程為y－2=k(x－1),代入c的方程，並整理得
(2－k2)x2+2(k2－2k)x－k2+4k－6=0
(ⅰ)當2－k2=0,即k=±時，方程(*)有乙個根，l與c有乙個交點
(ⅱ)當2－k2≠0,即k≠±時
δ=［2(k2－2k)］2－4(2－k2)(－k2+4k－6)=16(3－2k)
①當δ=0,即3－2k=0,k=時，方程(*)有乙個實根，l與c有乙個交點.
②當δ＞0,即k＜,又k≠±,故當k＜－或－＜k＜或＜k＜時，方程(*)有兩不等實根，l與c有兩個交點.
③當δ＜0，即k＞時，方程(*)無解，l與c無交點.
綜上知：當k=±,或k=，或k不存在時，l與c只有乙個交點；
當＜k＜,或－＜k＜,或k＜－時，l與c有兩個交點；
當k＞時，l與c沒有交點.
(2)假設以q為中點的弦存在，設為ab，且a(x1,y1),b(x2,y2)，則2x12－y12=2,2x22－y22=2兩式相減得：2(x1－x2)(x1+x2)=(y1－y2)(y1+y2)
又∵x1+x2=2,y1+y2=2
∴2(x1－x2)=y1－y1
即kab==2
但漸近線斜率為±,結合圖形知直線ab與c無交點，所以假設不正確，即以q為中點的弦不存在.
［例3］如圖，已知某橢圓的焦點是f1(－4，0)、f2(4，0)，過點f2並垂直於x軸的直線與橢圓的乙個交點為b，且|f1b|+|f2b|=10，橢圓上不同的兩點a(x1,y1),c(x2,y2)滿足條件：|f2a|、|f2b|、|f2c|成等差數列.
(1)求該弦橢圓的方程；
(2)求弦ac中點的橫座標；
(3)設弦ac的垂直平分線的方程為y=kx+m，求m的取值範圍.
知識依託：橢圓的定義、等差數列的定義，處理直線與圓錐曲線的方法.
錯解分析：第三問在表達出「k=y0」時，忽略了「k=0」時的情況，理不清題目中變數間的關係.
技巧與方法：第一問利用橢圓的第一定義寫方程；第二問利用橢圓的第二定義(即焦半徑公式)求解，第三問利用m表示出弦ac的中點p的縱座標y0,利用y0的範圍求m的範圍.
解：(1)由橢圓定義及條件知，2a=|f1b|+|f2b|=10,得a=5,又c=4,所以b==3.
故橢圓方程為=1.
(2)由點b(4,yb)在橢圓上，得|f2b|=|yb|=.因為橢圓右準線方程為x=,離心率為，根據橢圓定義，有|f2a|= (－x1),|f2c|= (－x2)，
由|f2a|、|f2b|、|f2c|成等差數列，得
(－x1)+ (－x2)=2×,由此得出：x1+x2=8.
設弦ac的中點為p(x0,y0),則x0==4.
(3)解法一：由a(x1,y1),c(x2,y2)在橢圓上.
得①－②得9(x12－x22)+25(y12－y22)=0,
即9×=0(x1≠x2)
將(k≠0)代入上式，得9×4+25y0(－)=0
(k≠0)
即k=y0(當k=0時也成立).
由點p(4，y0)在弦ac的垂直平分線上，得y0=4k+m,所以m=y0－4k=y0－y0=－y0.
由點p(4，y0)**段bb′(b′與b關於x軸對稱)的內部，得－＜y0＜,所以－＜m＜.
解法二：因為弦ac的中點為p(4,y0)，所以直線ac的方程為
y－y0=－(x－4)(k≠0
將③代入橢圓方程=1,得
(9k2+25)x2－50(ky0+4)x+25(ky0+4)2－25×9k2=0
所以x1+x2==8,解得k=y0.(當k=0時也成立)
(以下同解法一).
●錦囊妙計
1.直線與圓錐曲線有無公共點或有幾個公共點的問題，實際上是研究它們的方程組成的方程是否有實數解成實數解的個數問題，此時要注意用好分類討論和數形結合的思想方法.
2.當直線與圓錐曲線相交時：涉及弦長問題，常用「韋達定理法」設而不求計算弦長(即應用弦長公式)；涉及弦長的中點問題，常用「差分法」設而不求，將弦所在直線的斜率、弦的中點座標聯絡起來，相互轉化.
同時還應充分挖掘題目的隱含條件，尋找量與量間的關係靈活轉化，往往就能事半功倍.
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